【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.14 直线与圆的位置关系-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(17)页，293.443 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.14直线与圆的位置关系-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线3𝑥+4𝑦+12=0与圆(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=9的位置关系是（）A．相交且过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心【

解题思路】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【解答过程】圆心坐标为(1，−1)，半径𝑟=3，圆心到直线3𝑥+4𝑦+12=0的距离𝑑=|3×1+4×(−1)+12|√32+42=115<𝑟，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选:D.2．（

3分）（2022·河南·高二阶段练习）若直线𝑦=𝑥+𝑏与曲线𝑥=√1−𝑦2恰有一个公共点，则𝑏的取值范围是（）A．[−√2,√2]B．[−1,√2]C．(−1,√2]∪{√2}D．(−1,1]∪

{−√2}【解题思路】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【解答过程】由曲线𝑥=√1−𝑦2，可得𝑥2+𝑦2=1（𝑥≥0），表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，𝑦=𝑥+𝑏是倾斜角为𝜋4的直线与曲线𝑥=√1−𝑦2有且只有一个公共点有两种情况：①直线与

半圆相切，根据𝑑=𝑟，所以𝑑=|𝑏|√2=1，结合图象可得𝑏=−√2；②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知−1<𝑏≤1.综上可知：−1<𝑏≤1或𝑏=−√2.故选：D.3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）圆𝑥2+𝑦2−4𝑥+4𝑦+6=0截直线𝑙:

𝑥−𝑦−5=0所得的弦长等于（）A．√6B．√62C．1D．5【解题思路】方法一，先求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，方法二，将直线方程与圆的方程联立方程组，消去𝑦，利用根与系数的关系结合弦长公

式可求得答案【解答过程】方法一圆的方程可化为(𝑥−2)2+(𝑦+2)2=2，则圆的半径𝑟=√2，圆心(2,−2)到直线𝑙的距离𝑑=|2+2−5|√2=√22，所以直线𝑙被圆截得的弦长为2√𝑟2−𝑑2=2√2−12=√6．方法二设直线𝑙与圆相交于点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵

(𝑥2,𝑦2)．由{𝑥−𝑦−5=0𝑥2+𝑦2−4𝑥+4𝑦+6=0，得2𝑥2−10𝑥+11=0，则𝑥1+𝑥2=5，𝑥1𝑥2=112，所以𝐴𝐵=√1+1×√52−4×112=√6．故选：A.4．（3分）（2022·江苏·高二开学考试）经过直线2𝑥−𝑦

+3=0与圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是（）A．(𝑥+35)2+(𝑦+95)2=195B．(𝑥−35)2+(𝑦−95)2=195C．(𝑥+35)2+(𝑦−95)2=195D．(𝑥−35)2+(�

�+95)2=195【解题思路】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．【解答过程】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.圆

𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0配方可得(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=4，∴圆心坐标为(−1,2)，半径为2，弦心距𝑑=|−2−2+3|√22+12=√55，弦长为2√22−(√55)2=2√955，过圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0的圆心和直线2𝑥−𝑦

+3=0垂直的直线方程为𝑦−2=−12(𝑥+1)，即𝑥+2𝑦−3=0．最小的圆的圆心为2𝑥−𝑦+3=0与直线𝑥+2𝑦−3=0的交点，解方程组可得(−35，95)，∴所求面积最小的圆方程为：(𝑥+35)2+(𝑦−95)2=(√955)2=195，故选：C．5．（3分）（2

022·全国·高二课时练习）过点𝑃(4,1)作圆𝐶:(𝑥−2)2+(𝑦+3)2=4的切线，则切线方程为（）A．3𝑥−4𝑦−8=0B．3𝑥−4𝑦−8=0或𝑥=4C．3𝑥+4𝑦−8=0D．3𝑥+4𝑦−8

=0或𝑥=4【解题思路】根据切线斜率是否存在分类讨论，再利用圆心到切线的距离为半径可求切线方程.【解答过程】若切线的斜率不存在，则过𝑃的直线为𝑥=4，此时圆心𝐶(2,−3)到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线𝑥=4为圆的切线.若切线的斜率存在

，设切线方程为：𝑦=𝑘(𝑥−4)+1即𝑘𝑥−𝑦+1−4𝑘=0，故2=|2𝑘+3+1−4𝑘|√1+𝑘2，解得𝑘=34，故此时切线方程为：3𝑥−4𝑦−8=0.故选：B.6．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若P是直线𝑙:3𝑥+4𝑦+1=0上一动点，过P作圆

𝐶:(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值为（）A．√5B．√7C．2√5D．2√7【解题思路】四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积等于2𝑆△𝑃𝐴𝐶=|𝑃𝐴||𝐴𝐶|=2|𝑃𝐴|=2√|𝑃𝐶|2

−4，所以当|𝑃𝐶|最小时，四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积最小，|𝑃𝐶|的最小值为圆心𝐶到直线的距离，从而歌曲求得答案【解答过程】由题意可得圆𝐶:(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4的圆心为𝐶(2,2)，半径为2，因为𝑃𝐴,𝑃𝐵与圆�

�相切，所以四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积等于2𝑆△𝑃𝐴𝐶=|𝑃𝐴||𝐴𝐶|=2|𝑃𝐴|=2√|𝑃𝐶|2−4，|𝑃𝐶|的最小值为圆心𝐶到直线的距离𝑑=|3×2+4×2+1|√32+42=155=3，所以四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值为2√32−4=2√5，故选：C7

．（3分）（2022·浙江省高二开学考试）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为

圆心的圆形区域，半径为100√3km．则城市A受台风影响的时间为（）A．5hB．5√3hC．52√3hD．4h【解题思路】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间【解答过程】如图，𝐴𝑃=300km，∠𝐴𝑃𝐵=30∘，台风

中心沿𝑃𝐵方向以20km/h的速度移动，台风中心距离城市A的最短距离为𝐴𝐵=𝐴𝑃sin30∘=300×12=150又台风中心为圆心的圆形区域，半径为100√3km．则台风中心在以城市A为圆心半径为100√3km的圆内时，城市A受台风影响以城市A为圆心半径为

100√3km的圆截直线𝑃𝐵所得弦长为2√(100√3)2−1502=100√3km则城市A受台风影响的时间为100√320=5√3(h)故选：B.8．（3分）（2022·全国·高二专题练习）若实数x，y满足𝑥2＋𝑦2－4𝑥－

14𝑦＋45＝0，则下列关于𝑦−3𝑥+2的最值的判断正确的是（）A．最大值为2＋√3，最小值为—2－√3B．最大值为2＋√3，最小值为2－√3C．最大值为－2＋√3，最小值为－2－√3D．最大值为—2

＋√3，最小值为2－√3【解题思路】根据几何意义，把𝑦−3𝑥+2可看作圆上任意一点𝑃(𝑥,𝑦)与定点𝑄(−2,3)连线的斜率，利用几何法求最值.【解答过程】𝑥2＋𝑦2－4𝑥－14𝑦＋45＝0可化为(𝑥−2

)2＋(𝑦−7)2＝8.𝑦−3𝑥+2可看作圆上任意一点𝑃(𝑥,𝑦)与定点𝑄(−2,3)连线的斜率.记𝑘=𝑦−3𝑥+2，则𝑦=𝑘𝑥+2𝑘+3，记为直线l.当直线与圆(𝑥−2)2＋(𝑦−7)2＝8相切时，k可以取得最值.此时圆心到直线的距离𝑑=|2𝑘+2𝑘+3

−7|√1+𝑘2=2√2，解得：𝑘=2±√3.所以2−√3≤𝑦−3𝑥+2≤2+√3.故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）若直线𝑙:𝑦=𝑥+𝑚与曲线𝐶:�

�=3−√4𝑦−𝑦2有公共点，则实数m可以（）A．−1−2√2B．2√2−1C．−3D．−4【解题思路】由题知曲线𝐶是以(3,2)为圆心，半径为2左半圆，进而数形结合求解即可.【解答过程】解：由题知𝐶:√4𝑦−𝑦2=3−𝑥≥0，两边平方整理得(𝑥−3)2+(𝑦−

2)2=4(𝑥≤3,0≤𝑦≤4)，所以，曲线𝐶是以(3,2)为圆心，半径为2左半圆，如图，当直线𝑙与曲线𝐶相切时，由2=|3×1+2×(−1)+𝑚|√2，解得𝑚=2√2−1，当直线过点(3,0)时，𝑚=−3，所以，结

合图形可知，实数m的取值范围是：[−3,2√2−1]．故实数m可以为[−3,2√2−1]内的任意值.故选：BC.10．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线𝑙：𝑎𝑥+𝑏𝑦−𝑟2=

0与圆𝐶：𝑥2+𝑦2=𝑟2，点𝐴(𝑎,𝑏)，则下列说法正确的是（）A．若点𝐴在圆𝐶上，则直线𝑙与圆𝐶相切B．若点𝐴在圆𝐶内，则直线𝑙与圆𝐶相离C．若点𝐴在圆𝐶外，则直线𝑙与圆𝐶相离D．若点𝐴在直线𝑙上，则直线𝑙与圆𝐶相

切【解题思路】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可.【解答过程】对于选项A：∵点𝐴在圆𝐶上，∴𝑎2+𝑏2=𝑟2，∵圆心𝐶(0,0)到直线𝑙的距离为𝑑=|0×𝑎+0×𝑏−𝑟2|√𝑎2+𝑏2=|𝑟2|

√𝑎2+𝑏2=𝑟，∴直线与圆𝐶相切，故A选项正确；对于选项B：∵点𝐴在圆𝐶内，∴𝑎2+𝑏2<𝑟2，∵圆心𝐶(0,0)到直线𝑙的距离为𝑑=|0×𝑎+0×𝑏−𝑟2|√𝑎2+𝑏2=|𝑟2|√𝑎2+𝑏2>𝑟，∴直线与圆𝐶相离，

故B选项正确；对于选项C：∵点𝐴在圆𝐶外，∴𝑎2+𝑏2>𝑟2，∵圆心𝐶(0,0)到直线𝑙的距离为𝑑=|0×𝑎+0×𝑏−𝑟2|√𝑎2+𝑏2=|𝑟2|√𝑎2+𝑏2<𝑟，∴直线与圆𝐶相交，故C选项错误；对于选项D：∵点𝐴在直线𝑙上，∴𝑎2+𝑏

2=𝑟2，∵圆心𝐶(0,0)到直线𝑙的距离为𝑑=|0×𝑎+0×𝑏−𝑟2|√𝑎2+𝑏2=|𝑟2|√𝑎2+𝑏2=𝑟，∴直线与圆𝐶相切，故D选项正确．故选：ABD．11．（4分）（2022

·江苏·高二课时练习）已知过点𝑃(4,2)的直线𝑙与圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−3)2=4交于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点，则（）A．|𝐴𝐵|的最大值为4B．|𝐴𝐵|的最小值为√2C．点�

�到直线𝑙的距离的最大值为2√5D．△𝑃𝑂𝐶的面积为3√62【解题思路】求得圆𝐶的圆心坐标为𝐶(3,3)，半径为𝑟=2，结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定，即可求解.【解答过程】由题意，

圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−3)2=4的圆心坐标为𝐶(3,3)，半径为𝑟=2，又由点𝑃(4,2)在圆𝐶内部，因为过点𝑃(4,2)的直线𝑙与圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−3)2=4交于𝐴,𝐵两点，所以|𝐴𝐵|的最大值为2�

�=4，所以A正确；因为|𝑃𝐶|=√(4−3)2+(2−3)2=√2，当直线𝑙与𝑃𝐶垂直时，此时弦|𝐴𝐵|取得最小值，最小值为|𝐴𝐵|=2√22−(√2)2=2√2，所以B错误；当直线𝑙与𝑂

𝑃垂直时，点𝑂到直线𝑙的距离有最大值，且最大值为|𝑂𝑃|=√(4−0)2+(2−0)2=2√5，所以C正确；由𝑘𝑂𝐶=3−03−0=1,𝑘𝑃𝐶=2−34−3=−1，可得𝑘𝑂𝐶⋅𝑘𝑃𝐶=−1，即𝑂𝐶⊥𝑃𝐶，所以△𝑃𝑂𝐶的面

积为12|𝑂𝐶|⋅|𝑃𝐶|=12×3√2×√2=3，所以D错误.故选：AC.12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线𝑙:𝑥−𝑦+5=0，过直线上任意一点M作圆𝐶:(𝑥−3)2+𝑦2=4的两条切线，切点分别为A，B，则有（）

A．四边形MACB面积的最小值为4√7B．∠𝐴𝑀𝐵最大度数为60°C．直线AB过定点(12,52)D．|𝐴𝐵|的最小值为√14【解题思路】𝑆四边形𝑀𝐴𝐶𝐵=2𝑆△𝑀𝐴𝐶=|𝑀𝐴|⋅|𝐴𝐶|=2|�

�𝐴|，当𝐶𝑀⊥𝑙时|𝑀𝐶|有最小值，求出|𝑀𝐶|min可判断A；当𝐶𝑀⊥𝑙时∠𝐴𝑀𝐵最大，cos∠𝐴𝑀𝐵=cos2∠𝐴𝑀𝐶=1−2sin2∠𝐴𝑀𝐶=34可判断B；设点𝐴(𝑥1

,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑀(𝑥0,𝑦0)，求出直线𝐴𝐵的方程(𝑥0−3)(𝑥−3)+𝑦0𝑦=4，整理得𝑥0(𝑥+𝑦−3)+(5𝑦−3𝑥+5)=0，由{𝑥+𝑦−3=05𝑦−3𝑥+5=0可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当

𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，弦长|𝐴𝐵|最小，求出|𝐴𝐵|的最小值可判断D.【解答过程】对于A选项，由题意可知𝑆四边形𝑀𝐴𝐶𝐵=2𝑆△𝑀𝐴𝐶=|𝑀𝐴|⋅|𝐴𝐶|=2|𝑀𝐴|，当𝐶𝑀⊥𝑙时，|𝑀𝐶|有最小值，即|𝑀𝐶|min=|3−0

+5|√2=4√2，此时|𝑀𝐴|min=√(4√2)2−4=2√7，所以四边形MACB面积的最小值为4√7，故选项A正确；对于B选项，当𝐶𝑀⊥𝑙时，∠𝐴𝑀𝐵最大，此时cos∠𝐴𝑀𝐵=cos2∠𝐴𝑀𝐶=1−2sin2∠𝐴�

�𝐶=34，此时∠𝐴𝑀𝐵≠60∘，故选项B错误；对于C选项，设点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑀(𝑥0,𝑦0)，则𝑥0−𝑦0+5=0，易知在点A、B处的切线方程分别为(�

�−3)(𝑥1−3)+𝑦𝑦1=4，(𝑥−3)(𝑥2−3)+𝑦𝑦2=4，将点𝑀(𝑥0,𝑦0)分别代入两切线方程得(𝑥0−3)⋅(𝑥1−3)+𝑦0𝑦1=4，(𝑥0−3)(𝑥2−3)+𝑦0𝑦2=4，所以直线

𝐴𝐵方程为(𝑥0−3)(𝑥−3)+𝑦0𝑦=4，整理得𝑥0𝑥+𝑦0𝑦−3𝑥0−3𝑥+5=0，代入𝑦0=𝑥0+5，得𝑥0(𝑥+𝑦−3)+(5𝑦−3𝑥+5)=0，解方程组{

𝑥+𝑦−3=0,5𝑦−3𝑥+5=0,得{𝑥=52,𝑦=12,所以直线AB过定点(52,12)，故选项C错误；对于D选项，设直线AB所过定点为P，则𝑃(52,12)，当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，弦

长|𝐴𝐵|最小，此时|𝐶𝑃|2=(3−52)2+(0−12)2=12，则|𝐴𝐵|的最小值为2√4−12=√14，故选项D正确，故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）直线𝑥+√3𝑦+12=0被圆𝑥2+𝑦2=100所截的弦长为16.

【解题思路】先由圆的方程确定圆心坐标和半径大小，再求圆心到直线的距离，根据几何法求弦长.【解答过程】由题知：圆𝑥2+𝑦2=100的圆心为(0,0)，半径𝑟=10，故圆心到直线𝑥+√3𝑦+12=0的距离𝑑=|12|√1+3=6，所以弦长为：𝑙=2√𝑟2−

𝑑2=16.故答案为：16.14．（4分）（2021·福建宁德·高二期中）直线𝑦=𝑘(𝑥−6)+1与曲线𝑦=3−√4𝑥−𝑥2有两个不同的公共点，则实数𝑘的取值范围是[−13，0).【解题思路】由已知，分别作出直线𝑦=�

�(𝑥−6)+1与曲线𝑦=3−√4𝑥−𝑥2的图像，然后观察满足两个不同公共点的情况，分别求解出对应的斜率即可完成求解.【解答过程】由曲线𝑦=3−√4𝑥−𝑥2可得(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=4(𝑦≤3)，其图象是以(2,

3)为圆心，半径为2的半圆，直线𝑦=𝑘(𝑥−6)+1是过定点𝐴(6,1)的直线，做出图像，如图所示：由图可知，𝑘𝐴𝐵=1−36−0=−13，𝑘𝐴𝐶=1−16−2=0，所以直线𝑦=𝑘(𝑥−6)+1与曲线𝑦=3−√4�

�−𝑥2有两个不同的公共点时，实数𝑘的取值范围是[−13，0).故答案为：[−13，0).15．（4分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+𝑚=0与𝑦轴相切，过𝑃(−2,4)作圆𝐶的切线，则切线𝑙的方程为𝑥=−

2或3𝑥+4𝑦−10=0.【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况求解.【解答过程】由圆𝐶:𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+𝑚=0，得(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=5−𝑚，因为圆𝐶:𝑥2+

𝑦2+2𝑥−4𝑦+𝑚=0与𝑦轴相切，所以√5−𝑚=1，解得𝑚=4当过𝑃(−2,4)的直线的斜率不存在时，直线𝑙的方程为𝑥=−2，圆心到直线𝑥=−2的距离为1，符合题意；当过𝑃(−2,4)的直线的斜率存在时，设直线方程为𝑦=𝑘(𝑥+2)+4，则|𝑘+2|√�

�2+1=1，解得𝑘=−34，则切线𝑙的方程为𝑦=−34𝑥+52，即3𝑥+4𝑦−10=0.所以满足条件的切线𝑙的方程为𝑥=−2或3𝑥+4𝑦−10=0.故答案为：𝑥=−2或3𝑥+4𝑦−10=0.16．（4分）（2020·北京·高二期中

）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径为49km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它将会（填“会”或“不会”）受到台风的影响.【解题思路】以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如

图所示的直角坐标系.进而可推断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船不受台风影响.【解答过程】解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方

程为𝑥2+𝑦2=492①轮船航线所在直线𝑙的方程为𝑥80+𝑦60=1，即3𝑥+4𝑦−240=0②如果圆O与直线𝑙有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线𝑙无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向.由于圆心𝑂(0,0)到直线𝑙的距离

𝑑=|3×0+4×0−240|√32+42=48<49，所以直线𝑙与圆O有公共点.这说明轮船将受台风影响.故答案为：会.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）若曲线y

＝1＋√4−𝑥2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，求实数k的取值范围.【解题思路】根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线𝑙经过点𝐴(2,4)，曲线𝐶表示以(0,1)圆心半径为2的圆的上半圆．由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交

时斜率的最小值，结合图形加以观察即可得到本题答案．【解答过程】直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−2)+4，即kx－y－2k＋4＝0，经过定点𝐴(2,4)，曲线𝐶:𝑦=1+√4−𝑥2，化简得𝑥2+(𝑦−1)2=4，表示以(0,1)圆心半径为2的圆的上

半圆.∴直线𝑙与曲线𝐶有两个交点，即直线与半圆有两个交点.当直线𝑙与半圆相切时，|3−2𝑘|√𝑘2+1=2，解得𝑘=512.当直线𝑙为经过点𝐵(−2,1)时，是斜率𝑘的最大值，此时𝑘=34.动直线𝑙位于切线与𝐴𝐵之间(包括𝐴𝐵)时，直线𝑙与曲线𝐶有两个交点，∴

𝑘的取值范围为(512，34]．18．（6分）（2021·广东·高二期中）已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦−4=0，直线𝑙：𝑚𝑥−𝑦+1−𝑚＝0(𝑚∈𝐑)．(1)写出圆𝐶的圆心坐标和半径，并判断直线𝑙与圆𝐶的位置关系；(2)设直

线𝑙与圆𝐶交于A、𝐵两点，若直线𝑙的倾斜角为120°，求弦𝐴𝐵的长．【解题思路】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距

离d，根据|𝐴𝐵|=2√𝑟2−𝑑2即可求弦长．【解答过程】(1)由题设知圆𝐶：𝑥2+(𝑦−1)2=5，∴圆𝐶的圆心坐标为C(0,1)，半径为r＝√5．又直线𝑙可变形为：𝑦−1=𝑚(𝑥−1)，则直线恒过定点𝑀(1,1

)，∵12+(1−1)2=1<5，∴点𝑀在圆𝐶内，故直线𝑙必定与圆相交．(2)由题意知𝑚≠0，∴直线l的斜率𝑘=𝑚=tan120°=−√3，∴圆心𝐶(0,1)到直线𝑙：√3𝑥+𝑦−√3−

1=0的距离𝑑=|−√3|√(√3)2+12=√32，∴|𝐴𝐵|=2√𝑟2−𝑑2=2√5−34=√17．19．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆𝐶的圆心在直线2𝑥−𝑦−2=0上，且与直线𝑙：3𝑥+4𝑦−28=0相切于点𝑃(4,

4).(1)求圆𝐶的方程；(2)求过点𝑄(−4,1)与圆𝐶相切的直线方程.【解题思路】（1）先根据题意求出过𝑃(4,4)与直线𝑙垂直的直线，再与直线2𝑥−𝑦−2=0联立可求出圆心𝐶的坐标，再求出|𝐶𝑃|就是圆的半径，从而可求出圆的方程，（2

）分过点𝑄(−4,1)的直线斜率不存在和存在两种情况求解即可【解答过程】（1）过点𝑃(4,4)与直线𝑙：3𝑥+4𝑦−28=0垂直的直线𝑚的斜率为𝑘=43，所以直线𝑚的方程为𝑦−4=43(𝑥−

4)，即4𝑥−3𝑦−4=0.由{4𝑥−3𝑦−4=02𝑥−𝑦−2=0，解得𝐶(1,0).所以𝑟=√(4−1)2+(4−0)2=5.故圆𝐶的方程为：(𝑥−1)2+𝑦2=25.（2）①若过点𝑄(−4,1)的直线斜率

不存在，即直线是𝑥=−4，与圆相切，符合题意；②若过点𝑄(−4,1)的直线斜率存在，设直线方程为𝑦−1=𝑘(𝑥+4)，即𝑘𝑥−𝑦+4𝑘+1=0，若直线与圆𝐶相切，则有|5𝑘+1|√𝑘2+1=

5，解得𝑘=125.此时直线的方程为12𝑥−5𝑦+53=0.综上，切线的方程为𝑥=−4或12𝑥−5𝑦+53=0.20．（8分）（2021·吉林高二开学考试）已知圆𝐶：𝑥2+𝑦2−2𝑦−2=0，直线𝑙：𝑚𝑥−𝑦+1+𝑚=0，点𝑃(−1,1)．(1)

判断直线𝑙与圆𝐶的位置关系；(2)设直线𝑙与圆𝐶交于不同的两点𝐴,𝐵，求弦𝐴𝐵的中点𝑀的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若|𝐴𝑃||𝑃𝐵|=2，求直线𝑙的方程．【解题思路】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；（

2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.【解答过程】（1）因为直线𝑙：𝑚𝑥−𝑦+1+𝑚=0过定点(−1,1)，又(−1)2+12−2×1−2=−2<0，所以(−1,1)在圆𝐶内，

所以直线𝑙与圆𝐶相交；（2）设𝑀(𝑥,𝑦)，当𝑀与𝑃不重合，即𝑥≠−1时，连接𝐶𝑀，𝐶𝑃，则𝐶𝑀⊥𝑀𝑃，根据勾股定理|𝐶𝑀|2+|𝑀𝑃|2=|𝐶𝑃|2．则𝑥2+(𝑦−1)2+(𝑥+1)2+(𝑦

−1)2=1，化简得：𝑥2+𝑦2+𝑥−2𝑦+1=0（𝑥≠−1）；当𝑀与𝑃重合时，𝑥=−1，𝑦=1也满足上式，故弦𝐴𝐵的中点的轨迹方程为𝑥2+𝑦2+𝑥−2𝑦+1=0；（3）设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，因为|𝐴𝑃||𝑃𝐵|=2

，所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，所以−1−𝑥1=2(𝑥2+1)，化简得𝑥1=−3−2𝑥2．①又{𝑚𝑥−𝑦+1+𝑚=0,𝑥2+(𝑦−1)2=3,消去𝑦并整理得(1+𝑚2)𝑥2+2𝑚2𝑥+𝑚2−3

=0，所以𝑥1+𝑥2=−2𝑚21+𝑚2②，𝑥1𝑥2=𝑚2−31+𝑚2．③由①②③联立，解得𝑚=±√3，所以直线𝑙的方程为√3𝑥−𝑦+1+√3=0或√3𝑥+𝑦+√3−1=0．21．（8分）（2021·福建三明·高二期中）如图，某海面上有𝑂、𝐴、𝐵三

个小岛（面积大小忽略不计），𝐴岛在𝑂岛的北偏东45∘方向且距𝑂岛40√2千米处，𝐵岛在𝑂岛的正东方向且距𝑂岛20千米处.以𝑂为坐标原点，𝑂的正东方向为𝑥轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆𝐶经过𝑂、𝐴、𝐵三点.(1)求圆𝐶的方程；(2)

若圆𝐶区域内有未知暗礁，现有一船在𝑂岛的南偏西30∘方向且距𝑂岛40千米的𝐷处，正沿着北偏东45∘方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由.【解题思路】（1）由题意可求𝐴(40,40)，𝐵(20,0)，设过𝑂，𝐴，𝐵三点的圆𝐶的方

程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，可得{𝐹=0，402+402+40𝐷+40𝐸+𝐹=0，202+20𝐷+𝐹=0，，解得𝐷，𝐸，𝐹的值，即可得解．（2）设船初始位置为点𝐷，则𝐷(−20,−20√3)，且该船航线所在直线𝑙的斜率为1，该船航

行方向为直线𝑙:𝑦−𝑥−20+20√3=0，利用点到直线的距离公式即可求解．【解答过程】(1)由题意得𝐴(40，40)，𝐵(20，0)，设过𝑂、𝐴、𝐵三点的圆𝐶的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥

+𝐸𝑦+𝐹=0(𝐷2+𝐸2−4𝐹>0)，则{𝐹=0，402+402+40𝐷+40𝐸+𝐹=0，202+20𝐷+𝐹=0，解得𝐷=−20，𝐸=−60，𝐹=0，.所以圆𝐶的方程为𝑥2+𝑦2−20𝑥−60𝑦=0(2)该船有触礁的危险.理由如下：由题意得𝐷(−20

，−20√3)，且该船的航线所在的直线𝑙的斜率为1，故该船的航线为直线l：𝑥−𝑦+20−20√3=0，由（1）知圆心为𝐶(10，30)，半径𝑟=10√10，因为圆心𝐶到直线𝑙的距离𝑑=|10−30+20−20√3|√12+12=10√6<10√10所以该船有触礁的危险.22．（8分

）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦=0，点𝐺(4,2).(1)求过点G并与圆C相切的直线方程；(2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且|𝐴𝐵|=1，求|𝑃𝐴|+|𝐵𝐺|的最小值.【解题思

路】（1）设切线方程为𝑦−2=𝑘(𝑥−4)，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；（2）|𝐴𝑃|的最小值可转化为𝐴到圆心𝐶的距离减去半径的最小值，所求|𝑃𝐴|+|𝐵𝐺|的最小值即求|𝐴𝐶|+|𝐵𝐺

|−1的最小值，设𝐴(𝑎,0)，则𝐵(𝑎+1,0)，由|𝐴𝐶|+|𝐵𝐺|−1=√𝑎2+1+√(𝑎−3)2+4−1，转化为𝐷(𝑎,0)到𝑁(0,1)和𝑀(3,2)的距离的最小值减去1，结合

图象可得答案.【解答过程】（1）圆𝐶:𝑥2+(𝑦−1)2=1，由已知过点𝐺(4,2)的切线的斜率存在，设其切线方程为𝑦−2=𝑘(𝑥−4)，所以圆心到切线的距离为|1−4𝑘|√1+𝑘2=1，解得𝑘=815

或𝑘=0，所以切线方程为𝑦−2=815(𝑥−4)或𝑦−2=0，即8𝑥−15𝑦−2=0或𝑦=2.（2）|𝐴𝑃|的最小值可转化为𝐴到圆心𝐶的距离减去半径的最小值，所以求|𝑃𝐴|+|𝐵𝐺|即求|𝐴

𝐶|+|𝐵𝐺|−1的最小值，设𝐴(𝑎,0)，则𝐵(𝑎+1,0)，所以|𝐴𝐶|+|𝐵𝐺|−1=√𝑎2+1+√(𝑎−3)2+4−1=√(𝑎−0)2+(0−1)2+√(𝑎−3)2+(0−2)2−1，可看作𝐷(

𝑎,0)到𝑁(0,1)和𝑀(3,2)的距离的最小值减去1，取点𝑁关于原点对称的点𝐸(0,−1)，连接𝑀𝐸，此时|𝑀𝐸|的长度最小即|𝐴𝐶|+|𝐵𝐺|最小，且|𝑀𝐸|=√9+9=3√2，所以|𝐴𝐶|+|𝐵𝐺|−1的最小值为3√

2−1，此时直线𝑀𝐸的方程为𝑦=𝑥−1，即𝑎=1.