【文档说明】宁夏银川唐徕回民中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(14)页，781.921 KB，由小赞的店铺上传

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银川唐徕回民中学2021～2022学年度第二学期3月月考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（每题5分，共60分）1.已知集合1,0,1A=−，{|11}Bxx=−，则

AB=A.0B.1,0−C.0,1D.1,0,1−【答案】B【解析】【详解】因为1,0,1,BBB−所以1,0AB=−.【考点定位】集合的表示，集合的运算.2.函数()221logxfxx−=−的定义域为（）A.(0,2]B.(0,2)C.(2,2)

−D.[2,2]−【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式和对数的运算性质，列出解析式有意义所满足的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()221logxfxx−=−有意义，则满足2201log00xxx−−

，解得02x，所以函数()fx的定义域为(0,2).故选：B.3.若空间直角坐标系中，x轴上一点P到点Q（3，1，1）的距离为3，则点P的坐标为（）A.（3，0，0）B.（2，0，0）C.（4，0，0）D.（2，0，0）或（4，0，0）【答案】D【解析】【分

析】设(Pa，0，0)，由空间直角坐标系中，点P到点(3Q，1，1)的距离为3，利用两点间距离公式能求出点P的坐标．【详解】解：设(Pa，0，0)，P到点(3Q，1，1)的距离为3，222||(3)(01)(01)3PQa=−+−+−=，解得2a=或4a=．点P的坐标为(2，0

，0)或(4，0，0)．故选：D．【点睛】本题考查空间中点的坐标的求法，属于空间直角坐标系、两点间距离公式等基础知识，还考查运算求解能力．4.点P从(1,0)点出发，沿单位圆221xy+=逆时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点坐标为（）A.13,22B.

31,22−−C.13,22−−D.3,221−【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义直接求点Q的坐标.【详解】由题意可知1r=，根据三角函数的定义可知1cos32xr==，3sin32y

r==，所以点Q的坐标是13,22.故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题型.5.若直线2xy−=被圆()224xay−+=所截得的弦长为22,则实数a的值为（）A.0或4B.1或3

C.2−或6D.1−或3【答案】A【解析】的【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解.【详解】由圆()224xay−+=可知，圆心(),0a，半径为：2，若直线2xy−=被圆()224xay−+=所截得的弦长为22，则由垂径定理可知圆心到直线的

距离：2d=，故222ad−==，解得4a=或0a=.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.6.若－2<α<0，则点P(tanα，cosα)位于()A.第一

象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵－2<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B考点：本题考查了三角函数值的符号点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问

题的关键，属基础题7.已知sin3cos3cossin+−＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（）A.25B.－25C.－2D.2【答案】A【解析】【分析】先利用商数关系由sin3cos3cossin+−＝5可求出tan，再利用平方关系将sin2α－sinαcosα化

成齐次式22tantantan1−+，即可求出．【详解】由sin3cos3cossin+−＝5，得tan33tan+−＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝222sinsincossincos

−+＝22tantantan1−+＝25.故选：A．【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，以及利用正切值求齐次式的值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于基础题．8.已知72333tan(),cos,sin(

)644=−==−abc，则,,abc的大小关系是A.bacB.abcC.bcaD.acb【答案】A【解析】【分析】由诱导公式可知tan,cos,sin644abc=−==−，根据特殊角的三角函数值比较大小即可.【详解】根据诱导公式，化简可得3

22tan,cos,sin634242=−=−===−=−abc，所以bac，故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于中档题.9.已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是A.5x+

y﹣2=0B.x﹣5y﹣16=0C.5x﹣y﹣8=0D.x+5y+14=0【答案】A【解析】【详解】试题分析:由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．解：由斜率公式可得kAB==，∵CD⊥AB，∴kCD=﹣5，∴直线C

D的方程为：y+3=﹣5（x﹣1），化为一般式可得5x+y﹣2=0．故选A．考点：待定系数法求直线方程．10.方程29x−＝()34kx−+有两个不同的解时，实数k的取值范围是（）A.70,24B.7,24+C.(12,33)D.72,243【答案】D【解

析】【分析】根据29yx=−表示半圆以及()34ykx=−+表示过定点的直线，以及直线与圆的位置关系，即可数形结合求得结果.【详解】29yx=−，即()2290xyy+=表示圆心为()0,0，半径3r=的上半圆；()34ykx=−+，表示过定点()3

,4A且斜率为k的直线；若要满足方程29x−＝()34kx−+有两个不同的解，即直线与半圆有两个交点，如下所示：数形结合可知，满足题意的(12,kkk，当1kk=时，直线与圆相切，且斜率存在，则1213431kk−+=+，解得1724k=；当2

kk=时，直线过点()3,0−，此时()2402333k−==−−；故实数k的取值范围为72,243.故选：D.11.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，

SA=2，则球O的表面积是（）A.4B.34C.3D.43【答案】A【解析】【详解】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=2,AB⊥BC且AB=BC=1，∴AC=112+=∴SA⊥AC，SB⊥B

C，SC=222+=∴球O的半径R=12SC=1∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选A点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键．12.已知O为坐标原点，直线():4lykx=−上存在一点

P，使得2OP=，则k的取值范围为（）A.22−,B.33,,33−−+C.33,33−D.(),22,−−+U【答案】C【解析】【分析】分析可知，直线l与圆224xy+=有公共点，利用点到直线距离公式可得出关于k的不等式，即可求得实

数k的取值范围.【详解】设点(),Pxy，则222OPxy=+=，即224xy+=，即点P的轨迹方程为224xy+=，且圆224xy+=的圆心为()0,0O，半径为2，由题意可知，直线l与圆224xy+=有公共点，

则2421kk+，解得3333k−.故选：C.二．填空题（每题5分，共20分）13.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.【答案】6π＋40【解析】【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角310=，再由

扇形的弧长公式，可得弧长l，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角35410==，∴由扇形的弧长公式，可得弧长6lr==，∴扇形的周长为(640)cm+.的【点睛】本题主要考查了扇形的弧

长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14.已知()fx偶函数，周期是8，当04x时，21()()log|5|2fxfxx=+−，则(11)f−=____．【答案】2【解析】【分析】先求得()fx，再由()fx是偶函数，

周期是8求解.【详解】解：因为当04x时，21()()log|5|2fxfxx=+−，所以2()2log|5|fxx=−，又因为()fx是偶函数，周期是8，所以(11)(83)(3)(3)2−=−−=−==ffff，故答案为：215.已知圆C1：（x+1）2+（

y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为______．【答案】22(2)(2)1xy−++=【解析】【详解】试题分析：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线10xy−−=的对称点（y+1，x

-1）在圆C1：22(1)(1)1xy++−=上，所以有（y+1+1）2+（x-1-1）2=1，即22(2)(2)1xy−++=，所以答案为22(2)(2)1xy−++=．考点：点关于直线的对称点的求法．点评：本题考查一曲线关于一直

线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线10xy−−=的对称点（y+1，x-1）在圆C1上．16.函数22cos2sin1yxx=+−的最大值为____．【答案】32##1.5【解析】【分析】将22cos2sin1yxx=+−化为2

2sin2sin1yxx=−++，利用换元法，根据二次函数的性质求得答案.是【详解】由题意得：222cos2sin12sin2sin1yxxxx=+−=−++，令sintx=，则[1,1]t−，故2()221fttt=−++，当1[1,1]2t=−时，函数取得最大值13()22

f=，故函数22cos2sin1yxx=+−的最大值为32，故答案为：32三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知1cos()2+=−，且角在第四象限，计算：（1）sin(2

)−；（2）sin[(21)]sin()()sin()cos(2)nnZn++++−+．【答案】（1）32（2）4−【解析】【分析】（1）利用诱导公式求出cos，再根据同角三角函数的基本关系求出

sin，最后由诱导公式计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入cos的值即可；【小问1详解】解：1cos()2+=−，1cos2−=−，则1cos2=，又Q在第四象限，23sin1cos2=−−=−，则3sin(2

)sin()sin2−=−=−=；【小问2详解】解：sin[(21)]sin()sin()cos(2)nn++++−+sin(2)sinsin()sinsincossincosn++−+−==2sin24sincoscos−==−=−．1

8.已知△ABC三个顶点坐标分别为：()()()1,0,1,4,3,2ABC，直线l经过点()0,4．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；【答案】（1）()()22124xy−

+−=；（2）4y=或43120xy−+=.【解析】【分析】（1）设出圆M的一般方程，待定系数法即可求得结果；（2）讨论所求切线的斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径即可求得直线的斜率，进而求得方程.【小问1详解】设⊙M的方程为220

xyDxEyF++++=，则由题意可得：10174013320DFDEFDEF++=+++=+++=，解得241DEF=−=−=，故所求圆方程为222410xyxy+−−+=，即()()22124xy−+−=.【小问2详解】当直线斜率不存在时，l的方程为0x=

，显然不满足题意；当直线斜率存在时，设直线l的方程为4ykx=+，由直线与圆相切，可得圆心()1,2到直线l的距离等于2，即2221kk+=+，解得0k=或43k=，故所求直线方程为4y=或43120xy−+=.19.已知函数()

2cos2,4fxxx=−R.（1）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()fx在区间,82−上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为3,()88kkk

−++Z（2）最大值为2，此时8x=；最小值为1−，此时2x=【解析】【分析】（1）根据最小正周期公式求解，根据整体换元法求解单调区间；（2）由题知32,424x−−，进而结合余弦函数的最

值求解即可.【小问1详解】解：因为()2cos24fxx=−，xR，所以函数()fx的最小正周期为22T==.由()2224kxkk−+−Z，解得3()88kxkk−++Z，故

函数()fx的单调递增区间为3,()88kkk−++Z.【小问2详解】解：因为,82x−，所以32,424x−−.所以当204x−=，即8x=时，max()28fxf==；当3244x

−=，即2x=时，min()12fxf==−.所以函数()fx在区间,82−上的最大值为2，此时8x=；最小值为1−，此时2x=.20.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD为矩形，PAPC=，PBPD=.（1）证明：平面PAC⊥平面ABC

D.（2）若23AB=，22PD=，2BC=，求点B到平面PCD的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）455.【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，即可证明出平面PAC⊥平面ABCD.（2）用等体积法BPCDPBCDVV−−=，即1133PCD

BCDShSPO=，即可求出答案.【小问1详解】连接BD，交AC于点O，连接PO，如图所示，底面ABCD为矩形，O为AC，BD的中点，又PAPC=，PBPD=，POAC⊥，POBD⊥，又ACBDO=，PO⊥平面ABCD，PO平面PAC

，平面PAC⊥平面ABCD．【小问2详解】23AB=，2BC=，224ACBDABBC==+=，2ODOC==，在RtPOD中，90POD=，222POPDOD=−=，在RtPOC△中，2222PCPOOC=+=，在PCD中，22PDPC==，2

3CD=，22111()238315222PCDSCDPCCD=−=−=，BCCD⊥，112232322BCDSBCCD===，设点B到平面PCD的距离为h，由等体积法可知BPCDPB

CDVV−−=，又PO⊥平面ABCD，PO为点P到平面BCD的距离，1133PCDBCDShSPO=，23245515BCDPCDSPOhS===，即点B到平面PCD的距离为455．21.已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0

上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．【答案】16+85【解析】【详解】试题分析;依题意，所求圆圆心C为AB的垂直平分线和直线3150xy+−=的交点，求出圆心与半径；求出||AB，圆心到AB

的距离d，求出P到AB距离的最大值dr+，即可求PAB△的面积的最大值．试题解析;∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，的∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.联立解得即圆心C为(－3,6)，则半径r＝＝2.又|AB|

＝＝4，∴圆心C到AB的距离d＝＝4，∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.【点睛】本题考查圆的方程，三角形面积的计算以及直线与圆的位置关系等，其中

求得P到AB距离的最大值为dr+是解题的关键22.已知函数2()2tan1fxxx=+−，其中,2kkZ+．（1）当6=−，[1,3]x−时，求函数()fx的最大值与最小值；（2）函数()()fxg

xx=为奇函数，求的值；（3）求的取值范围，使()yfx=在区间[1,3]−上是单调函数．【答案】（1）()max233fx=；()min43fx=−；（2）,kkZ=；（3）,,2342kkkk−−++

，kZ.【解析】【分析】（1）代入6=−,再对()fx中的二次函数进行配方分析最值即可.（2）根据奇函数的定义可得()()0gxgx−+=，解方程即可.（3）计算二次函数的对称轴满足的关系式,再列出对应的不等式求解即可.【详解】（1）当6

=−时，()2223341333fxxxx=−−=−−，1,3x−，对称轴33x=，当1x=−时，()fx最大，且()()max2313fxf=−=；当33x=时，()fx最小，且()m

in3433fxf==−，综上，()fx的最大值233，最小值为43−.（2）2()2tan11()2tanfxxxgxxxxx+−===−+，函数的定义域()(),00,−+若()gx为奇函数，则()()0gxgx−+=

，即112tan2tan0xxxx−+++−+=，解得4tan0=，所以,kkZ=，所以函数为奇函数时，,kkZ=（3）()fx的对称轴为tanx=−，()yfx=在区间1,3−上单调时，tan1−−或tan3

−，∴tan1或tan3θ−，解得23kk−−或42kk++，（kZ），