【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题8.6 列联表与独立性检验（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(26)页，462.336 KB，由小赞的店铺上传

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专题8.6列联表与独立性检验（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春·山西太原·高二期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（）A．散点图和残差图B

．残差图和列联表C．散点图和等高堆积条形图D．等高堆积条形图和列联表【解题思路】根据这些统计量的定义逐个分析判断.【解答过程】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反

映两个分类变量的关系，故选：D.2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）如表是2×2列联表，则表中的𝑎､𝑏的值分别为（）𝑦1𝑦合计𝑥1𝑎835𝑥113445合计𝑏4280A．27､38B．28､38C．27､37D．28､3

7【解题思路】根据列联表的数据，补全表格，即可判断选项.【解答过程】解：𝑎=35−8=27，𝑏=𝑎+11=27+11=38.故选：A.3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并

制作出如等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中多数男生喜欢手机支付B．样本中的女生数量少于男生数量C．样本中多数女生喜欢现金支付D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量【解题思路】根据两等号条形图的信息，逐个分析判

断即可.【解答过程】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.故选：C.4．（

3分）（2022春·广西河池·高二期末）假设有两个变量x与y的2×2列联表如下表：𝑦1𝑦2𝑥1ab𝑥2cd对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（）A．𝑎=20，𝑏=30，𝑐=40，𝑑=50B．𝑎=50，𝑏=30，𝑐=30，𝑑

=40C．𝑎=30，𝑏=60，𝑐=20，𝑑=50D．𝑎=50，𝑏=30，𝑐=40，𝑑=30【解题思路】计算每个选项中|𝑎𝑑−𝑏𝑐|的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大.【解答过程】对于A，|𝑎𝑑−�

�𝑐|=200，对于B，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=1100，对于C，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=300，对于D，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=300显然B中|𝑎𝑑−𝑏𝑐|最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,故选:B.5．（3分）（2022春·辽

宁丹东·高二期末）利用𝜒2对随机事件A与B的独立性检验时，提取了关于A，B的如下四组2×2列表，其中认为A与B相互独立的把握性最大的是（）附：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑐+𝑑

)𝑃(𝜒2≥𝑘0)0.0500.0100.0050.001𝑘03.8416.6357.87910.828A．A𝐴̅B1020𝐵̅3040B．A𝐴̅B1040𝐵̅2030C．A𝐴̅B100200𝐵̅300400D．A𝐴̅B100400𝐵̅200300【解题思路】计算出卡

方，再根据独立性检验的思想判断即可；【解答过程】解：对于A：𝜒2=100(10×40−20×30)230×70×40×60≈0.794，对于B：𝜒2=100(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762，对于C：

𝜒2=1000(100×400−200×300)2300×700×400×600≈7.936，对于D：𝜒2=1000(100×300−200×400)2500×500×300×700≈47.619，因为卡方的值越大，两个事件的相关性就越大，所以认为𝐴与�

�相互独立把握最大的为A选项；故选：A.6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好402060不爱好203050合计6050110已知𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(�

�+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑃(𝐾2≥𝑘)0.050.010.001𝑘3.8416.63510.828则以下结论正确的是（）A．根据小概率值𝛼=0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B．根据小概率值

𝛼=0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C．根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D．根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，

在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”【解题思路】由题计算出𝐾2，与观测值比较即可求解.【解答过程】由题知𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=110(40×30−20×20)260×50×60×5

0≈7.822因为7.822<10.828，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为7.822>6.635，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1

%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.故选：A.7．（3分）（2022春·福建莆田·高二期末）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男

、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的45，女生中喜欢航天的人数占女生人数的35，若依据𝛼=0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（）𝑃(𝐾2＞𝐾)0.500.400.2

50.150.100.050.0250.0100.0050.001𝑘0.4550.7801.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．25B．45C．60D．75【解题思路】设男生的人数为5𝑛（𝑛

∈𝑁∗），即可得到列联表，计算出卡方，从而得到不等式，解得即可；【解答过程】解：设男生的人数为5𝑛（𝑛∈𝑁∗），根据题意列出2×2列联表如下所示：单位：人喜爱度性别合计男生女生喜欢航天4n3n7n不喜欢航天n2n3n合计5n5

n10n则χ2=10𝑛×(4𝑛×2𝑛−3𝑛×𝑛)25𝑛×5𝑛×7𝑛×3𝑛=10𝑛21，∵依据𝛼=0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴χ2≥3.841，即10𝑛21≥3.841，

解得𝑛≥8.0661，∴5𝑛≥40.3305，又𝑛∈𝑁∗，∴结合选项知B，C，D正确．故选：A．8．（3分）（2022·高二课时练习）某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否

与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超

过4小时,根据独立性检验原理（）附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑎+𝑑)(𝑏+𝑐),其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.100.050.010.005

𝑘02.7063.8416.6357.879A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D．有95%的把握认为“该校

学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”【解题思路】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算𝐾2,结合表中的数据判断即可.【解答过程】由频率分布直方图可知,平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为2×(0.15+0.125+0.075+0.025)=0.75,故经常进行

体育锻炼的学生200×0.75=150人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有150−40=110位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为7001000×200=140,女生有3001000×200=60.列出2×2列联表有：男生女

生总计经常锻炼11040150不经常锻炼302050总计14060200故𝐾2=200(110×20−30×40)2140×60×150×50≈3.17,因为2.706<3.17<3.841.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼

时间与性别有关”.故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·高二课时练习）为了调查𝐴，𝐵两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行了动物试验.已知参与两种药物试验的动物的品种，状态，数量均相同，图1是𝐴药物试验结果对应的等高堆积条形

图，图2是𝐵药物试验结果对应的等高堆积条形图，则（）A．服用𝐴药物的动物的患病比例低于未服用𝐴药物的动物的患病比例B．服用𝐴药物对预防该疾病没有效果C．在对𝐵药物的试验中，患病动物的数量约占参与𝐵药物试验动物总数量的60%D．𝐵药物比𝐴药物预防该种疾病的效果好【

解题思路】根据两个等高堆积条形图，逐个分析选项即可判断出结论.【解答过程】根据题中两组等高堆积条形图，可知服用𝐴药物的动物的患病比例低于未服用𝐴药物的动物的患病比例，所以𝐴正确；服用𝐴药物未患病的动物的频率明显大于未服用𝐴药物的，所以可以认为服用𝐴药物对

预防该疾病有一定效果，所以B不正确；在对𝐵药物的试验中，患病动物的数量占参与𝐵药物试验动物总数量的比例为20+40200×100%=30%<60%，所以C不正确；𝐵药物试验结果对应的等高堆积条形图显示未服用药与服用药动物的患病数量的差异较𝐴药物试验的大，所

以𝐵药物比𝐴药物预防该种疾病的效果好，所以D正确.故选：AD.10．（4分）（2023·云南红河·统考一模）某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各50名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布𝑁(1

73,11)和𝑁(164,9)，并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下2×2列联表：喜欢不喜欢合计男生37m50女生n3250合计5545100参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑α0.010.0050.

001𝑥𝛼6.6357.87910.828则下列说法正确的是（）A．𝑚=13，𝑛=18B．男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164C．男生身高的标准差约为11，女生身高的标准差约为9D．依据𝛼=0.01的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与

性别有关联【解题思路】A选项，根据列联表中数据分析求出𝑚,𝑛，A正确；BC选项，由男、女身高分别近似服从正态分布𝑁(173,11)和𝑁(164,9)，得到平均数和标准差；D选项，计算出卡方，与6.635比较大小后得到结论.【解答过程】对于A．因为37+𝑚=50，𝑛+3

2=50，算得𝑚=13，𝑛=18，故A正确：对于B，在正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)中，μ约为平均数，所以男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164，故B正确；对于C，在正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)中，𝜎2为方差，𝜎为标准差，男生身高

的标准差为√11，女生身高的标准差为3，故C不正确；对于D，由𝜒2=100×(37×32−13×18)250×50×55×45=14.586>6.635，依据𝛼=0.01的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联，故D

正确．故选：ABD．11．（4分）（2022秋·广东汕头·高三期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：体育性别合计男性女性喜欢280p

280＋p不喜欢q120120＋q合计280＋q120＋p400＋p＋q附：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．𝛼0.050.0250.0100.001𝑥𝛼3.8415

.0246.63510.828已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的710，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的35，则下列说法正确的是（）A．列联表中q的值为120，p的值为180B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼C．根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，男女生对

体育锻炼的喜好有差异D．根据小概率值𝛼=0.001的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异【解题思路】根据题意求出q、p，补全2×2列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出𝐾2，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.【解答过程】

A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35，则280=710(280+𝑞)，𝑝=35(120+𝑝)，解得𝑞=120,𝑝=180，故A正确；B：补全2×2列联表如下：男性女性合计喜欢280180

460不喜欢120120240合计400300700所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为𝑃=460700≈65.7%，故B错误；C：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑

)=700(280×120−180×120)2460×240×400×300≈7.609，而6.635<7.609<10.828，所以根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异D：由选项C知，根据小概率值𝛼=

0.001的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异.故选：ACD.12．（4分）（2022·山东淄博·模拟预测）某工厂有25周岁及以上工人300名，25周岁以下工人200名．统计了他们某日产品的生产件数，

然后按“25周岁及以上”和“25周岁以下”分成两组，再分别将两组工人的日生产件数分成5组“[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]”加以汇总，得到如图所示的频率分布直方图．规定生产件数不少于80件者为“生产能手”，零假设𝐻0：生产能手与工人所

在的年龄组无关．（）注：𝜒2=𝑛(𝑎𝑐−𝑏𝑑)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝛼0.10.050.010.0050.001𝜒𝛼2.7063.8416.6357.87910.828A．该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间[60,70)内B

．日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组”C．从生产不足60件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为720D．根据小概率值𝛼=0.005的独立性检验，我们推断𝐻0不成立【解题思路】A选项，利用分位

数的计算公式进行求解；B选项，分别计算出25周岁及以上组的平均数和25周岁以下组的平均数，比较得到结论；C选项，利用组合知识求解古典概型的概率；D选项，计算出卡方，与7.879比较得到结论.【解答过程】该工厂工人一共有200+300=500人，则500×2500⁄=125，则选取第

125名和126名的平均数作为25%分位数，其中25周岁及以上组在区间[50,60)的人数为300×0.005×10=15，25周岁以下组在区间[50,60)的人数为200×0.005×10=10，25周岁及以上组在区间[60,70)的人数为30

0×0.035×10=105，25周岁以下组在区间[60,70)的人数为200×0.025×10=50，因为15+10=25<125，15+10+105+50=180>126，故该工厂工人日生产件数的25%分位数在区间[60,70)内，A

正确；25周岁及以上组的平均数为55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.035×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73.5，25周岁以下组的平均数为55×0.005×10+65×0.025×10+75×0.0325×10+85×0

.0325×10+95×0.005×10=75.75，因为73.5<75.75，所以日生产件数的平均数“25周岁及以上组”小于“25周岁以下组”，B正确；生产不足60件的工人一共有25人，其中25周岁及以上组有15人，25周岁以下组有10人，所以从生产不足60

件的工人中随机抽2人，至少1人25周岁以下的概率为C101C151+C102C252=1320，故C错误；填写列联表，如下：生产能手非生产能手总计25周岁及以上组7522530025周岁以下组75125200合计150350500则𝜒2=𝑛(𝑎𝑐−𝑏𝑑)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(

𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=500×(75×125−75×225)2300×200×150×350≈8.929>7.879，故可以推断𝐻0不成立，D正确.故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）1

3．（4分）（2023·上海·高三专题练习）下列是关于出生男婴与女婴调查的2×2列联表晚上白天总计男婴45AB女婴E35C总计98D180那么𝐷=82．【解题思路】根据2×2列联表，可得方程，解之即可得到结论．【解答过程】解：

由题意，45+𝐸=98，𝐴+35=𝐷，45+𝐴=𝐵，𝐸+35=𝐶，𝐵+𝐶=180∴𝐴=47，𝐵=92，𝐶=88，𝐷=82，𝐸=53故答案为：82.14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某

校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有①③．①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多③若被调查的男女生均

为100人，则可以认为喜欢登山和性别有关④无论被调查的男女生人数为多少，都可以认为喜欢登山和性别有关【解题思路】由等高堆积条形统计图可判断A、B；利用独立性检验，计算出𝜒2=50𝑛99，可判断C、D.【解答过程】因为被调查的男女生人数相同，由等高堆积条形统计图可知，喜欢登山的男生占80%，喜欢

登山的女生占30%，所以A正确，B错误;设被调查的男女生人数均为n，则由等高堆积条形统计图可得列联表如下男女合计喜欢0.8n0.3n1.1n不喜欢0.2n0.7n0.9n合计nn2n由公式可得：𝜒2=2𝑛×(0.8𝑛×0.7𝑛−0.3𝑛×0.2𝑛)21.ln×0.9𝑛×

𝑛×𝑛=50𝑛99.当𝑛=100时，𝜒2=50𝑛99=50×10099>50，可以判断喜欢登山和性别有关，故C正确；而𝜒2=50𝑛99，所以𝜒2的值与n的取值有关.故D错误.故答案为

：①③.15．（4分）（2023·全国·高二专题练习）有两个分类变量𝑥和𝑦，其中一组观测值为如下的2×2列联表：𝑦1𝑦2总计𝑥1𝑎15−𝑎15𝑥220−𝑎30+𝑎50总计204565其中𝑎，15−𝑎均为大于5的整数，则𝑎=9时，在犯错误的概率不超过

0.01的前提下为“𝑥和𝑦之间有关系”.附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)𝑃(𝐾2≥𝑘)0.100.050.0250.0100.005𝑘2.7063.8415.0

246.6357.879【解题思路】由题意，计算𝐾2，列出不等式求出𝑎的取值范围，再根据题意求得𝑎的值.【解答过程】解：由题意知：𝐾2≥6.635,则65[𝑎(30+𝑎)−(20−𝑎)(15−𝑎)]220×45×15×50=13(13𝑎−60)254

00≥6.635，解得：𝑎≥8.65或𝑎≤0.58，因为：𝑎>5且15−𝑎>5，𝑎∈𝑍，综上得：8.65≤𝑎<10，𝑎∈𝑍，所以：𝑎=9.故答案为：9.16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某中学共

有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样

本数据（单位：h），其频率分布直方图如下：已知在样本数据中，有60名女生的每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.【解题思路】根据频率分布直方图可得男女同学每周锻炼时间少于4小时和不少于4小时的2×2列联表，计算𝜒2

，根据临界值作出结论即可.【解答过程】由题意，得从5000名学生中抽取一个容量为300的样本，其中男生、女生各抽取的人数为300×35005000=210，300×15005000=90，由频率分布直方图，可知每周平均体育锻炼时间不少于4h的人数的频率为

0.75，所以在300名学生中每周平均体育锻炼时间不少于4h的人数为300×0.75=225，又在每周平均体育锻炼时间不少于4h的学生中，女生有60名，所以男生有225−60=165（名），可得如下2×2列联

表：性别体育锻炼情况男女总计每周平均体育锻炼时间少于4h453075每周平均体育锻炼时间不少于4h16560225总计21090300由列联表可得𝜒2=300×(45×60−165×30)2210×90×75×225≈4.762，因为3.841<4.762<6.635，所以有95%的

把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.故答案为：95%.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·全国·高二专题练习）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休

闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系.【解题思路】（1）根据2×2的列联表要求列表.（2）根据列联表中的数据,分别算出女性、

男性中休息方式为看电视的频率即可判断.【解答过程】（1）2×2的列联表：看电视运动合计女302050男204060合计5060110（2）根据列联表中的数据，可得女性中休息方式为看电视的频率为3050=0.6，男性中休息方式为看电视的频率为2060≈0.333，二者差别较大，

可知性别与休闲方式有关系.18．（6分）（2022·高二课时练习）某省即将实行新高考，不再实行文理分科．某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2020级的1000名学生进行调查，收集到相

关数据如下：根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并完善等高条形图．选物理不选物理总计数学成绩优秀数学成绩不优秀260总计6001000【解题思路】根据列联表所给的数据和等高条形图即可完成列联表，进而完善等高条形图即可.【解答过程】根据题意填写列联表如下：选物理不选物理总计数学成绩优秀42032

0740数学成绩不优秀18080260总计6004001000等高条形图，如图所示：19．（8分）（2023·陕西咸阳·校考一模）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生(其中女生220名)平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：平均每天体育锻炼时

间（分钟）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人数4072881008020将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”.(1)完成下面2×2列联表，试问：能否有99.9

%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关?锻炼达标生锻炼不达标合计男女合计400附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.𝑃(𝐾2

≥𝐾0)0.100.050.0100.001𝐾02.7063.8416.63510.828(2)在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取5人进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，这2人中至少有一名女生的概率.【解题思路】（1）利用题意完成列联表，然后计算𝐾2，与临界值进行比较即可

；（2）根据分层抽样抽取男生3人，女生2人，然后列举出抽取两人的基本事件和至少有一名女生的事件，即可求解.【解答过程】（1）锻炼达标生锻炼不达标合计男60120180女40180220合计100300400𝐾2=400×(

60×180−40×120)2180×220×100×300=40033≈12.121>10.828，故有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关.（2）“锻炼达标生”中男女人数之比为60:40=3:2，故抽取的男生有3人，女生有2人，用𝐴,𝐵,𝐶表示男

生，用𝐷,𝐸表示女生，基本事件有𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐵𝐶,𝐵𝐷,𝐵𝐸,𝐶𝐷,𝐶𝐸,𝐷𝐸共10个，其中至少有一名女生的事件有𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐵𝐷,𝐵𝐸,𝐶𝐷,𝐶𝐸,𝐷𝐸共7个，故所求概率为710.20．（8分）（2022春

·北京朝阳·高二期中）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生

产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40𝑝𝑥注射

疫苗60𝑞𝑦总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35．(1)求2×2列联表中的数据𝑝，𝑞，𝑥，𝑦的值；(2)能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；(3)在感染病毒

的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记𝑋为3只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求𝑋的分布列和期望．附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑

−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.050.010.0050.001𝑘03.8416.6357.87910.828【解题思路】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及列联表之间的数据关系，即可求

解．（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．（3）通过比例可知抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，从中抽取3只，则𝑋的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式

，即可求解．【解答过程】（1）∵从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35，∴40𝑥=1−35=25，解得𝑥=100，则𝑦=200−100=100，𝑝=100−40=60，

𝑞=100−60=40．（2）∵𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=200×(40×40−60×60)2100×100×100×100=8<10.828，∴没有9

9.9%把握认为注射此种疫苗有效．（3）由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为3:2，故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，从中抽取3只，则𝑋的可能取值为1，2，3，𝑃(𝑋=1)=C22C31C53=310，

𝑃(𝑋=2)=C21C32C53=35，𝑃(𝑋=3)=C33C53=110，故𝑋的分布列为：𝑋123𝑃31035110故期望为𝐸(𝑋)=1×310+2×35+3×110=95．21．（8分）（2022春·全国·高二期末）2014年7月18日15时，超强台风

“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；(2)台风后区委

会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于5

00元6合计(3)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天

内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率.附：临界值表𝑘02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001参考

公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.【解题思路】(1)利用频率分布直方图求平均数的方法计算作答.(2)完善2×2列联表，计算观测值，再与临界值表比对作答.(3)利用几何概型求

出李师傅比张师傅早到小区的概率，再利用独立重复试验的概率公式计算作答.【解答过程】(1)由频率分布直方图知，数据落在[0,2000),[2000,4000),[4000,6000),[6000,8000),[8000,10000]的频率依次为：0.3，0

.4，0.18，0.06，0.06，于是得𝑥=0.3×1000+0.4×3000+0.18×5000+0.06×7000+0.06×9000=3360，所以小区平均每户居民的平均损失3360元.(2)由(1)知，经济损失4000元以下占70%，50居民中有35户，2×2列联表如下：经济损失

4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30939捐款低于500元5611合计351550则𝐾2的观测值为𝐾2=50(30×6−5×9)235×15×11×39≈4.046>3.84

1，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.(3)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，则(𝑥,𝑦)可视为平面内的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={(𝑥,𝑦)|{7≤𝑥≤87.5≤𝑦≤8.5}，其面积为𝑆Ω=1

，如图，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域𝐴={(𝑥,𝑦)∈Ω|𝑦>𝑥}，图中阴影部分，其面积𝑆𝐴=1−12×12×12=78，于是得𝑃(𝐴)=𝑆𝐴𝑆Ω=78，所以连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率为𝑃=C32

(78)2×(1−78)=147512.22．（8分）（2022秋·福建福州·高三阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的

某项指标值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的2

×2列联表，并根据列联表及𝛼=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有

20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率𝑝；（ii）以（i）中确定的概率𝑝作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记𝑛个人注射2次疫苗后产生抗体的数

量为随机变量𝑋.试验后统计数据显示，当𝑋=90时，𝑃(𝑋)取最大值，求参加人体接种试验的人数𝑛及𝐸(𝑋).参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+

𝑑)(其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑为样本容量)参考数据：𝑃(𝜒2≥𝑘0)0.500.400.250.150.1000.0500.025𝑘00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【解题思路】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量

，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据𝑃(𝑋=90)最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.【解答过程】（1）由频率分布直方图

，知200只小白鼠按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10（只）；在[20,40)内有0.00625×20×200=25（只）；在[40,60)内有0.00875×20×200=35（只）；在[60,80)内有0.025×20×200=100

（只）；在[80,100]内有0.0075×20×200=30（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于6

0且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为𝐻0：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得𝜒2=200×(50×2

0−20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841=𝑥0.05.根据𝛼=0.05的独立性检验，推断𝐻0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i）令事件

𝐴=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件𝐵=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件𝐶=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件A，B，C发生的概率分别为𝑃(𝐴)，𝑃(𝐵)，𝑃(𝐶)，则𝑃(𝐴)=160200=0.8，𝑃(𝐵)=2

040=0.5，𝑃(𝐶)=1−𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=1−0.2×0.5=0.9.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率𝑝=0.9.（ii）由题意，知随机变量𝑋∼𝐵(𝑛,0.9)，𝑃(𝑋=𝑘)=C𝑛𝑘×0.9𝑘×0.1

𝑛−𝑘（𝑘=0,1,2,⋅⋅⋅,𝑛）.因为𝑃(𝑋=90)最大，所以{C𝑛90×0.990×0.1𝑛−90≥C𝑛91×0.991×0.1𝑛−91C𝑛90×0.990×0.1𝑛−90≥C𝑛89×0.989×0.1𝑛−89，

解得99≤𝑛≤9019，因为𝑛是整数，所以𝑛=99或𝑛=100，所以接受接种试验的人数为99或100.①当接种人数为99时，𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=99×0.9=89.1；②当接种人数为100时，𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=1

00×0.9=90.