【文档说明】天津市南开区南大奥宇培训学校2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(14)页，1.146 MB，由小赞的店铺上传

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2020届南大奥宇第二次月考考试数学学科试卷（高二）一、选择题（每题5分共45分）1.已知两点(1,2)A−，(3,4)B，则直线AB的斜率为（）A.2B.12−C.12D.2−【答案】C【解析】【分析】直接应用斜率公式计算即可．【详解】已知两点(1,

2)A−，(3,4)B，由斜率公式得4213(1)2ABk−==−−.故选：C【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2.若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（）A.1B.–1C.4D.–4【答案】D【解析】【分析】由直线方程一般式垂直的条件计

算．【详解】由题意220a+=，4a=−．故选D．【点睛】本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为1110AxByC++=和2220AxByC++=，则它们垂直的充要条件是12120AABB+=．3.若01a

则不等式2011xaxa−++的解是（）A.1axaB.1xaaC.xa或1xaD.1xa或xa【答案】A【解析】【分析】转化原不等式可得1(0)()xaxa−−，结合01a及一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由21()1

0xaxa−++可得，1(0)()xaxa−−，01a，1aa，1axa故选：A．4.若0a，0b，2ab=，则2+ab的最小值为（）A.22B.4C.42D.6【答案】B【解析】【分析】由a+2b≥2

2ab，可得a+2b的最小值．【详解】∵a＞0，b＞0，ab＝2，∴a+2b≥224ab=，当且仅当a＝2b＝2时取等号，∴a+2b的最小值为4．故选B．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．5.椭圆221xmy+=的焦点在x轴上，长轴长是短轴长

的两倍，则m的值为（）A.14B.12C.2D.4【答案】D【解析】【分析】由题意可得21a=，21bm=，求出a，b的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值.【详解】∵椭圆221xmy+=的焦点在x轴上，∴21a=，21bm=，则

1a=，1bm=，又长轴长是短轴长的两倍，∴124m=，即4m=，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，是基础的计算题.6.双曲线221259xy−=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（）A.22或2B.7C.22D.2

【答案】A【解析】【分析】设双曲线221259xy−=的左右焦点分别为12,FF，利用双曲线的定义12||||210PFPFa−==，即可求得答案．【详解】设双曲线221259xy−=的左右焦点分别为12,FF，则5,3,34abc===，设P为双曲线上一点，不妨令1

12PF=（12534ac+=+），∴点P可能在左支，也可能在右支，由12||||210PFPFa−==，得21210PF−=，所以222PF=或2．所以点P到另一个焦点的距离是22或2．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题．7.设12,FF是双

曲线22124yx−=的两个焦点,P是双曲线上的一点,且1234PFPF=,则12PFF△的面积等于（）A.42B.83C.24D.48【答案】C【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为1210FF=.根据题

意和双曲线的定义知1222241233PFPFPFPFPF=−=−=,所以26PF=,18PF=,所以2221212PFPFFF+=,所以12PFPF⊥.所以121211682422PFFSPFPF===.

故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.8.抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A.22B.1C.2D.3【答案】A【解析】【详解】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，

解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝±22，∴点P到y轴的距离为22.故选A.9.已知点()22,0Q及抛物线24xy=上的动点(,)Pxy，则yPQ+的最小值是（）A.2B.3C.4D.22【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义，将点(,)Pxy到准线1y=

−的距离转化为PF，再利用不等式的性质数形结合即可得到答案.【详解】因为抛物线的方程为24xy=，所以焦点为()0,1，准线方程为：1y=−，所以抛物线上的动点(,)Pxy到准线的距离为()11yy−−=+，由抛物线的定义

可得1PFy=+，又因为()22,0Q，所以1111yPQyPQPFPQFQ+=++−=+−−，()()22220011312=−+−−=−=，当且仅当,,FPQ三点共线时取等号，故选：A【点睛】关键点点睛：本

题的关键点是利用抛物线的定义将点(,)Pxy到准线1y=−的距离转化为PF，即1PFy=+，所以1111yPQyPQPFPQFQ+=++−=+−−，再利用两点间距离公式即可.二、填空题（每题5分共30分）10.已知正项等比数列na中，234aaa=，若331S=，则na=_____

．【答案】15n−【解析】【分析】根据等比数列通项公式可得123111aqaqaq=,则11a=,由331S=可得5q=,进而求得na【详解】由234aaa=,得123111aqaqaq=,所以11a=,又因为312331Saaa=++=,即2131q

q++=,所以5q=或6q=−,因为正项等比数列,则5q=,所以15nna−=故答案为：15n−【点睛】本题考查求等比数列通项公式,考查运算能力11.椭圆22416+=xy被直线112yx=+截得的弦长为________.【答案】35【解析】由22416112xyyx+==

+消去y并化简得2260,xx+−=设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则1212x2,6,xxx+=−=−所以弦长212135MNkxx=+−=.故填35.12.如图，把椭圆2212516xy+=的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线

交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF++++++=___【答案】35【解析】试题分析：设右焦点为2F，由椭圆的对称性可得，172262352

442,,,PFPFPFPFPFPFPFPF====，由椭圆的定义可得1234567PFPFPFPFPFPFPF++++++=72625245677PFPFPFPFPFPFPFa++++++==35考点：考查了椭圆的几何性质，椭圆的定义点评：

掌握椭圆的性质，即对称性是解题的关键13.已知关于x的不等式20axbxc++的解集是{|2xx−或3}x，则20axbxc−+的解集为__________.【答案】()3,2−【解析】【分析】由不等式20axbxc++的解集得出a、b、

c之间的关系，再化简不等式20axbxc−+，求出它的解集即可．【详解】关于x的不等式20axbxc++的解集是{|2xx−或3}x，方程20axbxc++=的实数根是2−和3，且0a；由根与系数

的关系，得231ba−=−+=，236ca=−=−，ba=−，6ca=−；关于x的不等式20axbxc−+可化为260axaxa+−，即260xx+−；解得32x−，该不等式的解集为(3,2)−．故答案为(3,2)−．【点睛】

本题考查了一元二次不等式与对应的一元二次方程的应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题．14.已知直线1ykx=−和双曲线221xy−=的右支交于不同两点，则k的取值范围是____【答案】12k【解析】由直线1ykx=−和

双曲线221xy−=联立方程组，消y得22(12)20kxkx−−=+因为该方程有两个不等大于1的根，所以22221001211(122)(1)0kkkkkkk−−−−+−−

点睛：研究直线和圆锥曲线的交点个数问题，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.利用韦达定理或求根公式进行转化，利用数形结合研究根的分布情况，若能用圆锥曲线的定义求解则更方便.15.过点Q(4，1)作抛物线28y

x=的弦AB，该弦恰被Q平分，则直线AB的方程为_____________．【答案】4150xy−−=【解析】【分析】很明显直线斜率存在，利用点差法求得斜率，然后确定直线AB的方程即可.【详解】由题意可知，当AB垂直于x轴时，不符合题意，故直线AB的斜率存在．设()

11,Axy，()22,Bxy，则2118yx=①，2228yx=②，且128xx+=，122yy+=，①－②得()()()1212128yyyyxx+−=−，即()()121228yyxx−=−，即12124yyxx−=−，故直线AB的斜率4k=，故直线AB的方程为()441y

x=−+，即4150xy−−=．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点差法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（每题15分共75分）16.求下列不等式的解集（1）24410xx−+；（2）225

60xx++．（3）2(31)(21)0xmxmm−+++．（其中m属于实数）【答案】（1）12xx；（2）R；（3）分类讨论，答案见解析．【解析】【分析】（1）原不等式等价转化为2(21)0x−，求出它的解集即可；（2）求出判别式，结合对应的二次函数的图

象即可求解；（3）原不等式等价于()(21)0xmxm−−−，对应方程的两根为,21mm+，讨论两根的大小即可写解集.【详解】解：（1）不等式24410xx−+可化为2(21)0x−，解得12x，所以不等式的解集为12xx；（2）不等式22560xx++中，254262

30=−=−，所以不等式的解集为R．（3）2(31)(21)0xmxmm−+++．解：2(31)(21)()(21)0xmxmmxmxm−+++=−−−，方程()(21)0xmxm−−−=的两根分别为m和21m+，当21mm+，即1m−时，不等式解集为(21,)mm+；当2

1mm+，即1m−时，不等式解集为(,21)mm+，当21mm=+即1m=−时，不等式无解．综上所述：1m−时，不等式解集为(21,)mm+；1m−时，不等式解集为(,21)mm+，1m=−时，不等式无解．【点睛】思路点睛：含参数

的一元二次不等式分类讨论的方法（1）当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的大小关系；（3）确定无根时可以直

接写出解集，确定方程有2个根时要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.17.设椭圆C：()222210xyabab+=过点（0，4），离心率为35.（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）2212516xy

+=；（2）36,25−.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出b=4，再根据35cea==，代入即可求解.（2）直线方程为()435yx=−，将直线方程与椭圆方程联立消y，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）将（0，4）代入C的方程得2161b=，∴b

=4，又35cea==得222925aba−=，即2169125a−=，∴A=5，∴C的方程为2212516xy+=．（2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435yx=−，设直线与C的交点为A()11,xy，B()22,xy，将直线方程()435yx=−代入C的方程，得()22312

525xx−+=，即2380xx−−=，AB的中点坐标12322xxx+==，()1212266255yyyxx+==+−=−，即中点为36,25−．【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的

标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.18.已知递增等比数列na，3432aa=，1633aa+=，（1）求na的通项公式（2）设1nnbna+=，且nb前n项和为nT，求nT．【答案】（1）12nna-=；（2）

()1122nnTn+=−+．【解析】【分析】（1）本题首先可将3432aa=转化为1632aa=，然后与1633aa+=联立，即可求出1a、6a的值，从而求出公比和通项公式；（2）本题首先可根据12nna-=得出2nnbn=，然

后通过错位相减法求和即可得出结果.【详解】（1）设数列的公比为q，因为等比数列na单调递增，3432aa=，1633aa+=，所以16163233aaaa=+=，解得11a=，632a=，则2q=，12nna-=.（2）因为12nna-=，所以12nnnbnan+==，则2122

22nnTn=+++，2312?12222nnTn+=+++，故231222222nnnnnTTTn+−=−−−−−+=()()11212212212nnnnn++-=-+?-?-.故()1122nnTn+=−+.【点睛】方法点睛：本题考查等比数

列通项公式的求法以及错位相减法求和，常见的求和公式有：等差等比公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是中档题.19.已知双曲线的方程是224936xy−=.（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近

线方程；（2）设1F和2F是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且1216PFPF=，求12FPF的大小.【答案】（1）焦点坐标1(13,0)F−，2(13,0)F，离心率133e=，渐近线方程为23yx=；（2）1260FPF=.【解析

】试题分析：⑴将双曲线转化为标准形式，得到a，b，c的值，即可得到双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；⑵先根据双曲线的定义得到126PFPF−=，再由余弦定理得到12cosFPF的值，进而可得到12FPF的大小解析：（1）解：由22

4936xy−=得22194xy−=，所以3a=，2b=，13c=，所以焦点坐标()113,0F−，()213,0F，离心率133e=，渐近线方程为23yx=.（2）解：由双曲线的定义可知126PFPF−=，

∴22212121212||||cos2PFPFFFFPFPFPF+−=()22121212122||2PFPFPFPFFFPFPF−+−=3632521322+−==，则1260FPF=.20.已知点()11,Axy，()22,(Dxy其中12

)xx是曲线()240yxy=上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且2BC=.（I）当点B的坐标为()1,0时，求直线AD的斜率；（II）记OAD的面积为1S，梯形ABCD的面积为2S，求证：1214SS.【答

案】（Ⅰ）31−；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合直线的斜率公式可得2121232312ADyykxx−−===−−；(Ⅱ)设直线AD的方程为ykxm=+.联立直线与抛物线的方程，可得112SADdm==，()()21221142Syyxxk=+−=，则12124Smkm

Syy==+14.据此即可证得题中的结论试题解析：（Ⅰ）因为()1,0B，所以()11,,Ay代入24yx=，得到12y=又2BC=，所以212xx−=，所以23x=代入24yx=，得到123y=所以2121232312ADyyk

xx−−===−−（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为ykxm=+.则()1211||||.2OMDOMASSSmxxm=−=−=…由24ykxmyx=+=,得()222240kxkmxm+−+=,所以所以()()212211212142S

yyxxyykxmkxmk=+−=+=+++=,又1204kmyy=，所以0,0km，所以12124SmkmSyy==+，因为16160km=−，所以01km,所以12144SkmS=.法二：设直线AD的方程为ykxm=+.由2

4ykxmyx=+=,得()222240kxkmxm+−+=,所以22212121121ADkxxkxxk=+−=+−=+,点O到直线AD的距离为21mdk=+,所以112SADdm==所以()()212211212142Syyxxyykxmkxmk=+−=+=+++=又1204km

yy=，所以0,0km因为16160km=−，所以01km所以12124SmkmSyy==+14