【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第一册课后习题 第二章 习题课　基本不等式的应用 Word版含答案.docx，共(6)页，40.778 KB，由小赞的店铺上传

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习题课基本不等式的应用A级必备知识基础练1.下列函数中最小值为4的函数是()A.y=x+4𝑥B.y=2t+1𝑡C.y=4t+1𝑡(t>0)D.y=t+1𝑡2.已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1𝑎+1𝑏的最大值为()A.-1B.

-32C.-4D.-23.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则()A.a+b≤√2B.a+b≤12C.a+b>√2D.1𝑎2+1𝑏2≥44.(多选题)一个矩形的周长为L,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,L)的是()A.(1,4)B.

(6,8)C.(7,12)D.(3,12)5.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于𝑣2800km,那么这批物资全部到达灾区最少需要h.6.已知a,b都

是正数,满足2a+b=3,则𝑎+2𝑏𝑎𝑏的最小值为.7.当x>-1时,x+𝑡𝑥+1(t>0)的最小值为3,则实数t的值为;当x>0时,x+22𝑥+1的最小值为.8.已知正数a,b,x,y满足a+b=1

0,𝑎𝑥+𝑏𝑦=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.9.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+𝑥2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表

达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.B级关键能力提升练10.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2𝑎+1𝑏≥m恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.711.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,下列叙述正确的

是()A.xy最大值为18B.4x2+y2的最小值为12C.12𝑥+1𝑦的最小值为4D.1𝑥+12𝑦的最小值为412.若两个正实数x,y满足1𝑥+4𝑦=1,且不等式x+𝑦4<m有解,则实数m的取值范围是()A.-1<m<4B.m<-4C.m>4D.m<0或m>313.(多

选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则()A.14𝑎+1𝑏的最小值为9B.1𝑎+1𝑏的最小值为9C.(4a+1)(b+1)的最大值为94D.(a+1)(b+1)的最大值为9414.设函数y=x+𝑎𝑥

(a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y的最小值为;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a的值为.15.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为.16.经观测,

某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=920𝑣𝑣2+3𝑣+1600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v为时车流量y最大,最大

车流量为千辆/时(精确到0.01).C级学科素养创新练17.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,

因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).(1)当左右两面

墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900𝑎(1+𝑥)𝑥元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.习题课基本不等式的应用1.CA项中x=-1时,y=-5<4

,B项中t=-1时,y=-3<4,C项中y=4t+1𝑡≥2√4𝑡·1𝑡=4,当且仅当t=12时,等号成立,D项中t=-1时,y=-2<4.故选C.2.Da<0,b<0,a+b=-2,∴1𝑎+1𝑏=-121𝑎+1�

�(a+b)=-122+𝑏𝑎+𝑎𝑏≤-122+2√𝑏𝑎·𝑎𝑏=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1𝑎+1𝑏的最大值为-2,故选D.3.AD因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1

+(a2+b2)=2(当且仅当a=b时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b≤√2,故A正确;1𝑎2+1𝑏2=𝑎2+𝑏2𝑎2+𝑎2+𝑏2𝑏2=1+𝑏2𝑎2+𝑎2𝑏2+1≥2+2√𝑎2𝑏2·𝑏2𝑎2=2+2=4,当且仅当𝑏2𝑎2=𝑎2𝑏2,即a=b时,等

号成立,故D正确.故选AD.4.AC设矩形的长、宽分别为a,b,由题意L=2(a+b),S=ab,∴L=2(a+b)≥4√𝑎𝑏=4√𝑆,即L≥4√𝑆,显然选项AC符合题意,故选AC.5.10当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·𝑣

2800𝑣=𝑣16h,最后一辆车驶完全程共需要400𝑣h,所以一共需要400𝑣+𝑣16h,由基本不等式,得400𝑣+𝑣16≥2√400𝑣·𝑣16=10,故最少需要10h.6.3∵a,b都是正数,满足2a+b=3,则

𝑎+2𝑏𝑎𝑏=1𝑏+2𝑎=13(2a+b)2𝑎+1𝑏=135+2𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥13(5+4)=3,当且仅当2𝑏𝑎=2𝑎𝑏且2a+b=3,即a=b=1时,𝑎+2𝑏𝑎𝑏取得最小值3.7.432当x>-1时,x+1>0,则x+𝑡𝑥+1=(x+1)+

𝑡𝑥+1-1≥2√𝑡-1,当且仅当x+1=√𝑡时,等号成立,则x+𝑡𝑥+1的最小值为2√𝑡-1,则有2√𝑡-1=3,解得t=4.∵x>0,∴x+12>0,x+22𝑥+1=x+1𝑥+12=x+12+1𝑥+12−12≥2√(

𝑥+12)·1𝑥+12−12=32,当且仅当x+12=1𝑥+12,即x=12时,等号成立.8.解x+y=(x+y)(𝑎𝑥+𝑏𝑦)=a+𝑏𝑥𝑦+𝑎𝑦𝑥+b=10+𝑏𝑥𝑦+𝑎𝑦𝑥.因为x,y>0,

a,b>0,所以x+y≥10+2√𝑎𝑏=18,即√𝑎𝑏=4.当且仅当𝑏𝑥𝑦=𝑎𝑦𝑥时,等号成立.又a+b=10,所以{𝑎=2,𝑏=8或{𝑎=8,𝑏=2.9.解(1)设所用时间为t=130𝑥小时,则y=130𝑥×6×(2+𝑥2

360)+14×130𝑥,50≤x≤100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=3380𝑥+136x,50≤x≤100.(2)y=3380𝑥+136x≥263√390,当且仅当3380𝑥=136x,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次

行车的总费用最低,最低费用的值为y=338050+136×50=263915(元).10.B2𝑎+1𝑏=2𝑎+1𝑏(2a+b)=5+2𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥5+2√2𝑏𝑎·2𝑎𝑏=9,当且仅当2𝑏𝑎=2𝑎𝑏,即a=b=1

3时,等号成立.所以2𝑎+1𝑏的最小值为9,又因为2𝑎+1𝑏≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9.11.ABCxy=12×2xy≤12×(2𝑥+𝑦2)2=18,当且仅当2x=y,即x=14,y=12时,等号成立,故A

正确;4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy≤18,则4x2+y2=1-4xy≥1-4×18=12,当且仅当2x=y,即x=14,y=12时,等号成立,故B正确;12𝑥+1𝑦=(12𝑥+1𝑦)(2x+y)=2+�

�2𝑥+2𝑥𝑦≥2+2√𝑦2𝑥·2𝑥𝑦=4,当且仅当𝑦2𝑥=2𝑥𝑦,即x=14,y=12时,等号成立,故C正确;1𝑥+12𝑦=(1𝑥+12𝑦)(2x+y)=52+𝑦𝑥+𝑥𝑦≥52

+2√𝑦𝑥·𝑥𝑦=92,当且仅当𝑦𝑥=𝑥𝑦,即x=y=13时,等号成立,故D错误.故选ABC.12.C(1𝑥+4𝑦)(𝑥+𝑦4)=2+𝑦4𝑥+4𝑥𝑦≥2+2√𝑦4𝑥·4𝑥𝑦=4

,当且仅当4x=y=8时,等号成立,则x+𝑦4≥4,不等式x+𝑦4<m有解,则m>4.13.BC由题得,14𝑎+1𝑏=(14𝑎+1𝑏)(4a+b)=2+𝑏4𝑎+4𝑎𝑏≥2+2√𝑏4𝑎·4𝑎𝑏=4,当𝑏4�

�=4𝑎𝑏,即b=4a且4a+b=1时,等号成立,故14𝑎+1𝑏的最小值是4,故A不正确;1𝑎+1𝑏=(1𝑎+1𝑏)(4a+b)=5+𝑏𝑎+4𝑎𝑏≥5+2√𝑏𝑎·4𝑎𝑏=9,当𝑏𝑎=4𝑎𝑏,即b=2a且4a+b=

1时,等号成立,1𝑎+1𝑏的最小值为9,故B正确;(4a+1)(b+1)≤[(4𝑎+1)+(𝑏+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4𝑎+4)+(𝑏+1)2]2

=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D不正确.故选BC.14.(1)2(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)(1)当a=1时,由基本不等式得x+1𝑥≥2√𝑥·1𝑥=2,当且仅当x

=1𝑥,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+𝑎𝑥≥2√𝑥·𝑎𝑥=2√𝑎,当且仅当x=𝑎𝑥,x=√𝑎时等号成立,故√𝑎>2,即a>4.填a>4的任意一个a都符合题意.15.2√2∵m,n为正实数,都有

m2-amn+2n2≥0,∴m2+2n2≥amn,即a≤𝑚2+2𝑛2𝑚𝑛=𝑚𝑛+2𝑛𝑚恒成立.∵𝑚𝑛+2𝑛𝑚≥2√𝑚𝑛·2𝑛𝑚=2√2,∴a≤2√2,即最大值为2√2.16.4011.08y

=920𝑣𝑣2+3𝑣+1600=920𝑣+1600𝑣+3≤9202√𝑣·1600𝑣+3=92083≈11.08.当v=1600𝑣,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.17.解(1)设甲工程

队的总造价为y元,则y=3150×2x+400×12𝑥+7200=900x+16𝑥+7200(2≤x≤6),900x+16𝑥+7200≥900×2×√𝑥·16𝑥+7200=14400.当且仅当x=16𝑥,即x=4时,等号成

立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.(2)由题意可得,当2≤x≤6时,900x+16𝑥+7200>900𝑎(1+𝑥)𝑥恒成立,即(𝑥+4)2𝑥>𝑎(1+𝑥)𝑥,∴a<(𝑥+4)2𝑥+1=(x+1)+9𝑥+1+6,又x+1+9𝑥+1+

6≥2√(𝑥+1)·9𝑥+1+6=12,