【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.15 圆锥曲线中的面积问题大题专项训练（30道）（学生版）.docx，共(12)页，388.715 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.15圆锥曲线中的面积问题大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·全国·高二课时练习）设𝐹1，𝐹2是双曲线𝑥25−𝑦24=

1的两个焦点，𝑃是该双曲线上一点，且|𝑃𝐹1|:|𝑃𝐹2|=2:1，求△𝑃𝐹1𝐹2的面积．2．（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1，以及椭圆内一点𝑀(

1,1).(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程；(2)若P是椭圆C上的点，𝐹1,𝐹2为左右焦点，∠𝐹1𝑃𝐹2=30°，求△𝐹1𝑃𝐹2的面积.3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知点𝐴(2,1)在双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−�

�2𝑎2−1=1(𝑎>1)上，直线l交C于𝑃，𝑄两点，直线𝐴𝑃，𝐴𝑄的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，求△𝑃𝐴𝑄的面积.4．（2022·陕西·研究室三模（理））已知椭圆𝐶：𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0

)的离心率为√32，且过点(1,2).(1)求椭圆𝐶的方程；(2)若直线𝑙被圆𝑥2+𝑦2=𝑎2截得的弦长为2√6，设直线𝑙与椭圆𝐶交于A，𝐵两点，𝑂为坐标原点，求△𝑂𝐴𝐵面积的最大

值.5．（2022·全国·高考真题）已知点𝐴(2,1)在双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2−1=1(𝑎>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，

求△𝑃𝐴𝑄的面积．6．（2022·四川·高三学业考试）已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥过点𝑀(1,2).(1)求抛物线𝐶的标准方程；(2)设抛物线𝐶的焦点为𝐹，坐标原点为𝑂.过点𝐹且倾斜角为π3的直线与抛物线𝐶交于𝐴，𝐵两点，求△𝐴𝐵𝑂的面积.7．（2022·

江苏南京·高二期末）已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求△𝑃𝐴�

�面积的最大值．8．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线𝐶:𝑥23−𝑦2=1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求直线l倾斜角𝜃的取值范围；(2)直线AO（O为坐标原

点）与曲线C的另一个交点为D，求△𝐴𝐵𝐷面积的最小值，并求此时l的方程．9．（2023·广东茂名·高三阶段练习）如图，平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑄为𝑥轴上的一个动点，动点𝑃满足|𝑃𝑂|

=|𝑃𝑄|=32，又点𝐸满足𝑃𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐸𝑄⃑⃑⃑⃑⃑.(1)求动点𝐸的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点𝐴(𝑥0,𝑦0)（𝑥0𝑦0≠0）的直线𝑙与𝑥，𝑦轴的交点分别为𝑀和𝑁，且𝑁

𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑，过原点𝑂的直线与𝑙平行，且与曲线Γ交于𝐵、𝐷两点，求△𝐴𝐵𝐷面积的最大值.10．（2022·陕西·研究室三模（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2

𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的上顶点E与其左、右焦点𝐹1、𝐹2构成面积为1的直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过点𝐹2的直线l交C于𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)两点，P是C上的动点

，当1𝑥1+1𝑥2=3时，求△𝑃𝐴𝐵面积的最大值．11．（2022·全国·模拟预测）如图所示，𝑀、𝐷分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎>1)的左、右顶点，离心率为√32.(1)求椭圆的标

准方程；(2)过𝑀点作两条互相垂直的直线𝑀𝐴，𝑀𝐵与椭圆交于𝐴，𝐵两点，求△𝐷𝐴𝐵面积的最大值.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的长轴长为2

√3，离心率为√63．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点𝑃(0,2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△𝑂𝐴𝐵（O为原点）面积的最大值．13．（2022·江苏·高二阶段练习）已知抛物线𝐶1:𝑦2=4�

�与椭圆𝐶2:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)有公共的焦点，𝐶2的左､右焦点分别为𝐹1,𝐹2，该椭圆的离心率为12.(1)求椭圆𝐶2的方程；(2)已知点𝑃(1,𝑡)为椭圆𝐶2上一点，过点𝐹

2的直线𝑙与椭圆𝐶2交于异于点𝑃的𝐴,𝐵两点，若△𝑃𝐴𝐵的面积是9√27，求直线𝑙的方程.14．（2022·湖北·高三阶段练习）已知椭圆𝐶:𝑥24+𝑦22=1，过点𝑃(√23,−13)而不过点𝑄(√2,1)的动直线𝑙与椭圆𝐶交

于𝐴､𝐵两点.(1)求∠𝐴𝑄𝐵;(2)若直线𝑄𝐴,𝑄𝐵的斜率之和为0，求△𝑄𝐴𝐵的面积.15．（2021·江苏·高二期中）椭圆𝐶1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)经过点𝐸(1,1)，其右焦点为抛物线𝐶2:

𝑦2=2√6𝑥的焦点𝐹；直线𝑙与椭圆𝐶1交于𝐴、𝐵两点，且以𝐴𝐵为直径的圆过原点．(1)求椭圆𝐶1的方程；(2)若过原点的直线𝑚与椭圆𝐶1交于𝐶,𝐷两点，且𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝑡(𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+�

�𝐵⃑⃑⃑⃑⃑)，求四边形𝐴𝐶𝐵𝐷面积的范围16．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆𝐶:𝑥24+𝑦2𝑏2=1(0<𝑏<2)，直线𝑙1:𝑦=𝑥+𝑚与椭圆𝐶交于𝐴，𝐵两点，且|𝐴𝐵|的最大值为4√63

．(1)求椭圆𝐶的方程；(2)当|𝐴𝐵|=4√63时，斜率为−2的直线𝑙2交椭圆𝐶于𝑃，𝑄两点（𝑃，𝑄两点在直线𝑙1的异侧），若四边形𝐴𝑃𝐵𝑄的面积为16√69，求直线𝑙2的方程．17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−

𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√62，焦点到其渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知直线l：𝑦=−12𝑥+𝑡(𝑡>0)与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为−18，求△OAB的面积

．18．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B．(1)求实数k的取值范围；(2)O是坐标原点，且△AOB的面积为√2，求实数k的值．19．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）已知双曲线𝐶:

𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线方程是𝑦=−√33𝑥，焦距为4.(1)求双曲线𝐶的方程；(2)直线𝑙过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与𝑦轴交于𝑀点，O为坐标原点，若𝑀𝑂⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑

⃑，求△𝐴𝐵𝑁面积的取值范围.20．（2022·江苏·高二课时练习）已知双曲线C：𝑥2𝑎2－𝑦2𝑏2＝1(a>0,b>0)经过点(√2,1)，焦点到渐近线的距离为1.(1)若直线l：y＝kx－1与双曲线C有两个不同的交点，求

实数k的取值范围；(2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A,B两点，O是坐标原点，且三角形AOB的面积为√2，求实数k的值．21．（2022·广东·高二期末）已知圆𝐹1：𝑥2+𝑦2+4𝑥=0，圆𝐹2：𝑥2+𝑦2−4𝑥−12=0，一动圆与圆𝐹1和圆𝐹2同时内切.(1)求动圆

圆心𝑀的轨迹方程；(2)设点𝑀的轨迹为曲线𝐶，两互相垂直的直线𝑙1，𝑙2相交于点𝐹2，𝑙1交曲线𝐶于𝑀，𝑁两点，𝑙2交圆𝐹1于𝑃，𝑄两点，求△𝑃𝑄𝑀与△𝑃𝑄𝑁的面积之和的取值范围.22．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为

坐标原点，焦点在坐标轴上，设𝑀(1,−2)是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线𝑙1,𝑙2分别交抛物线于A，B两点，若直线𝑙1与𝑙2的倾斜角互补，求△𝑀𝐴𝐵面积的最大值．23．（2022·河南·

高二期末（文））已知抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)上的点(𝑡,4)到焦点𝐹的距离等于圆𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−31=0的半径．(1)求抛物线𝐶的方程；(2)过点𝐹作两条互相垂直的直线𝑙1与𝑙2，直线𝑙1交𝐶于�

�，𝑁两点，直线𝑙2交𝐶于𝑃，𝑄两点，求四边形𝑀𝑃𝑁𝑄面积的最小值．24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且�

�1⋅𝑘2=−2．(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；(2)求△POQ面积的最小值．25．（2022·上海静安·二模）如图，点𝑃(𝑥𝑃,𝑦𝑃)是𝑦轴左侧（不含𝑦轴）一点，抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥上存在不同的两点𝐴,𝐵

，且𝑃𝐴,𝑃𝐵的中点均在抛物线C上.(1)若𝑃(−1,2)，点A在第一象限，求此时点A的坐标；(2)设𝐴𝐵中点为𝑀，求证：直线𝑃𝑀⊥𝑦轴；(3)若𝑃是曲线𝑥2+𝑦24=1(𝑥<0)上的动点，求△𝑃�

�𝐵面积的最大值.26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知F是抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限），𝐸(−√𝑝,0),|𝐸𝐹|=√2+1．(1)求抛物线的方程；(2

)若|𝐴𝐵|=|𝐶𝐷|，求凹四边形𝑂𝐸𝐵𝐶面积的最小值．27．（2022·青海·模拟预测（理））已知抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)的焦点为F，点𝑀(4,𝑦0)在抛物线C上

，且|𝑀𝐹|=4+𝑝2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线，记两切线的交点为P，求△𝑃𝐴𝐵面积的最小值.28．（2022·

广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆𝐶：(𝑥+5)2+𝑦2=64，定点𝑀(5,0)，折叠纸片使圆𝐶上某一点𝑀1恰好与点𝑀重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕𝑃𝑄，设折痕𝑃𝑄与直线𝑀1𝐶的交点

为𝑇.(1)求点𝑇的轨迹𝐶′方程；(2)曲线𝐶′上一点N，点A、B分别为直线𝑙1：𝑦=34𝑥在第一象限上的点与𝑙2：𝑦=−34𝑥在第四象限上的点，若𝐴𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝑁𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑，

𝜆∈[13,2]，求△𝐴𝑂𝐵面积的取值范围.29．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上一点𝐾(𝑡,𝑡)（𝑡≠0）到焦点F的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ

与圆𝐸:(𝑥−4)2+𝑦2=16的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求△𝑂𝑀𝑁与△𝑂𝑃𝑄面积之比的最大值.30．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知抛物线𝐶:𝑥2=4𝑦，直线l过点𝑇(0,𝑡)(𝑡>0)

与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线𝑙′分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线𝐶′:𝑥2=4(𝑦+𝑡)交于C、D两点．(1)求证：点N是𝐴𝐵中点；(2)设△𝐷𝑀𝑁、

△𝑃𝐴𝐵的面积分别为𝑆1、𝑆2，求𝑆1𝑆2的取值范围．