【文档说明】湖南省长沙市南雅中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.532 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市南雅中学2022年高一下学期期中考试试卷数学考生注意：本试卷共4道大题，22小题，满分150分，时量120分钟.一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.复数()()1i3iz=+−，则z=（）A.4B.22C.3D.23【答案】B【解析】【分析】先计算出z，即可求出z.

【详解】由已知，(1i)(3i)31(31)iz=+−=++−，所以22||(31)(31)822z=++−==．故选：B.2.已知向量()1,2a=r，(),1bm=−，且()aab⊥+，则m=（）A.-5B.5C.6

D.7【答案】D【解析】【分析】可以求出()1,3abm+=−，然后根据()aab⊥+即可得出()0aab+=，进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值.【详解】解：()1,3abm+=−，()1,2a=r，且()aab⊥+，∴()160aabm+=−+=

，解得7m=.故选：D.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.3.已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P−−，则tan4+的值为（）A.247

−B.7−C.247D.1731【答案】B【解析】【分析】先由任意角的三角函数的定义求得tan的值，而后再由两角和的正切公式展开计算即可得解.【详解】由题意，利用任意角三角函数的定义可得44tan33−==−，所以41tan13tan7441tan13+++===−

−−.故选：B.4.已知0x，0y，且4xy+=，则19xy+的最小值为（）A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】【分析】根据条件4xy+=,变形19119()4xyxyxy+=++后，利用均值不等式求最值.

【详解】因为4xy+=，所以1911919()1044yxxyxyxyxy+=++=++.因为0x，0y，所以9926yxyxxyxy+=，当且仅当1x=，3y=时，等号成立，故19xy+的最小值为4.故选：C5.如图正方形OABC的边长为1c

m，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）的A.8cmB.6cmC.2(13)cm+D.2(12)cm+【答案】A【解析】【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四边形OABC，如图，1OAOA==，OBOA

⊥，222OBOB==，221(22)3AB=+=，所以平行四边形OABC的周长是8．故选：A．6.攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3

的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.33πB.63πC.123πD.6π【答案】B【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB=，23ACB=，所以,36CABAO==，所以23233cos6AOAC===，

所以圆锥的侧面积32363Srl===.故选：B7.关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2,）单调递增③f(x)在[,]−有4个零点④f(x

)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】【分析】化简函数()sinsinfxxx=+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sinsinsinsin,fxxxxxfxfx−=−+−=+=为偶函数，故①正确．当2x时

，()2sinfxx=，它在区间,2单调递减，故②错误．当0x时，()2sinfxx=，它有两个零点：0；当0x−时，()()sinsin2sinfxxxx=−−=−，它有一个零点：−，故()fx在,−有3个零点：0−，故

③错误．当()2,2xkkk+N时，()2sinfxx=；当()2,22xkkk++N时，()sinsin0fxxx=−=，又()fx为偶函数，()fx\的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数()s

insinfxxx=+的图象，由图象可得①④正确，故选C．8.已知函数()()22022202220222log1xxfxxx−=−++++，则关于x不等式()()224fxfx+−的解集为（）A.(),0−B.(),1−C.(),2−D.()1,+【答案】C【解析】【分析】设()20

222022xxgx−=−，()()22022log1hxxx=++，分析这两个函数在R上的单调性与奇偶性，可得出函数()()()()2mxfxgxhx=−=+在R上的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为()()22mxmx−，结合函数()mx的单调性解

之即可.【详解】解：设()20222022xxgx−=−，则函数()gx的定义域为R，()()20222022xxgxgx−−=−=−，即函数()gx为奇函数，因为函数2022xy=、2022xy−=−均为R上的增函数，故函数()gx为R上的增函数，设()()2202

2log1hxxx=++，Rx，21xxx+，则210xx++，故函数()hx的定义域为R，且()()()()()2222202220222022log1log1log10hxhxxxxxxx+−=++

++−=+−=，所以，()()hxhx−=−，则函数()hx为R上的奇函数，当0x时，由于内层函数21uxx=++为增函数，外层函数2022logyu=为增函数，所以，函数()hx在)0,+上为增函数，由奇函数的性质可知，函数()hx在(,

0−上也为增函数，因为函数()hx在R上连续，故函数()hx在R上为增函数，令()()()()2mxfxgxhx=−=+，则函数()mx在R上为增函数，且()()()()()()mxgxhxgxhxmx−=−+−=−−=−，即函数()mx为

奇函数，由()()224fxfx+−可得()()2222fxfx−−−，即()()()2222mxmxmx−−=−，所以，22xx−，解得2x.因此，不等式()()224fxfx+−的解集为(),2−.故

选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题全对5分，选对不全对得2分，共20分）9.已知复数1zi=+（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A.复数z的虚部为iB.2z=C.复数z的共轭复数1zi=−D.复数z在复平面内对

应的点在第一象限【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.【详解】因为复数1zi=+，所以其虚部为1，即A错误；22112

z=+=，故B正确；复数z的共轭复数1zi=−，故C正确；复数z在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.10.一个正方体纸盒展开后

如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）A.ABEF⊥B.AB与CM所成的角为60C.//MNCDD.EF与MN所成的角为60【答案】AD【解析】【分析】根据平面展开图还原为正方体，AD选项结

合空间之间的位置关系即可判断，BC结合异面直线的成角即可求出结果.【详解】A选项，因为//ABMC，且EFMC⊥，所以EFAB⊥，故A正确；B选项，因为//ABMC，所以AB与CM所成的角为0，故B错误；C选

项，因为//AEMN，且AECD⊥，所以MNCD⊥，故C错误；D选项，因为//AEMN，所以AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EFFAAE==，所以AEF△为等边三角形，因此60AEF=o，且异面直线成角的范围为0,2

，所以AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60，故D正确；故选：AD.11.对于函数sin,sincos()cos,sincosxxxfxxxx=，下列四个结论正确的是（）A.()fx是

以为周期的函数B.当且仅当()xkk=+Z时，()fx取得最小值-1C.()fx图象的对称轴为直线()4xkk=+ZD.当且仅当22()2kxkk+Z时，20()2fx【答案】CD【解析】【分析】求得()fx的最小正周期为2，画出

()fx在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．【详解】解：函数sin,sincos()cos,sincosxxxfxxxx=„的最小正周期为2，画出()fx在一个周期

内的图象，可得当52244kxk++剟，Zk时，()cosfxx=，当592244kxk++„，Zk时，()sinfxx=，可得()fx的对称轴方程为4xk=+，Zk，当2xk=+或322xk=+，Z

k时，()fx取得最小值1−；当且仅当22()2kxkkZ+时，()0fx，()fx的最大值为2()42f=，可得20()2fx„，综上可得，正确的有CD．故选：CD．【点睛】本题考查

三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．12.已知在ABC中，0P是边AB上一定点，满足014PBAB=，且对于边AB上任一点P，恒

有PBPC00PBPC，则下列选项中不正确的是（）A.90ABC=B.90BAC=C.ABAC=D.ACBC=【答案】ABC【解析】【分析】在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.由PBPC00PBPC，得220DPDP，从而D0P⊥AB.利于几何关系证明C

E∥DP0，所以CE⊥AB.根据等腰三角形三线合一即可证明AC=BC.详解】如图，在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.故()()22()PBPCDBDPDCDPDBDCDPDBDCDPDBDCDP=−−=−++=+.同理2000PBPCDBDCDP=

+，由PBPC00PBPC，得220DPDP，故DP0⊥AB.由D为BC的中点，E为AB的中点，且014PBAB=，得CE∥DP0，所以CE⊥AB.又E为AB的中点，所以AC=BC.故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设平面与平

面相交于直线a，平面与平面相交于直线b，则“ab∥”是“∥”的______________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）．【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为平面与平面

相交于直线a，平面与平面相交于直线b，若ab∥，则∥或与相交，即由“ab∥”不能推出“∥”；若∥，根据面面平行性质，即可得出ab∥，即由“∥”能推出“ab∥”.【的故答案为必要不充分【点睛】本题主要考查必要不充分条件

的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.14.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB===，则ABC的面积为__________.【答案】63【解析】【分析】本题首先

应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,ac的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cosbacacB=+−，所以2221(2)2262cccc+−=，即212c=解得23,23c

c==−（舍去）所以243ac==，113sin432363.222ABCSacB===【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计

算．15.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）．已知在鳖臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的外接球的体积为_________．【答案】43【解析】【分析】根据鳖臑的四个面都为直角三角形，且MA⊥

平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，可得MC的中点O为四面体M－ABC外接球球心，求出MC的长，从而根据球的体积公式即可求解.【详解】解：因为MA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以MABC⊥，同理MAAC⊥，又AB＝BC＝2，且ABC为直角三角形，所以AB

BC⊥，又ABMAA=，AB，MA平面MAB，所以BC⊥平面MAB，又MB平面MAB，所以BCMB⊥，所以MC的中点O到M，A，B，C四点距离相等，即为四面体M－ABC外接球球心，又由已知得222222AC=+=，()2222223MC=+=，所以该鳖臑的外接球的半径为3，

所以该鳖臑的外接球体积为()343433V==．故答案为：43.16.设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f(92)＝____________.

【答案】52【解析】【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得(1)(1)fxfx+=−−+，(4)()fxfx+=，再结合已知的解析式可得(0)4,(3)fabfab=−−=+，然后结合已知可求出,ab，从而可得当[1,2]x时，2()22fx

x=−+，进而是结合前面的式子可求得答案【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以()fx的图象关于点(1,0)对称，所以(1)0f=，且(1)(1)fxfx+=−−+因为f(x＋2)为偶函数，所以()fx的图象关于直线2x=对称，(2)(2)fx

fx+=−+，所以[(1)1][(1)1]()fxfxfx++=−−++=−−，即(2)()fxfx+=−−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，即(4)()fxfx+=，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则(0)(11)(2)4,(3)(12)(12)(1)fffabf

fffab=−+=−=−−=+=−+==+，因为(0)(3)6ff+=，所以36a−=，得2a=−，因为(1)0fab=+=，所以2ba=−=，所以当[1,2]x时，2()22fxx=−+，所以911139541(22)2

222242fffff=+==−+=−=−−+=，故答案为：52四、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）1

7.已知正方体1111-ABCDABCD．（1）求证：A1D//平面1CBD；（2）求证：1AD⊥平面1ADC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明11//ADBC，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质证明1CDA

D⊥，再利用线面垂直的判定推理作答.【小问1详解】在正方体1111ABCDABCD−中，1111////CDABAB，1111CDABAB==，则有四边形11ABCD是平行四边形，有11//ADBC，而1B

C平面1CBD，1AD平面1CBD，所以1//AD平面1CBD．小问2详解】在正方体1111ABCDABCD−中，CD⊥平面11AADD，1AD平面11AADD，则1CDAD⊥，【在正方形11AADD中，11ADA

D⊥，又1ADCDD=，1,ADCD平而1ADC，所以1AD⊥平而1ADC．18.已知()23sincoscosfxxxx=−．（1）求函数()yfx=的单调递增区间；（2）求函数()fx在区间0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为,63kk

−+，Zk（2）()fx的最大值为12，()fx的最小值为1−【解析】【分析】（1）通过降幂扩角公式及辅助角公式，把函数化成sin()Ax+的形式，然后利用正弦函数的单调增区间求解即可；（2）由所给区间推出x+的范围，然后利用正弦函

数的图像性质确定最值.【小问1详解】()231cos213sincoscossin2sin22262xfxxxxxx+=−=−=−−，由222262kxk−−+，得63kxk-＃+，所以()fx的单调递

增区间为,63kk−+，Zk；【小问2详解】由（1）知()1sin262fxx=−−，因为02x，则52666x−−，有1sin2126x−−，即()112fx−≤≤．所以，()fx的最大值为12，()fx的最小值为1−．19.

为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为116xay−=（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（

1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【答案】

（1）0.110,00.11,0.116xxxyx−=（2）0.6【解析】【分析】（1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a−．【小问1详解】解

：依题意，当00.1x时，可设ykx=，且10.1k=，解得10k=又由0.11116a−=，解得0.1a=，所以0.110,00.11,0.116xxxyx−=；【小问2详解】解：令0.110.2516a−

，即20.21144a−，得20.21a−，解得0.6x，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．20.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且22cos2cosc

os0aCcACb++=.（1）求角C的大小；（2）若2sinbB=，求△ABC面积的最大值.【答案】（1）23（2）34【解析】【分析】（1）对22cos2coscos0aCcACb++=，利用正弦定理和诱导公式整理化简得到1cos2C

=−，即可求出23C=；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值为1，代入面积公式求面积.【小问1详解】对于22cos2coscos0aCcACb++=.由正弦定理知：22sincos2sincoscossin0ACCACB++=即()2cossincos

sincossin0CACCAB++=.所以()2cossinsin0CACB++=.所以()2cossinsin0CBB−+=.所以2cossinsin0CBB+=因为()0,B，sin0B，所以2cos10C+=.所以1c

os2C=−.因为()0,C，所以23C=.【小问2详解】因为2sinbB=，由正弦定理知：sin3sinCbcB==.由余弦定理知：2222coscababC=+−，所以2233ababab=++.当且仅当ab=时，等号成立，所以ab的最大值为1.所以1133sin12224Sa

bC==，即面积的最大值为34.21.在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且EF∥平面ABD.（1）求证：BD∥平面AEF；（2）若⊥AE平面BCD，DEBC⊥，2AECEDE===，记三棱锥

F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为1V，2V，且212VV=，求三棱锥B-ADF的体积.【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）根据//EF平面ABD，利用线面平行的性质定理得到//EFBD，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据113ACE

FCEFVVSAE−==，213ADEFDEFVVSAE−==，122VV=，得到2DEFCEFSS=△△，再根据⊥AE平面BCD，由13BADFABDFBDFVVSAE−−==求解.【小问1详解】证明：∵//EF平面

ABD，EF平面BCD，平面BCD平面ABDBD=，∴//EFBD，又∵BD平面AEF，EF平面AEF，∴BD∥平面AEF；【小问2详解】∵113ACEFCEFVVSAE−==，213ADEFDEFVVSAE−==，且122VV=，∴2DEFCEFSS=△△，∴2DFFC=，∴23B

DFBCDSS=，由（1）知//EFBD，∴6BC=，又因为DEBC⊥，所以1162622BCDSBCDE===，所以243BDFBCDSS==，因为⊥AE平面BCD，所以1833BADFABDFBDFVV

SAE−−===.22.设函数()22xxfxk−=−是定义R上奇函数．（1）求k的值；（2）若不等式()21xfxa−有解，求实数a的取值范围；（3）设()444()xxgxfx−=+−，求()gx在[1,)

+上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．【答案】（1）1；（2）54a；（3）最小值为2−，此时2log(12)x=+.【解析】【分析】（1）根据题意可得()00f=，即可求得k值，经检验，符合题意；（2）()21xfxa−有解，等价

为2max11122xxa−++，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；（3）由题意()()44422xxxxgx−−=+−−，令22xxt−=−，可得t的范围，整理可得2()()42gxhttt==−+，32t

，利用二次函数的性质，即可求得答案.的【详解】（1）因为()22xxfxk−=−是定义域为R上的奇函数，所以()00f=，所以10k−=，解得1k=，所以()22xxfx−=−，当1k=时，()22()xxfxfx−−=−=−，所以()fx为奇函数，故1k=；（2）()21xfxa−

有解，所以211122xxa−++有解，所以只需2max11122xxa−++，因为221111551222244xxx−++=−−+

（1x=时，等号成立），所以54a；（3）因为()444()xxgxfx−=+−，所以()()44422xxxxgx−−=+−−，可令22xxt−=−，可得函数t在)1,+递增，即32t，则

2442xxt−=+−，可得函数2()()42gxhttt==−+，32t，由()ht为开口向上，对称轴为322t=的抛物线，所以2t=时，()ht取得最小值2−，此时222xx−=−，解得2log(12)x=+

，所以()gx在)1,+上的最小值为2−，此时2log(12)x=+．【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若()amx，只需max()amx，若()amx，只需min()amx，处理恒成立

问题时，若()amx，只需min()amx，若()amx，只需max()amx，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.