【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第一册课后习题 第二章 2-2　基本不等式 Word版含答案.docx，共(7)页，58.177 KB，由小赞的店铺上传

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2.2基本不等式A级必备知识基础练1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为()A.1B.√2C.2D.42.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13B.12C.14D.233.(多选题

)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.0<1𝑎𝑏≤14B.√𝑎𝑏<2C.1𝑎+1𝑏≥1D.1𝑎2+𝑏2≤184.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风

车,代表中国人民热情好客.教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释,这个说法正确的是()A.如果a>b>0,那么a>bB.如果a>b>0,那么a2>b2C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立D.对任意正实数a和b,有a+b≥2√𝑎𝑏,当且仅当a=b时

,等号成立5.(多选题)设x>0,y>0,xy=x+y+a,其中a为参数.下列选项正确的是()A.当a=0时,x+y的最大值为4B.当a=0时,x+y的最小值为4C.当a=3时,xy的最小值为9D.当a=3时,xy的最大值为36.已知t>0,则𝑡

2-3𝑡+1𝑡的最小值为.7.已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为,√2𝑥(𝑦+1)的最大值为.8.设a>0,b>0,且不等式1𝑎+1𝑏+𝑘𝑎+𝑏≥0恒成立,求实数k的最小值.9.已知a,b,c为正数,求证:𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐+

𝑎-𝑏𝑏+𝑎+𝑏-𝑐𝑐≥3.10.已知a>0,b>0,求证:𝑎2𝑏+𝑏2𝑎≥a+b.B级关键能力提升练11.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是()A.∀x∈R,且x≠0,x+1𝑥≥2B.∃x∈R,使得x2+1≤2xC.若x>0,y>0,则√𝑥2+𝑦22≥2�

�𝑦𝑥+𝑦D.若x>0,y>0,且x+y=18,则√𝑥𝑦的最大值为912.(2022安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式1𝑎+2𝑏≥𝑚2𝑎+𝑏恒成立,则实数m的最大值为()A.10B.9C.8D.713.(多选题)对于a>0,b

>0,下列不等式中正确的是()A.√𝑎𝑏2<1𝑎+1𝑏B.ab≤𝑎2+𝑏22C.ab≤(𝑎+𝑏2)2D.(𝑎+𝑏2)2≤𝑎2+𝑏2214.已知当x=a时,代数式x-4+9𝑥+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.815.(

多选题)已知a,b均为正实数,则下列不等式不一定成立的是()A.a+b+1√𝑎𝑏≥3B.(a+b)(1𝑎+1𝑏)≥4C.𝑎2+𝑏2√𝑎𝑏≥a+bD.2𝑎𝑏√𝑎+𝑏≥√𝑎𝑏16.已知a>b>c,则√(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)与𝑎-𝑐2的大

小关系是.17.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为.18.已知不等式(x+y)(1𝑥+𝑎𝑦)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.C级学科素养创新练19.若a>0,b>0,且(a+b)√𝑎𝑏=1.(1)求ab的最大值;(

2)是否存在a,b,使得12𝑎+13𝑏的值为√63?并说明理由.2.2基本不等式1.D∵ab=a+b≥2√𝑎𝑏,(√𝑎𝑏)2≥2√𝑎𝑏,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.2.B∵0<x<1

,∴1-x>0.∴x(1-x)≤(𝑥+1-𝑥2)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.3.CDA项:√𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2=2,∴ab≤4.∵ab>0,∴1𝑎𝑏≥14,A错误;B项:√𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2=2,当且仅当a=b=2时,等号

成立,故B项错误;C项:1𝑎+1𝑏≥2√1𝑎·1𝑏=2√𝑎𝑏≥2×12=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C项正确;D项:a2+b2≥(𝑎+𝑏)22=8,∴1𝑎2+𝑏2≤18,当且仅当a=b=2时,等号成立,∴D项正确.故选CD.4.C依题

意,图中的四个直角三角形是全等的直角三角形,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则大正方形的边长为√𝑎2+𝑏2,如题图,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×12ab=2

ab,当a=b时,中间空白的正方形消失,即整个正方形与四个直角三角形重合.故选C.5.BC当a=0时,x>0,y>0,xy=x+y,∴1𝑥+1𝑦=1.x+y=(x+y)(1𝑥+1𝑦)=2+𝑦𝑥+𝑥𝑦≥2+2√𝑦�

�·𝑥𝑦=4,当且仅当𝑦𝑥=𝑥𝑦,且1𝑥+1𝑦=1,即x=y=12时,等号成立,x+y取得最小值4,A错误,B正确;当a=3时,xy=x+y+3≥2√𝑥𝑦+3,当且仅当x=y时,等号成立,解得√𝑥𝑦≥3,即xy≥9,故x

y的最小值为9,C正确,D错误.故选BC.6.-1𝑡2-3𝑡+1𝑡=t+1𝑡-3≥2√𝑡·1𝑡-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.7.23正实数x,y满足x+2y=4,则xy=12x·2y≤12×(𝑥+2𝑦2)2

=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.∵√2𝑥(𝑦+1)=√4×12𝑥·(𝑦+1)≤2×12𝑥+𝑦+12=3,当且仅当12x=y+1,且x+2y=4,即x=3,y=12时,等号成立.8.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-

1𝑎+1𝑏(a+b),所以k≥-𝑏𝑎+𝑎𝑏-2.因为𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以-𝑏𝑎+𝑎𝑏-2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.9.证明左边=𝑏�

�+𝑐𝑎-1+𝑐𝑏+𝑎𝑏-1+𝑎𝑐+𝑏𝑐-1=(𝑏𝑎+𝑎𝑏)+(𝑐𝑎+𝑎𝑐)+(𝑐𝑏+𝑏𝑐)-3.∵a,b,c为正数,∴𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2(当且仅当a=b时,等号成立);𝑐𝑎+𝑎𝑐≥2(当且仅当a=c时,

等号成立);𝑐𝑏+𝑏𝑐≥2(当且仅当b=c时,等号成立).从而(𝑏𝑎+𝑎𝑏)+(𝑐𝑎+𝑎𝑐)+(𝑐𝑏+𝑏𝑐)≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).∴(𝑏𝑎+𝑎𝑏)+(𝑐𝑎

+𝑎𝑐)+(𝑐𝑏+𝑏𝑐)-3≥3,即𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐+𝑎-𝑏𝑏+𝑎+𝑏-𝑐𝑐≥3.10.证明∵a>0,b>0,∴𝑎2𝑏+b≥2√𝑎2𝑏·𝑏=2a,𝑏2𝑎+a≥2√𝑏2𝑎·𝑎=2b,∴𝑎2𝑏+b+𝑏2𝑎+a≥2a+

2b,∴𝑎2𝑏+𝑏2𝑎≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.11.BCD对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为√�

�2+𝑦22≥2𝑥𝑦𝑥+𝑦,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√𝑥𝑦,∴√𝑥𝑦≤9,D正确.故选BCD.12.C因为a>0,b>0,则m≤(1𝑎+2𝑏)(2a+b),所以(1𝑎+2𝑏)(

2a+b)=4+𝑏𝑎+4𝑎𝑏≥4+2√𝑏𝑎·4𝑎𝑏=8,当且仅当𝑏𝑎=4𝑎𝑏,即b=2a时,等号成立,要使不等式恒成立,所以m≤8.即实数m的最大值为8.故选C.13.BCD当a>0,b>0时,因为21𝑎+1𝑏≤√𝑎𝑏,所以2√𝑎𝑏≤1𝑎+1𝑏

,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.14.Cy=x-4+9𝑥+1=x+1+9𝑥+1-5,由x>-1,得x+1>0,9𝑥+1>0,所以由基本不等式得y=x+1+9𝑥+1-5≥2√(𝑥+1)·9𝑥+1-5=1,当且仅当x+

1=9𝑥+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.15.AD对于A项,a+b+1√𝑎𝑏≥2√𝑎𝑏+1√𝑎𝑏≥2√2<3,当且仅当a=b=√22时,等号同时成立;对于B项,(a+b)·(1𝑎+1𝑏)=2+𝑎𝑏+𝑏𝑎

≥4,当且仅当a=b时,等号成立;对于C项,𝑎2+𝑏2√𝑎𝑏≥(𝑎+𝑏)22√𝑎𝑏≥(𝑎+𝑏)2𝑎+𝑏=a+b,当且仅当a=b时,等号成立;当a=12,b=13时,2𝑎𝑏√𝑎+𝑏=13√56=√215,√𝑎𝑏=√1

6,√16>√215,即2𝑎𝑏√𝑎+𝑏<√𝑎𝑏,当a=b=1时,2𝑎𝑏√𝑎+𝑏=√2,√𝑎𝑏=1,即2𝑎𝑏√𝑎+𝑏>√𝑎𝑏,所以D项满足题意.故选AD.16.√(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)

≤𝑎-𝑐2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴𝑎-𝑐2=(𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐)2≥√(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐).当且仅当b=𝑎+𝑐2时,等号成立.17.3-2√2设直角三角形的两直角边长为a,b,则斜边长为√𝑎2+𝑏2,面积为S,周长L=2,由

于a+b+√𝑎2+𝑏2=L≥2√𝑎𝑏+√2𝑎𝑏,当且仅当a=b时,等号成立,∴√𝑎𝑏≤𝐿2+√2.∴S=12ab≤12𝐿2+√22=12·(2-√2)𝐿22=3-2√24L2=3-2√2.18.解∵(x+y)(1𝑥+𝑎𝑦)=1+a+𝑦𝑥+𝑎𝑥

𝑦,又x>0,y>0,a>0,∴𝑦𝑥+𝑎𝑥𝑦≥2√𝑦𝑥·𝑎𝑥𝑦=2√𝑎,∴1+a+𝑦𝑥+𝑎𝑥𝑦≥1+a+2√𝑎,当且仅当y=√𝑎x时,等号成立.∴要使(x+y)(1𝑥+𝑎𝑦)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2√

𝑎≥9恒成立即可.∴(√𝑎+1)2≥9,即√𝑎+1≥3,∴a≥4,故a的最小值为4,此时y=2x=2.19.解(1)∵(a+b)√𝑎𝑏=1,∴a+b=1√𝑎𝑏.∵a>0,b>0,∴a+b≥2√𝑎𝑏,当且仅当a=

b=√22时,等号成立,∴1√𝑎𝑏≥2√𝑎𝑏,∴ab≤12,当且仅当a=b=√22时,等号成立,∴ab的最大值为12.(2)不存在.理由如下,