【文档说明】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）【精准解析】.doc，共(17)页，1.310 MB，由小赞的店铺上传

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南昌二中2019——2020学年度下学期期末考试高二数学（文）试卷一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合{1,0,1}A=−，{0,2}B=，则AB=（）A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.{0,1}【答案】C【解析】【分析】根

据集合交集概念直接求解.【详解】因为{1,0,1}A=−，{0,2}B=，所以AB={0}故选：C【点睛】本题考查集合交集，考查基本求解能力，属基础题.2.设命题:22xp，命题2:1qx，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B

.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出p、q中两个不等式的解，利用集合的包含关系即可判断出p、q之间的充分条件和必要条件关系.【详解】解不等式22x，得1x，解不等式21x，得11x−，即:1px，:

11qx−，因此，p是q成立的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，在涉及不等式与方程时，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力与运算求解能力，属于基础题.3.函数()sin23cos2fxxx=+的最小正周期为（）A.π

2B.πC.2πD.4π【答案】B【解析】【分析】结合辅助角公式，对函数()fx化简，利用2πT=可求出答案.【详解】由题意，13π()sin23cos22sin2cos22sin2223fxxxxxx=+=+=+，因为2ππ2T==，所以函数

()fx的最小正周期为π.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的周期，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.命题“001xxx−，”的否定是()A.001xxx−，B.0,01xx

C.001xxx−，D.0,01xx【答案】B【解析】【分析】写出命题001xxx−，的否定，再等价转化即可得到答案.【详解】解：命题001xxx−，的否定是001xxx−，，又由01xx−得01x

故命题001xxx−，的否定是0,01xx.故选：B【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.5.在空间中，设m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是A.若//m且//，则//mB.若⊥，m

，n，则mn⊥C.若m⊥且//，则m⊥D.若m不垂直于，且n，则m必不垂直于n【答案】C【解析】【详解】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；

在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误．故选：C．6.在△ABC中，若AB2BC−2=ABAC，则△ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】【分析】由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c2=a2+b2，利用勾股定理即可判断得解．【详解】解：22CABBABAC−=22coscabcA−=，化简可得：222cab=+，∴△ABC是

直角三角形．故选B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．7.已知2log0.7a=，0.12b=，ln2c=，则()A.bcaB.acbC

.bacD.abc【答案】B【解析】【分析】找中间量0和1进行比较，根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.【详解】因为2log0.7a=2log10=，0.10221b==，ln1ln2ln1ce==，所以acb.

故选：B.【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，找中间量0和1进行比较是关键，属于基础题.8.函数()2sinxfxx=的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数定义域，再判断函数的定义域，然后当01x时，()0fx，当12x时

，()0fx，当23x时，()0fx，可得结果.【详解】函数的定义域为0xx，因为222sin()sinsin()()()xxxfxfxxxx−−−===−=−−所以()fx为奇函数，所以排除B因为当01x时，()0fx，当12x

时，()0fx，当23x时，()0fx所以排除C,D故选：A【点睛】此题考查由函数解析式判别断函数图像，利用函数的奇偶性和函数值的变化情况进行判断，属于中档题.9.已知函数()()1log12xafxax

=++（0a且1a），则（）A.()fx图像关于原点对称B.()fx图像关于y轴对称C.()fx在R上单调递增D.()fx在R上单调递减【答案】C【解析】【分析】通过奇偶性判断可知函数为非奇非偶函数，可排除,AB；根据复合函数单调性和单调性的性质可证得

函数为增函数，由此可得正确选项.【详解】()()0fxfx+−Q，()()0fxfx−−，可知()fx为非奇非偶函数，故排除故,AB当1a时，1xua=+在R上单调递增，logayt=在()1,+上单调递增，且12yx=在R上单调递增()

fx在R上单调递增当01a时，1xua=+在R上单调递减，logayt=在()1,+上单调递减，且12yx=在R上单调递增()fx在R上单调递增本题正确选项：C【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，涉及到复合函数单调性的判断，关键是明确复合函数单

调性遵循“同增异减”原则.10.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.π32+B.π3+C.3π32+D.3π3+【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再结合圆锥侧面积公式求解结果.【详解】该几何体为一个半圆锥，高为3，底面半径为1，如图：所以几何体的表面积为21113

π13+1+1+2332222=+,故选：C【点睛】本题考查三视图、圆锥侧面积公式，考查空间想象能力以及基本求解能力，属基础题.11.函数()()cos03fxx=−在0,上的值域为1,12，则的取值范围是（）A.12

,33B.20,3C.2,13D.1,13【答案】A【解析】【分析】由x范围得到333x−−−，结合余弦函数图象可得033−，解不等式求

得结果.【详解】0x333x−−−函数()fx在0,上的值域为1,12，又()10cos32f=−=结合余弦函数图象可知：033−1233本题正确选项：A【点睛】本题考查根据

余弦型函数在某一区间的值域求解参数范围问题，关键是能够结合余弦函数图象确定角的范围.12.已知函数()22,0,,0xxxfxex=若()()()1212fxfxxx=，则12xx+的最大值为（）A.22−B.2ln22−C.3ln22−D.ln21−【答案

】C【解析】【分析】根据()fx在每一段上的单调性可知120xx，利用换元的方式可将问题转化为求解()()ln12tgttt=−的最大值的问题，通过导数求解出()gt最大值即可.【详解】设12xx当0x时，()22fxx=，()fx单调递减，不存在120xx

，使得()()12fxfx=当0x时，()xfxe=，()fx单调递增，不存在120xx，使得()()12fxfx=120xx令2212xxet==，1t，则12tx=−，2lnxt=12ln2txxt+=−设()()ln12tgttt=−，

则()124244tgtttt−=−=令()0gt=，解得：8t=当)1,8t时，()0gt；当()8,t+时，()0gt则()gt在)1,8上单调递增，在()8,+上单调递减()()max8ln8

43ln22gtg==−=−本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够通过换元的方式构造出新的函数，需要注意的是换元后新的自变量的取值范围.二、填空题（每小题5分，共4小题，共20

分）13.已知向量,ab的夹角为4，且()1,0a=，2b=，则2ab+=__________．【答案】10【解析】【分析】利用数量积定义求解出ab，利用()222abab+=+求解出结果.【详解】2cos121

42abab===()222224444210ababaabb+=+=++=++=【点睛】本题考查向量的模的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题.14.已知sin3cos2+=，则tan=__________.【答案】33【解析】【分析】先平方，再

利用1的代换化为齐次式，即可解得结果.【详解】22sin3cos2sin3cos23sincos4+=++=Q2222sin3cos23sincos4sin4cos++=+223sincos23sincos0+−=23(

3sincos)03sincos0tan3−=−==故答案为：33【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.15.若曲线lnyxx=在1x=处的切线l与直线:10lxay−+=垂直，则,ll与x轴围成的三角形的面积为__________．

【答案】1【解析】【分析】由导数求解出切线斜率，从而得到l方程；利用垂直关系求得l方程，求解出两直线与x轴交点及两直线的交点坐标，从而可求得面积.【详解】由lnyxx=，得'ln1yx=+切线l的斜率1'1xky===:1lyx=−ll⊥1a

=−,ll和x轴的交点分别为()()1,0,1,0−由110yxxy=−++=得,ll的交点为()0,1−所求三角形的面积为12112=本题正确结果：1【点睛】本题考查导数的几何意义，直线垂直的性质，属于基础题.16.

已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为__________．【答案】643【解析】【分析】根据轴截面可求得圆锥底面半径和高，根据勾股定理构造出关于外接球半径R的方程，解

出R后代入球的表面积公式可求得结果.【详解】依题意得，圆锥底面半径12sin30r==，高123sin603h==设圆锥外接球半径为R，则()222RrRh=+−即2222323RR=+−，解得：433R=外接球的表面积为26443SR==本题正

确结果：643【点睛】本题考查圆锥的外接球表面积求解问题，属于基础题.三、解答题（共70分）17.已知平面上三点A，B，C的坐标依次为()1,2−，()3,2，(),1k.（1）若ABC为直角三角形，且角A为直角，求实数k的值；（2）在（1）的条件下，设AEAB=，ADAC=，若//BCE

D，证明：=.【答案】（1）5k=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据ABC为直角三角形，且角A为直角，可知ABAC⊥，即0ABAC=，解得k值；（2）利用向量三角形法则得出BC和DE，由//BCED知//BCDE，利用向量平行性质即可证明=.【详解】解：（1）因为A，B

，C的坐标依次为()1,2−，()3,2，(),1k.所以()2,4AB=uuur，()1,3ACk=−，因为ABC为直角三角形，且角A为直角，所以ABAC⊥，所以()()2,41,32100ABACkk=−=+=，所以5k=−（2）()()()6,

32,48,1BCACAB=−=−−=−−DEAEADABAC=−=−()()()2,46,326,43=−−=+−，因为//BCED，所以//BCDE，所以()()84326−−=−+，整理得=.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向

量坐标的加法和数乘，平行向量的坐标关系，属于基础题.18.已知函数()()3sin2cos21>0fxxx=−−的最小正周期是.（1）求函数()fx单调递增区间；（2）求()fx在3,88上的最大值和最小值.【答案】（1）[,],63kkkZ−++；（

2）最大值为1，最小值为6212−−.【解析】【分析】（1）由三角函数辅助角公式化简函数()fx2sin216x=−−，再由其最小正周期和单调性可得答案；（2）由x的范围示得26x−的范围，根据正弦函数的性质可求得最值.【详解】

（1）()fx3sin2cos212sin216xxx=−−=−−，又最小正周期是22=，所以1=，从而()2sin216fxx=−−，令222262kxk−+−+，解得()63kxkkZ−++，所以函数()fx

的单调递增区间为[,],63kkkZ−++；（2）当3,88x时，72,61212x−，622sin2,262x−−，所以()fx在3,88上的最大值为1，最小值为6212−−.【点睛】本

题考查三角函数的辅助角公式，正弦函数的周期性、单调性、最值，属于中档题.19.设()fx是(),−+上的奇函数，()()2fxfx+=−，当01x时，()fxx=.（1）求()f的值；（2）当44x−时，求()fx的图象与

x轴所围成图形的面积.【答案】（1）4−（2）4【解析】【分析】（1）由()()2fxfx+=−可推出函数()fx是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444ffff=−+=−=−−，再利用函数在0,1上的解析

式即可得解，（2）由函数的周期性、奇偶性及函数在0,1上的解析式，作出函数在4,4−的图像，再求()fx的图象与x轴所围成图形的面积即可.【详解】解：（1）由()()2fxfx+=−得，()()()(

)4222fxfxfxfx+=++=−+=，所以()fx是以4为周期的周期函数，所以()()()()1444ffff=−+=−=−−()44=−−=−.（2）由()fx是奇函数且()()2fxfx+=−，得()()()1211fxfxfx−+=−−=

−−，即()()11fxfx+=−.故知函数()yfx=的图象关于直线1x=对称.又当01x时，()fxx=，且()fx的图象关于原点成中心对称，则()fx的图象如下图所示.当44x−时，()fx的图象与x轴围成的图形面积为S，则1442142OABSS==

=.【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考查了函数性质的应用，重点考察了作图能力，属中档题.20.ABC中，三内角,,ABC所对的边分别为,,abc，AC边上的高为h，已知()sincoscos

cAAaC−=.（1）求bh的值；（2）若4B=，且ABC的面积为12，求ABC的周长.【答案】（1）1；（2）22.+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简已知边角关系式可求得sinsinsinACB=，再次利用正弦定理得到sinaCb=，再根据s

inhCa=可求得bh=，从而求得结果；（2）利用三角形面积求出b和ac；根据余弦定理构造出关于ac+的方程，求解得到ac+，从而可求周长.【详解】（1）由()sincoscoscAAaC−=及正弦定

理得：()sinsincossincosCAAAA−=即：()sinsinsincoscossinsinACACACAC=+=+ACB+=−sinsinsinACB=由正弦定理得：sinaCb=，又sin

hCa=bh=，即1bh=（2）1122ABCSbh==21122b=1b=4B=121sin242ABCSacBac===2ac=由余弦定理得：2222cosbacacB=+−，得2212acac=+−()()2122acac=+−+()()223222

1ac+=+=+21ac+=+ABC∴的周长为22acb++=+【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.21.如图，在三棱锥PABC−中，PBAC⊥，1ABAC==

，22PB=，6PC=，45PBA=o.（1）求证：平面PAB⊥平面PAC；（2）,EF分别是棱,PBBC的中点，G为棱PC上的点，求三棱锥AEFG−的体积.【答案】（1）详见解析；（2）112.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出PA，根

据勾股定理可得ACPA⊥，利用线面垂直的判定定理可证得AC⊥平面PAB，根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）根据平行关系可知14EFGPBCSS=，则可得14AEFGAPBCVV−−=，利用体积桥得APBCCP

ABVV−−=，从而可求解出CPABV−，从而求得结果.【详解】（1）证明：在PAB中，由余弦定理得：2222cosPAPBABPBABPBA=+−解得：5PA=222ACPAPC+=ACPA⊥又ACPB⊥，PAPBP=AC⊥平面PAB

又AC平面PAC平面PAB⊥平面PAC（2）11sin22sin45122PABSPBABPBA===11111333CPABPABVSAC−===,EF分别是棱,PBBC的中点//EFPC14E

FGPBCSS=1114412AEFGAPBCCPABVVV−−−===【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题.解决本题中三棱锥体积求解的关键是能够根据平行关系得到锥体体积之间的比例关系，从而可将问题转化为易求的三棱锥体积的求解问题.22.已知函数f（x）=a

（x-lnx）（a∈R）．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜1x+x-1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（-∞，1）【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，根据a的不同取值范围进行分类讨论，求出单调性；（Ⅱ）不等式恒成立问题转化为函数值

不大于零的问题．对函数求导，然后分类讨论，确定实数a的取值范围．【详解】解：（I）f′（x）=a（1-1x）=()1axx−，（x＞0）．当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当a＜0时，函数f（x）在（0，1）上单调递

增，在（1，+∞）上单调递减．当a=0时，函数f（x）=0（x＞0），不具有单调性．（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜1x+x-1恒成立⇔a（x-lnx）-1x-x+1≤0，（*）令g（x）=a（x-lnx）-1x-x+1，（x＞0）．g′（

x）=a（1-1x）+21x-1=()()2111xaxx−−−，当a≤1时，∵x＞0，∴（a-1）x-1＜0，h′（x）＞0⇔0＜x＜1；h′（x）＜0⇔x＞1．∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）≤h（1）=a-1，要使不等式

（*）恒成立，则a-1＜0，即a＜1．当a＞1时，h（1）=a-1＞0，不等式（*）不恒成立．故实数a的取值范围是（-∞，1）．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性问题，以及不等式恒成立，求参数的取值范围的问题．解决此类问题的关键

是求导以后，进行分类讨论．