【文档说明】【精准解析】内蒙古呼和浩特市开来中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理科）试卷.doc，共(17)页，1.119 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理科）试卷一．选择题（每题5分，共60分）1.若复数z满足(2)1811zii−=+，则4zi−=（）A.13B.15C.13D.15【答案】C【解析】分析：利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.详解：

复数z满足()21811zii−=+()()()()2181121811364011582225iiiiiziiii+++++====+−−+58zi=−，4584512ziiii−=−−=−()22451251213zii

−=−=+−=.故选C.点睛：复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．2.设函数()fx在R上可导，其导函数()'fx，且函数()fx在2x=−处取得极小值，

则函数()yxfx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由()fx在2x=−处取得极小值，得到当2x−时,()'0fx，当2x−时，()'0fx，进而得到函数()yxfx=的符号，对比选项，即可求解.【详解】由题意，函数()fx在2x=−处取得极小值，可得()'

20f−=，且函数()fx在2x=−左侧附近为减函数，在2x=−右侧附近为增函数，即当2x−时,()'0fx，当2x−时，()'0fx，从而当2x−时，()'0yxfx=，当20x−时，()'0yxfx

=，当0x时，()'0yxfx=，对照选项可知只有C符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的极值的概念及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命

中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4【答案】C【解析】试题分析：由题意知ξ=0，1，2，3，∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，∴P（ξ=0）=0.43，∵当ξ=1时，表示前

两次都没射中，第三次射中∴P（ξ=1）=0.6×0.42，∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中∴P（ξ=2）=0.6×0.4，∵当ξ=3时，表示第一次射中，∴P（ξ=3）=0.6，∴Eξ=2.376．故选C．考点：本题主要考查离散型随机变量的期望的计算．点评：本题在解题过程中当随机变量为0

时，题目容易出错同学们可以想一想，模拟一下当时的情况，四颗子弹都用上说明前三次都没有射中，而第四次无论是否射中，子弹都为0．4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】

B【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有55A=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有1444CA=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．5.若62baxx+的展开式中3x项

的系数为20，则22ab+的最小值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据二次项定理可以求出62baxx+的二项展开式的通项为612316rrrrrTCabx−−+=，令1233r−=，求得r的值，根据3633620Cab−=求得1a

b=，利用基本不等式即可求解【详解】62baxx+的二项展开式的通项为()626123166rrrrrrrrbTCaxCabxx−−−+==令1233r−=，解得3r=则3633620

Cab−=则1ab=2222abab+=，当且仅当1ab==时取等号，即22ab+的最小值为2故选:C【点睛】本题主要考查的是二次项定理，解题的关键是求出二项展开式的通项为()626123166rrrrrrrrbTCaxCabxx−−−+==

，属于基础题6.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N，则()68.26%P

−+=，()2295.44%P−+=．）A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P

PP（＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．−=−==−=故选B．考点：正态分布7.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为35,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是()A.4453255CB.55535CC.454555

323555CC+D.323532155C−【答案】C【解析】【分析】学生被选上，分数为40分或者50分，也即要答对4个题或者5个题，根据二项分布概率计算公式

，得出正确选项.【详解】依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对4个题或者5个题才能够被选上，答对4个题的概率为4453255C，答对5个题的概率为55535C

，故该生被选中的概率是454555323555CC+.故选C.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别以及二项分布概率的计算，考查分析和解决问题的能力，属于基础题.识别二项分布主要看题目所给条件是否(1)每

次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数8.已知随机变量和，其中127=+，且34E=，若的分布列如下表，则m的

值为（）ξ1234P14mn112A.13B.14C.16D.18【答案】A【解析】【分析】根据随机变量和的关系得到E，概率和为1，联立方程组解得答案.【详解】127=+且34E=，则94E=即1191234412

4Emn=+++=111412mn+++=解得13m=故答案选A【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到E是解题的关键.9.由变量x与y相对应的一组数据()11,y、()25,y、(

)37,y、()413,y、()519,y得到的线性回归方程为ˆ245yx=+，则y=（）A.135B.90C.67D.63【答案】D【解析】【分析】将x代入方程245yx=+计算，即可得答案；【详解】157131995x++++=

=，245294563yx=+=+=，故选：D.【点睛】本题考查回归直线过样本点的中心，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知点A是曲线2cos=上任意一点，则点A到直线()46sin+=的距离的最小值是（）A.1B.32C.52D.

72【答案】C【解析】【分析】将曲线和直线的极坐标方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】曲线2cos=，即()2211,xy−+=表示圆心在()1,0,半径等于1的圆，直线()46sin+=，即380xy+−=，圆心()1,0到直线的

距离等于|108|722+−=，所以点A到直线()46sin+=的距离的最小值是751.22−=故选：C.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化、点到直线距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.11.已知直线3:2xtlyt==−（t为参数），抛物线

C的方程22,yxl=与C交于12,PP，则点()0,2A到12,PP两点距离之和是（）A.43+B.2(23)+C.4(23)+D.83+【答案】C【解析】【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y2＝2x，利用直线参数方程t的几何求解.【详解】将

直线l参数方程化为32122xtyt=−=+(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋3)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋3)，t1′t2′＝16>0

.由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋3)．故答案为C【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能

力.(2)过定点()00,Pxy、倾斜角为的直线的参数方程00xxtcosyytsin=+=+（t为参数）.当动点A在定点()00,Pxy上方时,0,||ttPA=且.当动点B在定点()00,Pxy下方时,0,|ttPB=−且.(3)解答本题不能直

接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t的几何意义解答.12.设实数0m，若对任意的xe，不等式2ln0mxxxme−恒成立，则m的最大值是()A.1eB.3eC.2eD.e【答案】D【解析】分析：将原问结合函数的单调性转化为lnmxx对任意的xe恒成立，结合导函

数的性质求解实数m的最大值即可.详解：不等式2ln0mxxxme−2lnmxxxmelnmxmexxxlnlnmxxmxeex.设()()0xfxxex=，则()()'10xfxxe=+,于是f(x)在()0,+上是增函

数.因为0mx，ln0x，所以lnmxx，即lnmxx对任意的xe恒成立，因此只需()minlnmxx.设()()lngxxxxe=，()()'ln10gxxxe=+，所以()gx在),e+

上为增函数，所以()()mingxgee==，所以me，即m的最大值是e.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系

，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如

果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题（每题5分，共20分）13.4()(1)axx++的展开式中，若x的奇数次幂的项的系数之和为32，则a=________．【答案】3【解析】试题分析：由已知得4234(1)146

4xxxxx+=++++，故4()(1)axx++的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa++，解得3a=．考点：二项式定理．14.实数x，y满足223412xy+=，则23xy+的最大值______．【答案】5.

【解析】分析：根据题意，设2cosx=，3siny=，则有234cos3sinxy+=+，进而分析可得()235sinxy+=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x，y满足223412xy+=，即2214

3xy+=，设2cosx=，3siny=，则()234cos3sin5sinxy+=+=+，3tan4=，又由()15sin1−+，则5235xy−+，即23xy+的最大值5；故答案为5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x、y．

15.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为____

______.【答案】18【解析】【分析】根据所给的条件得出男生数和男生中三好学生数，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率

公式可得答案．【详解】∵高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半.，∴本班有40名男生，男生中有5名三好学生，由题意知，本题可看做一个古典概型，试验发生包含的

事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，∴没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是540＝18，故答案为：18【点睛】求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中

基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn=求得概率.16.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin=和直线sina=相交于,AB两点．若AOB是等边三角形，则a的值为____

_______．【答案】3．【解析】【详解】试题分析：圆的方程为()2224xy+−=，直线为ya=．△AOB是等边三角形，∴其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得．考点：直线和圆的极坐标方程．三、解答题（17题10分，其他每题12分，

共70分）17.2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间(单位:小时))0,1)1,2)2,3)3,4)4,5)5,6收看人数143016282012(1)若将每天收看比赛

转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全22列联表：男女合计球迷40非球迷30合计（2）并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关.附表及公式:()20PKk0.150.100.050.0250k2.0722.7063.8

415.024()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++【答案】（1）列联表见解析；（2）有90%的把握认为该校教职工是"球迷"与"性别"有关【解析】【分析】(1)由频数分布表数据直接

填入22列联表(2)代入公式，计算出2k的值，与独立性检验判断表比较作出判断.【详解】（1）由题意得列联表：男女合计球迷402060非球迷303060合计7050120（2）由（1）得2K的观测值为()21201200600242.70670506060

7−=.所以有90%的把握认为该校教职工是"球迷"与"性别"有关.【点睛】本题考查独立性检验.独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出2k的值；独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判

断，而不是对它们是否有关系的判断．18.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）9084838075

68（1）求回归直线方程ˆy=bx+a，其中b=-20，a=ˆy-bx；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）【答案】(1)y=-20x+250；(2)8.25.【解

析】【分析】（1）计算平均数，利用b=-20，ˆaybx=−，即可求得回归直线方程；（2）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大.【详解】（1）x＝16（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5，y＝16（90＋84＋83＋80＋7

5＋68）＝80，a＝y＋20x＝80＋20×8.5＝250⇒20250ˆyx=−+.（2）工厂获得利润z＝（x－4）y＝－20x2＋330x－1000.当x＝334=8.25时，zmax＝361.25（元）【考点定位】本题主要

考查回归分析，一元二次函数等基础知识，考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想考点：回归分析的初步应用；线性回归方程19.已知曲线221:149xyC+=，直线l：2,22,xtyt=+=−

（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．【答案】（I）2cos,{3sin,xy==260xy+−=；（II）最大值为2255，最

小值为255.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设cos,sin22xy==，得椭圆的参数方程为2cos,{3sin,xy==，消去参数t即得直线的普通方程为260xy+−=；（II）关键是处理好PA与角30的关系．过点P作与l垂直

的直线，垂足为H，则在PHA中，12PHdPA==，故将PA的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cosP，3sin)到定直线260xy+−=的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为2cos,{3sin,xy==（为参数）．直

线l的普通方程为260xy+−=．（II）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为54cos3sin65d=+−．则0255sin()6sin305dPA==+−．其中为锐角，且4tan3=．当sin()1+=−时，PA取到最

大值，最大值为2255．当sin()1+=时，PA取到最小值，最小值为255．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．20.已知函数()ln()fxxaxaR=−.（Ⅰ）当2a=时，求曲线y=()fx在点(1,(1))Af处的切线方程；（

Ⅱ）求函数()fx的极值.【答案】(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－

2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝xax−，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极

值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤

0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．21.已知曲线1C的参数方程为4{31xtyt==−（t为参数），当0t=时，曲线1C上对应的点为．以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为8cos1co

s2=−．（I）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（II）设曲线1C与2C的公共点为，，求的值．【答案】（I）1C的普通方程为3440xy−−=，2C的直角坐标方程为24

yx=；（II）259.【解析】分析：（1）消去参数t得到曲线1C的普通方程，根据二倍角公式及,cosxsiny==得到曲线2C的直角坐标方程；（2）由已知求出曲线1C的参数方程，利用韦达定理求解即

可．详解：（1）因为曲线1C的参数方程为431xtyt==−（t为参数），所以曲线1C的普通方程为3440xy−−=，又曲线2C的极坐标方程为8cos1cos2=−，所以曲线2C的直角坐标方程为24yx=；（2）当0t=时，0,1xy==−，所以点()0,1P−，由

（1）知曲线1C是经过点P的直线，设它的倾斜角为，则3tan4=，所以34sin,cos55==，所以曲线1C的参数方程为45315xTyT==−+（T为参数），将上式代入24yx=，得291

10250TT−+=，所以1225·9PAPBTT==点睛：本题考查极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程之间的互相转化，先由曲线1C的参数方程得到其普通方程，再由二倍角公式及,cosxsiny==得到曲线2C的直角坐标方程，由（1）知点P在直线上，根据条件写出曲线1C的

参数方程为45315xTyT==−+（T为参数），再利用参数T的几何意义和韦达定理是解题的关键，属于中档题．22.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，

……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过500克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列及数学期望.【答案】（I）26件；（Ⅱ）Y的分布列见解析，39EY65=.【解析

】【分析】（I）根据频率分步直方图中所给的小矩形的长宽，求出小矩形的面积，得到这个范围中的频率，乘以样本容量得到结果．（II）由题意知Y的所有可能取值为0，1，2；重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.

01×5），重量未超过505克的产品数量是28件，结合变量对应的事件写出概率和分布列，得到期望值．【详解】（I）重量超过500克的产品数量是40×（0.07×5+0.05×5+0.01×5）＝26件；（Ⅱ）由题意知Y的所有可能取值为0，1，2；重量超过505克

的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）＝12件，重量未超过505克的产品数量是28件．()228240C63PY0C130===，()111228240CC56PY1C130===，P（Y＝2）212240C11C130==，∴Y的分布列为Y

012P631305613011130∴Y的期望为63561139EY01213013013065=++=【点睛】本题考查频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是计算出每一个范围里的频数及相应的概率．