【文档说明】天津市南开区南大奥宇培训学校2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题 【精准解析】.doc，共(16)页，1.157 MB，由小赞的店铺上传

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2020届南大奥宇高二年级第一次月考数学学科试卷温馨提示，本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷45分，Ⅱ卷105分.请在规定的时间内将Ⅰ卷和Ⅱ卷.答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效.本场考试时间为120分钟，满分150分.祝同学们考试顺利.Ⅰ

卷一．选择题1.已知数列()3,3,15,...,321,...−n，则9是它的（）A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据题意得出数列的第n项为()321n−，然后将9转化为()32141创-，即可得

出结果.【详解】由题意可知，数列()3,3,15,...,321,...−n的第n项为()321n−，因为()98132732141==?创-，所以9是数列的第14项，故选：C.【点睛】本题考查判断数是数列的哪一项，能否明确数列的通项公式是解决本

题的关键，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.2.已知数列na的通项为4112nan=−，则满足1nnaa+的n的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据4112nan=−和1nnaa+，列出不等式()441121112n

n−+−，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，数列na的通项为4112nan=−，因为1nnaa+，可得()441121112nn−+−，整理得1192112nn−−，由920n−，1120n−，11292nn−−，解得n，由920

n−，1120n−，解得91122n，取5n=，由920n−，1120n−，11292nn−−，解得n．因此满足1nnaa+的n的最大值为5．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式研究数列的性质及其应用，其中解答中熟练应用数列的递推公式，列出不等式求解是解答的关键

，着重考查推理与运算能力.3.已知两个等差数列na和nb的前n项和分别是nA和nB，且213nnAnnB+=+，则99ab等于（）A.2B.74C.1912D.1321【答案】B【解析】【分析】由题意和等差数列的性质可得：917917aAbB=，化简可得．【详解】

由等差数列的性质可知，9911717991171722171721734aaaaAbbbbB++=====++故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式和角标的运用，属基础题．4.已知{1na}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝（）A.45−B.

54−C.413D.134【答案】A【解析】【分析】根据题意，设等差数列{1na}的公差为d，结合题意可得11a=1，4114a=，计算可得公差d的值，进而由等差数列的通项公式可得101a的值，求其倒数可得a10的值．【详解】根据题意，{1na

}是等差数列，设其公差为d，若a1＝1，a4＝4，有11a=1，4114a=，则3d411134aa=−=−，即d14=−，则10111aa=+9d54=−，故a1045=−；故选A．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意求出{

1na}的公差．5.若3是3a与b3的等比中项，则ab+的值为（）A.1−B.0C.1D.12【答案】C【解析】由题设可得2331abab+=+=，应选答案C．6.已知a，b，c满足cba且0ac，那么下列

选项中一定成立的是（）A.abacB.()0cba−C.22cbabD.()0acac+【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断出,ac的正负，然后逐项分析不等式是否成立.【详解】∵a，b，c满足cb

a且0ac，∴0a，0c，可得：A．()0abacabc−=−，正确．B．()0cba−，不正确．C．取0b=时，不正确；D．∵ac+可能小于等于0，可得()0acac+，不正确．故选：A．【点睛】本题考查利用

不等关系判断不等式是否成立，难度较易.判断不等式是否成立，可以从不等式的性质、举例说明等角度去判断.7.若01a，则不等式1()()0xaxa−−的解集是（）A.1}|{xaxaB.1{|}xxaaC.1{|}xxaxa或D.1{|}xxxaa或【答案】C【解

析】分析：先根据a的范围确定a与1a的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．详解：∵0＜a＜1，∴a＜1a，而()1yxaxa=−−是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外∴()10xaxa−−＞的解集为{x|1x

axa＜或＞}故选C．点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握

好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．8.数列na满足：()*11,0,nnaanNR+=−，若数列1na−是等比数列，则

的值是（）A.1B.2C.12D.1−【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知11211nnnnaaqaa+−−==−−，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列1na−为等比数列11211nnnnaaqaa+−−==−−即：2nnaqaq−=−

上式恒成立，可知：2qq=−=−2=本题正确选项：B【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.9.不等式240xax++的解集为空集，则a的取值范围是（）A.44−，B.()4,4−C.(),44−−+，D.()(),44−

−+，【答案】A【解析】【分析】由不等式240xax++的解集为空集，利用判别式0求解即可.【详解】∵不等式240xax++的解集为空集，∴216044aa=−−．故选：A．【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题.Ⅱ卷二．填空题（共6小题，每

题5分，共30分）10.不等式2103xx−+的解集是______.【答案】()1,3,2−−+【解析】【分析】把不等式2103xx−+化为()()2130xx−+，结合一元二次不等式的解法，即

可求解.【详解】由题意，不等式2103xx−+，等价于不等式()()2130xx−+，解得3x−或12x，所以不等式的解集为()1,3,2−−+.故答案为：()1,3,2−−+.【点睛】本题主要考查了分式

不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.11.设nS为等差数列na的前n项的和，12016a=−，20072005220072005SS−=，则2016S的值为__

____.【答案】2016−．【解析】【分析】分析数列nSn的特殊性，由此得到等差数列的公差，利用前n项和的计算公式即可计算出2016S的值.【详解】设等差数列的公差为d，因为()111222nnndanSddnann−+==+−

，所以nSn的通项公式是关于n的一次函数类型，所以nSn是首项为1a，公差为2d的等差数列，因为20072005220072005SS−=，所以222d=，所以2d=，所以()2016120

162015201620162016201620152Sad=+=−+，所以()20162016201620152016S=−+=−，故答案为：2016−.【点睛】本题考查求等差数列的前n项和，主要考查学生对数列nSn的理解，难

度一般.若一个等差数列na首项为1a，公差为d，其前n项和为nS，则nSn也是一个等差数列且首项为1a，公差为2d.12.已知数列na对任意的*p,qN满足pqpqaaa+=+，且2a4=−，则6a

=_______，na=_______.【答案】(1).12−(2).2n−【解析】由题意，根据条件得2114aaa=+=−，则12a=−，而3216aaa=+=−，所以63312aaa=+=−，…，

由此可知2nan=−，从而问题可得解.13.已知数列na的前n项和为nS，且23nnSa+=，则数列na的通项公式是na=______.【答案】113n−【解析】分析：当1n=时，求得1a；当2n时，类比写出1123nnSa−−+=，

两式相减整理得113nnaa−=，从而确定数列na为等比数列，进而求出通项公式.详解：当1n=时，1123Sa+=，得11a=当2n时，由23nnSa+=，得1123nnSa−−+=，两式相减，120nnnaaa−+

−=，得113nnaa−=数列na是以1为首项13为公比的等比数列通项公式113nna−=故答案为113nna−=.点睛：本题主要考查已知数列na的前n项和nS与na关系，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：（1）当

1n=时，11aS=求出1a；（2）当2n时，用1n−替换nS中的n得到一个新的关系，利用1nnSS−−(2)n便可求出当2n时na的表达式；（3）对1n=时的结果进行检验，看是否符合2n时na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n=与2n

两段来写．14.已知1a，2a，3a，…，ka是有限项等差数列，且471017aaa++=，456789101112131477aaaaaaaaaaa++++++++++=，若13ka=，则k的值是______.【答案】18【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出关于

1,ad的方程组，求解即可得1,ad，再利用13ka=，代入求解即可.【详解】解：∵1a，2a，3a，…，ka是有限项等差数列，∴()11naand+−=，∵471017aaa++=，456789101112131477aaaaaaaaaaa++++++

++++=，∴1131817118877adad+=+=，解得153a=，23d=，∴()52211333nann=+−=+，∵13ka=，∴21133k+=，解得18k=．故答案为：18．【

点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用通项公式求参数的问题.属于较易题.15.若2220xaxa−++对任意[02]x，恒成立，则实数a的取值范围为______.【答案】22−,.【解析】【分析】先把问题转

化为求函数()222fxxaxa=−++的最小值对任意0,2x恒大于等于0，求出二次函数的对称轴xa=，a分三种情况讨论，即可得出结果.【详解】解：若命题“0,2x，220xaxa++”恒成立，则函数()222fxxaxa=−++的最

小值对任意0,2x恒大于等于0，二次函数()222fxxaxa=−++的对称轴xa=，当2a时，函数()fx在0,2上递减，()()min26302fxfaa==−，无解；当0a时，函数(

)fx在0,2上递增，()()min02020fxfaa==+−；当02a时，函数()fx在0,a上递减，在,2a上递增，()()min22012fxfaaaa=−++−=，故02a，综上，实数a的取值范围为：22−,.故答案为：22

−,．【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题，考查了分类讨论的思想.属于中档题.三．解答题16.根据下列个无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式（1）-1，1，3，5，…；（2）13−，

16，19−，112，…；（3）12，34，56，78，…．【答案】（1）23nan=−；（2）()13nnan−=；（3）212nnan−=.【解析】【分析】（1）分析1234,,,aaaa，可知都满足23n−，即可得出结果；（2）分析1234,,,aaaa，可知都满足()1

13nn−，即可得出结果；（3）分析1234,,,aaaa，可知都满足212nn−，即可得出结果；【详解】解：（1）分析可得：有12131a=−=−，22231a=−=，32333a=−=，42435a=−=，

故2323nann=−=−；（2）分析可得：()11111313a=−=−，()22111326a=−==，()33111339a=−=−，()441113412a=−=，故()()11133nnnann−=−=；（3）分

析可得：12111212a−==，22213224a−==，32315236a−==，42417248a−==，故212nnan−=．【点睛】本题主要考查了观察法求数列的通项公式.属于较易题.17.已知函数2()(21)2fxaxax=−++.（1）当2a=时，解关

于x的不等式()0fx；（2）若0a，解关于x的不等式()0fx.【答案】（1）1,22；（2）①当102a时：不等式的解集为12xxa；②当12a=时：不等式的解集为2xx=；③当12a时：不等式的解集为12xxa

.【解析】分析：（1）2a=时()202520fxxx−+，将不等式因式分解，结合二次图像得到解集；（2）()0fx可化为()22120,0axaxa−++,.分三种情况：102a时：1

2a=时：12a时，分别得到解集.详解：（1）当2a=时()202520fxxx−+,可得()()2120xx−−,122x,()0fx的解集为1,22.（2）不等式()0fx可化为()22120,0axaxa−+

+,()120,0axxaa−−,①当102a时有12a.解得：12xa,②当12a=时有12a=,解得：2x=.③当12a时有12a.解得：12xa.综上：①当102a时：不等式的解集为12xxa

.②当12a=时：不等式的解集为2xx=.③当12a时：不等式的解集为12xxa.点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能

否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.18.在数列na中，11a=，数列13nnaa+−是首项为9，公比为3的等比数列．（Ⅰ）求2a，3a；（Ⅱ）求数列3nna

的前n项和nS．【答案】（Ⅰ）2312,63aa==；（Ⅱ）236nnnS−=．【解析】试题分析：（Ⅰ）由等比数列的通项公式得：1113933nnnnaa−++−==，故22133aa−=，33233aa−=，得212a=，363a=；（Ⅱ）因为111393

3nnnnaa−++−==，两边同除以13n+得：11133nnnnaa++−=，所以数列3nna是首项13、公差为1的等差数列，故其前n项和为21(1)31326nnnnnSn−−=+=

．试题解析：（Ⅰ）因为数列13nnaa+−是首项为9，公比为3的等比数列，则1113933nnnnaa−++−==，故22133aa−=，33233aa−=，即得212a=，363a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1113933nnnnaa−++−==，则11133nnnnaa++

−=，故数列3nna是首项13、公差为1的等差数列，故其前n项和为21(1)31326nnnnnSn−−=+=．考点：1、等比数列通项公式；2、等差数列定义；3、等差数列前n项和．19.nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0

，22nnaa+=43nS+.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa+=,求数列{nb}的前n项和.【答案】（Ⅰ）21n+（Ⅱ）11646n−+【解析】【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（Ⅱ）求出bn11n

naa+=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+

an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2

（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn()()111121232nnaann+===++（112123nn−++），∴数列{bn}的前n项和Tn12=（11111135572123nn−+−++−++）12=（

11323n−+）11646n=−+.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．20.在等差数列na中，936a=−，16171836aaa++=−，其前n项和为nS．（1）求nS的

最小值．（2）求出0nS时n的最大值．（3）求12||||||nnTaaa=+++．【答案】(1)nS取最小值630−．(2)40.(3)223123,(21,*)2231231260,(21,*)22nn

nnnTnnnn−+=−+NN.【解析】分析：（1）求出等差数列的首项1a和公差d，可再求出nS，由二次函数的性质得最小值，也可由0na得nS最小时的n值，从而最小值nS；（2）解不等式0

nS即得；（3）由na确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和．详解：（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，∵16171817336aaaa++==−，∴1712a=−，∴1792431798aad−===−，∴918336aa

=+=−，解得160a=−，∴()()221334150436034122228nnnSnnnn−=−+=−=−−，∴当20n=或21n=时，nS取最小值630−．（2）∵()234102nSnn=−，∴

41n，∴n的最大值为40．（3）∵160a=−，3d=，∴()6013363nann=−+−=−，由3630nan=−，得21n，∵203206330a=−=−，21321630a=−=，∴数列na中，前20项小于0，第21项等于

0，以后各项均为正数，当21n时，()2603633123222nnnnTSnn−+−=−=−=−+，当21n时，()22121603633123221260222nnnnTSSSnn−+−=−=−−=−+，综上，()223123,21,*223123126

0,(21,*)22nnnnnNTnnnnN−+=−+．点睛：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值

；(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．要注意an＝0的情形．