【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第一册课后习题 第五章 习题课　三角恒等变换的应用 Word版含答案.docx，共(8)页，71.871 KB，由小赞的店铺上传

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习题课三角恒等变换的应用A级必备知识基础练1.若tanα=2,则sin2𝛼1+cos2𝛼=()A.16B.13C.23D.12.化简sin𝛼2+cos𝛼22+2sin2π4−𝛼2得()A.2+sinαB.2+√2si

nα-π4C.2D.2+√2sinα+π43.函数f(x)=sinxcosx+cos2x-1的值域为()A.[-√2+12,√2-12]B.[√2-12,√2+12]C.[-1,0]D.[0,12]4.函数f(x)=sin2x-π4-2√2sin2x的最小

正周期是.5.若3sinx-√3cosx=2√3sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ=.6.化简:sin4𝑥1+cos4𝑥·cos2𝑥1+cos2𝑥·cos𝑥1+cos𝑥=.7.已知函数f(x)=4cos4𝑥-2cos2𝑥-1sin(π4

+𝑥)sin(π4-𝑥).(1)求f(-11π12)的值;(2)当x∈[0,π4)时,求函数g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.B级关键能力提升练8.已知α满足sinα=13,则cos(π4+𝛼)cosπ4-α=()A.7

18B.2518C.-718D.-25189.(2022黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx-cos2x,x∈R,则()A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C.f(x)的最小正周期为π2D.直线x=π3为f(x

)图象的一条对称轴10.设a=2sin13°cos13°,b=2tan13°1+tan213°,c=√1-cos50°2,则有()A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b11.已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对

称中心是点(π3,0),则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线()A.x=5π6B.x=4π3C.x=π3D.x=-π312.(多选题)以下函数在区间0,π2上单调递增的有()A.y=sinx+cosxB.y=sinx-

cosxC.y=sinxcosxD.y=sin𝑥cos𝑥13.(多选题)设函数f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4,则f(x)()A.是偶函数B.在区间0,π2上单调递减C.最大值为2D.其图象关于直线x=π2对称14.化简:ta

n70°cos10°(√3tan20°-1)=.15.已知函数f(x)=4tanxsin(π2-𝑥)cosx-π3-√3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[-π4,π4]上的单调性.C级学科素养创新练16.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABC

D的池底水平铺设污水净化管道(Rt△EFG,E是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E是AB的中点,F,G分别落在AD,BC上,且AB=20m,AD=10√3m,设∠GEB=θ.(1)试将污水管道的长度l

表示成θ的函数,并写出定义域;(2)当θ为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度.习题课三角恒等变换的应用1.C因为tanα=2,则sin2𝛼1+cos2𝛼=2sin𝛼cos𝛼2cos2𝛼+sin2𝛼=

2tan𝛼2+tan2𝛼=2×22+22=23.故选C.2.C原式=1+2sin𝛼2cos𝛼2+1-cos2π4−𝛼2=2+sinα-cosπ2-α=2+sinα-sinα=2.3.Af(x)=sinxcosx+cos2x-1=12sin2x+

1+cos2𝑥2-1=12sin2x+12cos2x-12=√22sin(2𝑥+π4)−12,因为-1≤sin(2𝑥+π4)≤1,所以y∈[-√2+12,√2-12].4.πf(x)=√22sin2x-√22cos2x-√2(1-cos2x)=√22sin2x+√22cos2x-√

2=sin2x+π4-√2,所以T=2π2=π.5.-π6因为3sinx-√3cosx=2√3√32sinx-12cosx=2√3sinx-π6,因为φ∈(-π,π),所以φ=-π6.6.tan𝑥2原式=2sin

2𝑥cos2𝑥2cos22𝑥·cos2𝑥1+cos2𝑥·cos𝑥1+cos𝑥=sin2𝑥1+cos2𝑥·cos𝑥1+cos𝑥=2sin𝑥cos𝑥2cos2𝑥·cos𝑥1+cos𝑥=sin𝑥1+cos𝑥=tan𝑥2.7.解(1)f(x)=(1+

cos2𝑥)2-2cos2𝑥-1sin(π4+𝑥)sin(π4-𝑥)=cos22𝑥sin(π4+𝑥)cos(π4+𝑥)=2cos22𝑥sin(π2+2𝑥)=2cos22𝑥cos2𝑥=2

cos2x,所以f(-11π12)=2cos(-11π6)=2cosπ6=√3.(2)g(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2𝑥+π4).因为x∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,3π4),所以当x=π8时,g(x)max

=√2,当x=0时,g(x)min=1.8.Acos(π4+𝛼)cos(π4-𝛼)=cosπ2-π4-α·cosπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos2α=12(1-2sin2α)=12(1-2×1

9)=718,故选A.9.D函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx-cos2x=√3sin2x-cos2x=2√32sin2x-12cos2x=2sin2x-π6,可得f(x)的最大值为2,最小正周期为T=2π2=π,故A,C错误;由f(x)=0,可得2x-π6=kπ,k∈Z,

即为x=𝑘π2+π12,k∈Z,可得f(x)在(0,π)内的零点为π12,7π12,故B错误;由fπ3=2sin2π3−π6=2,可得直线x=π3为f(x)图象的一条对称轴,故D正确.故选D.10.A因为a=2sin13°

cos13°=sin26°,b=2tan13°1+tan213°=tan26°,c=√1-cos50°2=sin25°,且正弦函数y=sinx在区间[0,π2]上单调递增,所以a>c;在区间[0,π2]上tanα>sinα,所以b>a,所以c<a<b,故选A.11.D因为函数f(x)=sin

x+λcosx的图象的一个对称中心是点(π3,0),所以f(π3)=0,即sinπ3+λcosπ3=0,解得λ=-√3,故g(x)=-√3sinxcosx+sin2x,整理得g(x)=-sin(2𝑥+π6)+1

2,所以对称轴方程为2x+π6=kπ+π2(k∈Z),当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π3.12.BD对于A选项,y=sinx+cosx=√2sinx+π4,当x∈0,π2时,x+π4∈π4,3π

4,所以函数在区间0,π2上不单调;对于B选项,y=sinx-cosx=√2sinx-π4,当x∈0,π2时,x-π4∈-π4,π4,所以函数在区间0,π2上单调递增;对于C选项,y=sinxcosx=12sin2x,当x∈0

,π2时,2x∈(0,π),所以函数在区间0,π2上不单调;对于D选项,当x∈0,π2时,y=sin𝑥cos𝑥=tanx,所以函数在区间0,π2上单调递增.13.ABDf(x)=sin2x+π4+cos2x+π4=√2sin2x+π4+π4=√2cos2x.f(-x)

=√2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),故f(x)是偶函数,A正确;∵x∈0,π2,所以2x∈(0,π),因此f(x)在区间0,π2上单调递减,B正确;f(x)=√2cos2x的最大值为√2,C不正确;当x=π2时,f(x)=√2cos2×π2=-√2,因此当x

=π2时,函数有最小值,因此函数图象关于直线x=π2对称,D正确.14.-1原式=sin70°cos70°·cos10°·√3sin20°cos20°-1=sin70°cos70°·cos10°·√3sin20°-cos20°cos20°=sin7

0°cos70°·cos10°·2sin(-10°)cos20°=-sin70°cos70°·sin20°cos20°=-1.15.解(1)f(x)的定义域为{𝑥|𝑥≠π2+𝑘π,𝑘∈Z}.f(x)=4tanxcosxcos(𝑥

-π3)−√3=4sinxcosx-π3-√3=4sinx(12cos𝑥+√32sin𝑥)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x-√3=sin2x+√3(1-cos2x)-√3=sin2x-√3cos2x=2sin(2𝑥

-π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz的单调递增区间是[-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π],k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-

π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=[-π4,π4],B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=[-π12,π4].所以,当x∈[-π4,π4]时,f(x)在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.16.解(1)由题意,∠

GEB=θ,∠GEF=90°,则∠AEF=90°-θ.∵E是AB的中点,AB=20m,AD=10√3m.∴EG=10cos𝜃,EF=10cos(90°-𝜃)=10sin𝜃.∴FG=√𝐸𝐺2+𝐸𝐹2=10cos𝜃sin�

�.则l=10sin𝜃+10cos𝜃+10sin𝜃cos𝜃,定义域θ∈π6,π3.(2)由(1)可知,l=10sin𝜃+10cos𝜃+10sin𝜃cos𝜃,θ∈π6,π3.化简可得l=10(sin𝜃+cos𝜃)+10sin𝜃cos𝜃.令t=sinθ+cosθ=√2

sinθ+π4.∵θ∈π6,π3,∴θ+π4∈5π12,7π12,可得sinθ+π4∈√6+√24,1,则t∈√3+12,√2.可得sinθcosθ=𝑡2-12,且t≠1,那么l=10+10𝑡𝑡2-12=20(1+𝑡)𝑡2-1=20𝑡-1.当t

=√3+12时,l取得最大值为20(1+√3).