【文档说明】天津市南开区南大奥宇培训学校2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试卷【精准解析】.doc,共(14)页,1.146 MB,由管理员店铺上传
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2020届南大奥宇第二次月考考试数学学科试卷(高二)一、选择题(每题5分共45分)1.已知两点(1,2)A−,(3,4)B,则直线AB的斜率为()A.2B.12−C.12D.2−【答案】C【解析】【分析】直接应用斜率公式计算即可.【详解】已知两点(1,2)A−,(3
,4)B,由斜率公式得4213(1)2ABk−==−−.故选:C【点睛】本题主要考查直线的斜率公式,属于基础题.2.若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直,则实数a的值是()A.1B.–1C.4D.–4【答案】D【解析】【分析】由直线方程一般式垂直的条件计算.【详解】由题意
220a+=,4a=−.故选D.【点睛】本题考查两直线垂直条件,两直线方程分别为1110AxByC++=和2220AxByC++=,则它们垂直的充要条件是12120AABB+=.3.若01a则不等式2011xaxa−++的解是()A.1axaB.1xaaC
.xa或1xaD.1xa或xa【答案】A【解析】【分析】转化原不等式可得1(0)()xaxa−−,结合01a及一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由21()10xaxa−++可得,1(0)()x
axa−−,01a,1aa,1axa故选:A.4.若0a,0b,2ab=,则2+ab的最小值为()A.22B.4C.42D.6【答案】B【解析】【分析】由a+2b≥22ab,可得a+2b的最小值.【
详解】∵a>0,b>0,ab=2,∴a+2b≥224ab=,当且仅当a=2b=2时取等号,∴a+2b的最小值为4.故选B.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,关键是等号成立的条件,属基础题.5.椭圆221xmy+=的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为()A.
14B.12C.2D.4【答案】D【解析】【分析】由题意可得21a=,21bm=,求出a,b的值,结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值.【详解】∵椭圆221xmy+=的焦点在x轴上,∴21a=,21bm=,则1a=,1bm=,又长轴长是短轴长的
两倍,∴124m=,即4m=,故选:D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质,是基础的计算题.6.双曲线221259xy−=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为()A.22或2B.7C.22D.2
【答案】A【解析】【分析】设双曲线221259xy−=的左右焦点分别为12,FF,利用双曲线的定义12||||210PFPFa−==,即可求得答案.【详解】设双曲线221259xy−=的左右焦点分别为1
2,FF,则5,3,34abc===,设P为双曲线上一点,不妨令112PF=(12534ac+=+),∴点P可能在左支,也可能在右支,由12||||210PFPFa−==,得21210PF−=,所以22
2PF=或2.所以点P到另一个焦点的距离是22或2.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查细心审题与准确规范解答的能力,属于中档题.7.设12,FF是双曲线22124yx−=的两个焦点,P是双曲线上的一点,且1234PFPF=
,则12PFF△的面积等于()A.42B.83C.24D.48【答案】C【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为1210FF=.根据题意和双曲线的定义知1222241233PFPFPFPFPF=−=−=,所以26PF
=,18PF=,所以2221212PFPFFF+=,所以12PFPF⊥.所以121211682422PFFSPFPF===.故选:C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.8.抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为3,则点P到
y轴的距离为()A.22B.1C.2D.3【答案】A【解析】【详解】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.根据抛物线定义,得yP+1=3,解得yP=2,代入抛物线方程求得xP=±22,∴点P到y轴的距离为22.故选A.9.已知点()22,0Q及抛物线24xy=上的动点
(,)Pxy,则yPQ+的最小值是()A.2B.3C.4D.22【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义,将点(,)Pxy到准线1y=−的距离转化为PF,再利用不等式的性质数形结合即可得到答案.【详
解】因为抛物线的方程为24xy=,所以焦点为()0,1,准线方程为:1y=−,所以抛物线上的动点(,)Pxy到准线的距离为()11yy−−=+,由抛物线的定义可得1PFy=+,又因为()22,0Q,所以1111yPQyPQPFPQF
Q+=++−=+−−,()()22220011312=−+−−=−=,当且仅当,,FPQ三点共线时取等号,故选:A【点睛】关键点点睛:本题的关键点是利用抛物线的定义将点(,)Pxy到准线1y=−的距离转化为PF,
即1PFy=+,所以1111yPQyPQPFPQFQ+=++−=+−−,再利用两点间距离公式即可.二、填空题(每题5分共30分)10.已知正项等比数列na中,234aaa=,若331S=,则na=_____.【答案】15n−【解
析】【分析】根据等比数列通项公式可得123111aqaqaq=,则11a=,由331S=可得5q=,进而求得na【详解】由234aaa=,得123111aqaqaq=,所以11a=,又因为312
331Saaa=++=,即2131qq++=,所以5q=或6q=−,因为正项等比数列,则5q=,所以15nna−=故答案为:15n−【点睛】本题考查求等比数列通项公式,考查运算能力11.椭圆22416+=xy被直线112yx=+截得
的弦长为________.【答案】35【解析】由22416112xyyx+==+消去y并化简得2260,xx+−=设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则1212x2,6,xxx+=−=−所以弦长212135MNkxx=
+−=.故填35.12.如图,把椭圆2212516xy+=的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点,F是椭圆的一个焦点,则1234567PFPFPFPFPFPFPF++++++=___【答案】35【解析】试题分析:设右
焦点为2F,由椭圆的对称性可得,172262352442,,,PFPFPFPFPFPFPFPF====,由椭圆的定义可得1234567PFPFPFPFPFPFPF++++++=72625245677PFPFPFPFPFPFPFa++++++==35考点:考查了椭圆的几何性
质,椭圆的定义点评:掌握椭圆的性质,即对称性是解题的关键13.已知关于x的不等式20axbxc++的解集是{|2xx−或3}x,则20axbxc−+的解集为__________.【答案】()3,2−【解析】【分析】由不等式2
0axbxc++的解集得出a、b、c之间的关系,再化简不等式20axbxc−+,求出它的解集即可.【详解】关于x的不等式20axbxc++的解集是{|2xx−或3}x,方程20axbxc++=的实数根是2−和3,且0
a;由根与系数的关系,得231ba−=−+=,236ca=−=−,ba=−,6ca=−;关于x的不等式20axbxc−+可化为260axaxa+−,即260xx+−;解得32x−,该不等式的解集为(3,2)−.故答案为(3,2)−.【点睛】本题考查了一元二次不等式与
对应的一元二次方程的应用问题,也考查了根与系数的应用问题,是基础题.14.已知直线1ykx=−和双曲线221xy−=的右支交于不同两点,则k的取值范围是____【答案】12k【解析】由直线1ykx=−和双曲线221xy−=联立方程组,消y得22(12)20kxkx−−=+因为该方程有两个不等
大于1的根,所以22221001211(122)(1)0kkkkkkk−−−−+−−点睛:研究直线和圆锥曲线的交点个数问题,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的
个数.利用韦达定理或求根公式进行转化,利用数形结合研究根的分布情况,若能用圆锥曲线的定义求解则更方便.15.过点Q(4,1)作抛物线28yx=的弦AB,该弦恰被Q平分,则直线AB的方程为_____________
.【答案】4150xy−−=【解析】【分析】很明显直线斜率存在,利用点差法求得斜率,然后确定直线AB的方程即可.【详解】由题意可知,当AB垂直于x轴时,不符合题意,故直线AB的斜率存在.设()11,Ax
y,()22,Bxy,则2118yx=①,2228yx=②,且128xx+=,122yy+=,①-②得()()()1212128yyyyxx+−=−,即()()121228yyxx−=−,即12124yyxx−=−,故直线AB的斜率4k=,故直线AB的方程为(
)441yx=−+,即4150xy−−=.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,点差法的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(每题15分共75分)16.求下列不等式的解集(1)24410xx−+;(2)2256
0xx++.(3)2(31)(21)0xmxmm−+++.(其中m属于实数)【答案】(1)12xx;(2)R;(3)分类讨论,答案见解析.【解析】【分析】(1)原不等式等价转化为2(21)0x−,求出它的解集即可;(2)求出判别式,结
合对应的二次函数的图象即可求解;(3)原不等式等价于()(21)0xmxm−−−,对应方程的两根为,21mm+,讨论两根的大小即可写解集.【详解】解:(1)不等式24410xx−+可化为2(21)0x−,解得12x,所以不等式的解集
为12xx;(2)不等式22560xx++中,25426230=−=−,所以不等式的解集为R.(3)2(31)(21)0xmxmm−+++.解:2(31)(21)()(21)0xmxmmxmxm−+++=−−−,方程()(21)0xmxm−−−=的两根分别
为m和21m+,当21mm+,即1m−时,不等式解集为(21,)mm+;当21mm+,即1m−时,不等式解集为(,21)mm+,当21mm=+即1m=−时,不等式无解.综上所述:1m−时,不等式解集为(21,)mm+;1m−时,不等式解集为(,21)mm+,1m=−时,不等
式无解.【点睛】思路点睛:含参数的一元二次不等式分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式化为一次不等式或二次项系数为正的形式;(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式与0的大小关系;(3)确定无根时可以直接写出
解集,确定方程有2个根时要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.17.设椭圆C:()222210xyabab+=过点(0,4),离心率为35.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.【答案】(1)2212516xy+=;(2)3
6,25−.【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出b=4,再根据35cea==,代入即可求解.(2)直线方程为()435yx=−,将直线方程与椭圆方程联立消y,利用韦达定理即可求解.【详解】(1)将(0,4)代入C的方程得2161b
=,∴b=4,又35cea==得222925aba−=,即2169125a−=,∴A=5,∴C的方程为2212516xy+=.(2)过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435yx=−,设直线与C的交点为A()11,xy,B()22,xy,将直线方程(
)435yx=−代入C的方程,得()22312525xx−+=,即2380xx−−=,AB的中点坐标12322xxx+==,()1212266255yyyxx+==+−=−,即中点为36,25−.【点睛】本题考查
了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查了计算求解能力,属于基础题.18.已知递增等比数列na,3432aa=,1633aa+=,(1)求na的通项公式(2)设1nnbna+=,且nb前n项
和为nT,求nT.【答案】(1)12nna-=;(2)()1122nnTn+=−+.【解析】【分析】(1)本题首先可将3432aa=转化为1632aa=,然后与1633aa+=联立,即可求出1a、6a的值,从而求出公比和通项公式;(2)本题首先可根
据12nna-=得出2nnbn=,然后通过错位相减法求和即可得出结果.【详解】(1)设数列的公比为q,因为等比数列na单调递增,3432aa=,1633aa+=,所以16163233aaaa=+=,
解得11a=,632a=,则2q=,12nna-=.(2)因为12nna-=,所以12nnnbnan+==,则212222nnTn=+++,2312?12222nnTn+=+++,故231222222nnnnnTTTn+−=−−−−−+=(
)()11212212212nnnnn++-=-+?-?-.故()1122nnTn+=−+.【点睛】方法点睛:本题考查等比数列通项公式的求法以及错位相减法求和,常见的求和公式有:等差等比公式法、裂项相消法、错位相
减法、分组求和法、倒序相加法,考查计算能力,是中档题.19.已知双曲线的方程是224936xy−=.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设1F和2F是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且1216PFPF=,求12FPF的大小.【答案】(1)焦点坐标1
(13,0)F−,2(13,0)F,离心率133e=,渐近线方程为23yx=;(2)1260FPF=.【解析】试题分析:⑴将双曲线转化为标准形式,得到a,b,c的值,即可得到双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;⑵先根据双曲线的定义得到126PFPF−=,再由余弦定理
得到12cosFPF的值,进而可得到12FPF的大小解析:(1)解:由224936xy−=得22194xy−=,所以3a=,2b=,13c=,所以焦点坐标()113,0F−,()213,0F,离心率133e=,渐近线方程为23yx=.(2)解:由双曲线的定义可知126PFP
F−=,∴22212121212||||cos2PFPFFFFPFPFPF+−=()22121212122||2PFPFPFPFFFPFPF−+−=3632521322+−==,则1260FPF=.20.已知点()11,Axy,()22,(Dxy其中12)xx是曲线()240yxy=
上的两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C,且2BC=.(I)当点B的坐标为()1,0时,求直线AD的斜率;(II)记OAD的面积为1S,梯形ABCD的面积为2S,求证:1214SS.【答案】(Ⅰ)31−;(Ⅱ)见解析
.【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意结合直线的斜率公式可得2121232312ADyykxx−−===−−;(Ⅱ)设直线AD的方程为ykxm=+.联立直线与抛物线的方程,可得112SADdm==,()()21
221142Syyxxk=+−=,则12124SmkmSyy==+14.据此即可证得题中的结论试题解析:(Ⅰ)因为()1,0B,所以()11,,Ay代入24yx=,得到12y=又2BC=,所以212xx−=,所以23x=代入24yx=,得到123y=所以2121232312ADyy
kxx−−===−−(Ⅱ)法一:设直线AD的方程为ykxm=+.则()1211||||.2OMDOMASSSmxxm=−=−=…由24ykxmyx=+=,得()222240kxkmxm+−+=,所以所以()()2122112121
42Syyxxyykxmkxmk=+−=+=+++=,又1204kmyy=,所以0,0km,所以12124SmkmSyy==+,因为16160km=−,所以01km,所以12144SkmS=.法二
:设直线AD的方程为ykxm=+.由24ykxmyx=+=,得()222240kxkmxm+−+=,所以22212121121ADkxxkxxk=+−=+−=+,点O到直线AD的距离为21mdk=+,所以112SADdm==所以()()212211212142Syyxxyykxmkxm
k=+−=+=+++=又1204kmyy=,所以0,0km因为16160km=−,所以01km所以12124SmkmSyy==+14