【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第二册课后习题 第四章　数列 培优课——求数列的通项 Word版含答案.docx，共(8)页，85.263 KB，由小赞的店铺上传

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培优课——求数列的通项必备知识基础练1.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于()A.2021×22018B.2022×22019C.2021

×22019D.2022×220202.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是()A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D

.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列3.已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为.4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an

+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.5.已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=√𝑆𝑛+√𝑆𝑛-1(n≥2).试

求数列{bn}的通项公式.关键能力提升练6.在数列{an}中,a1=5,且满足𝑎𝑛+12𝑛-5-2=𝑎𝑛2𝑛-7,则数列{an}的通项公式为()A.2n-3B.2n-7C.(2n-3)(2n-7)D.2n-57

.已知数列{an}满足a1=1,an+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+2(n∈N*).若bn=log21𝑎𝑛+1,则数列{bn}的通项公式bn等于()A.12nB.n-1C.nD.2n8.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+

2n,则a6=.9.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为.10.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=𝑛+12an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式an.11.某企业投

资1000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(取lg2≈0.30103)

学科素养创新练12.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:{𝑎𝑛-23}是等比数列;(3)当a1=76

时,求数列{an}的通项公式.参考答案培优课——求数列的通项1.B记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,∴𝑎𝑛2𝑛-2=𝑎𝑛-12𝑛-3+1,即{𝑎𝑛2𝑛-2}是以𝑎12

-1=2为首项,1为公差的等差数列.∴𝑎𝑛2𝑛-2=2+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)·2n-2.又每行比上一行的数字少1个,∴最后一行为第2021行,∴M=a2021=2022×22019.2.AD因为Sn+1=2Sn+n-1,所以𝑆𝑛+1+𝑛+1𝑆𝑛+𝑛

=2𝑆𝑛+2𝑛𝑆𝑛+𝑛=2.又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2

,a3+1=4,即𝑎3+1𝑎2+1≠𝑎2+1𝑎1+1,故C错误;由Sn=2n-n,所以Sn-Sn-1+1=2n-n-2n-1+n-1+1=2n-1,故D正确.3.an=3(2𝑛-1)(2𝑛+1)由(2n+1)an=(2n-3)an-1,可得𝑎𝑛𝑎𝑛-1=2𝑛-32𝑛+1(n

≥2),所以𝑎2𝑎1=15,𝑎3𝑎2=37,𝑎4𝑎3=59,𝑎5𝑎4=711,…,𝑎𝑛𝑎𝑛-1=2𝑛-32𝑛+1(n≥2).上述各式左右两边分别相乘得𝑎𝑛𝑎1=1×3(2𝑛-1)(2𝑛+1)(n≥2),故an=3(2𝑛-1

)(2𝑛+1)(n≥2).又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=3(2𝑛-1)(2𝑛+1)(n∈N*).4.(1)解因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a

1=3.(2)证明因为Sn=2an+n-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,所以an-1=2(an

-1-1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.5.解∵Sn-Sn-1=√𝑆𝑛+√𝑆𝑛-1(n≥2),∴(√𝑆𝑛+√𝑆𝑛-1)(√𝑆𝑛−√𝑆𝑛-

1)=√𝑆𝑛+√𝑆𝑛-1(n≥2).又√𝑆𝑛>0,∴√𝑆𝑛−√𝑆𝑛-1=1.又√𝑆1=1,∴数列{√𝑆𝑛}是首项为1,公差为1的等差数列,∴√𝑆𝑛=1+(n-1)×1=n,故Sn=n2.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2

=2n-1.当n=1时,b1=1符合上式.∴bn=2n-1.6.C因为𝑎𝑛+12𝑛-5-2=𝑎𝑛2𝑛-7,所以𝑎𝑛+12𝑛-5−𝑎𝑛2𝑛-7=2,又𝑎12-7=-1,所以数列{𝑎𝑛2𝑛-7}

是以-1为首项,公差为2的等差数列,所以𝑎𝑛2𝑛-7=-1+2(n-1)=2n-3,所以an=(2n-3)(2n-7).7.C由an+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+2,得1𝑎𝑛+1=1+2𝑎𝑛,所以1𝑎𝑛+1+1=21𝑎𝑛+1,又1𝑎1+1=2,所以数列{1𝑎𝑛+1}是首项为2

,公比为2的等比数列,所以1𝑎𝑛+1=2·2n-1=2n,所以bn=log21𝑎𝑛+1=log22n=n.8.2016因为an+1=4an+2n,所以an+1+2n=4(an+2n-1),所以数列{an+2n-1}是等比数列,首项为2,

公比为4,则an+2n-1=2×4n-1,可得an=22n-1-2n-1,则a6=22×6-1-26-1=211-25=2016.9.an=(3n-2)·2n∵an+1=2an+3·2n+1,∴𝑎𝑛+12𝑛+1=𝑎𝑛2𝑛+3,即𝑎𝑛+1

2𝑛+1−𝑎𝑛2𝑛=3.∴数列{𝑎𝑛2𝑛}是公差为3的等差数列.又𝑎12=1,∴𝑎𝑛2𝑛=1+3(n-1),∴an=(3n-2)·2n.10.解由a1+2a2+3a3+…+nan=𝑛+12an+1,得当n≥2时,a1+2a2+

3a3+…+(n-1)an-1=𝑛2an,两式作差得nan=𝑛+12an+1-𝑛2an,得(n+1)an+1=3nan(n≥2),即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,n

an=2×3n-2.于是an={1,𝑛=1,2×3𝑛-2𝑛,𝑛≥2,𝑛∈N*.11.解设该项目n年后资金数为an,n∈N*.则由已知得an+1=an(1+25%)-200,即an+1=54an-200.令an

+1-x=54(an-x),即an+1=54an-𝑥4,由𝑥4=200,得x=800.∴an+1-800=54(an-800).故数列{an-800}是以a1-800为首项,54为公比的等比数列.∵a1=

1000×(1+25%)-200=1050,∴a1-800=250,∴an-800=250×54n-1,∴an=800+250×54n-1(n∈N*).由题意知an≥4000,∴800+250×54n-1≥4000,即

(54)𝑛≥16.两边取常用对数得nlg54≥lg16,即n(1-3lg2)≥4lg2.∵lg2≈0.30103,∴不等式化为n≥4lg21-3lg2≈12.43,∴n≥13.故经过13年后,该项目资金可达到或超过翻两番的目标.12.(1)解根据根与

系数的关系,得{𝛼+𝛽=𝑎𝑛+1𝑎𝑛,𝛼𝛽=1𝑎𝑛.代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得6𝑎𝑛+1𝑎𝑛−2𝑎𝑛=3.所以an+1=12an+13.(2)证明因为an

+1=12an+13,所以an+1-23=12an-23.若an=23,则方程anx2-an+1x+1=0,可化为23x2-23x+1=0,即2x2-2x+3=0.此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,所以an≠23,即an-23≠0.所以数列{𝑎�

�-23}是以12为公比的等比数列.(3)解当a1=76时,a1-23=12,所以数列{𝑎𝑛-23}是首项为12,公比为12的等比数列.所以an-23=12×(12)𝑛-1=(12)𝑛,所以an=23+(12)𝑛,n∈N*,即数列{an}的通项公式为an=23+(12)𝑛,n∈

N*.