【文档说明】《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题20 极值点偏移问题(解析版).docx，共(29)页，2.115 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题20极值点偏移问题1．极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x0函数值的大小关系图示极值点不偏移x0＝x1＋x22f(x1)＝f(2x0－x2)极值点偏移左移x0<x1＋x22峰口向上：f(x1)<f(2x0－

x2)峰口向下：f(x1)>f(2x0－x2)右移x0>x1＋x22峰口向上：f(x1)>f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)<f(2x0－x2)2.函数极值点偏移问题的题型及解法极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：(1)若

函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)

；(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝x1＋x22，求证：f′(x0)>0；(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝x1＋x22，求证：f

′(x0)>0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点0x．(2)构造函数，即

对结论1202xxx+型，构造函数0()()(2)Fxfxfxx=−−或00()()()Fxfxxfxx=+−−；(3)对结论2120xxx型，构造函数20()()()xFxfxfx=−，通过研究()Fx

的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论()Fx的单调性．(5)比较大小，即判断函数()Fx在某段区间上的正负，并得出()fx与0(2)fxx−的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将()fx与0(2)fxx−的大小关系转化为x与02xx−之间的关系，进而得到所证或所

求．3.2．差值代换法（韦达定理代换令1212,xxtxxt==.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用t表示)表示两个

极值点，即12txx=−，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．3.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用t表示)表示两个极值点

，即12xtx=，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．3.4．对数均值不等式法两个正数a和b的对数平均定义：(),(,)lnln().ababLababaab−=−=对数平均与算术平均、几何

平均的大小关系：(,)2ababLab+（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当ab=时，等号成立．3.5指数不等式法在对数均值不等式中，设mae=，nbe=，则()(,)()mnmeemnEabmnemn−=−=，根据对数均值不等式有如下关系：2

(,)2mnmneeeEab++专项突破练1．已知函数()1lnfxxax=++．(1)求函数()fx的单调区间；(2)当()()()1212fxfxxx=时，证明：122xx+．【解析】（1）∵()1lnfxxax=++，∴()22111xfxxxx−

=−=，令()0fx=，得x＝1，当01x时，()0fx，()fx单调递减；当1x时，()0fx，()fx单调递增，故函数()fx的减区间为()0,1，增区间为()1,+；（2）由（1）知，不妨设

1201xx，构造函数()()()2gxfxfx=−−，01x，故()()()()()()2222241112022xxxgxfxfxxxxx−−−−=+−=+=−−，故()gx在(

)0,1上单调递减，()()10gxg=，∵()10,1x，∴()()()11120gxfxfx=−−，又∵()()12fxfx=，∴()()2120fxfx−−，即()()212fxfx−，∵1201xx，∴2x，()121,x−+，又

∵()fx在()1,+上单调递增，∴212xx−，即122xx+，得证．2．已知函数()()elnxfxxa=+.(1)若()fx是增函数，求实数a的取值范围；(2)若()fx有两个极值点1x，2x，

证明：122xx+.【解析】(1)函数的定义域为()0,+，()1elnxfxxax=++，若()fx是增函数，即()0fx对任意0x恒成立，故1ln0xax++恒成立，设()1lngxxax=++，

则()22111xgxxxx−=−=，所以当01x时，()0gx，()gx单调递减，当1x时，()0gx，()gx单调递增，所以当1x=时，()()min11gxga==+，由10a+得1a−，所以a的取值范围是)1,−+.(2)不妨设120xx，因为1x，2x是

()fx的两个极值点，所以()11111eln0xfxxax=++=，即111ln0xax++=，同理221ln0xax++=，故1x，2x是函数()1lngxxax=++的两个零点，即()()120gxgx==，由（1）知，()()min110gxga==+，故应有(),

1a−−，且1201xx，要证明122xx+，只需证212xx−，只需证()()()()211122gxgxgxgx−−=−−()()111111111111lnln2lnln2022xaxaxxxxxx=++−−++=

+−−+−−，设()()11lnln22hxxxxx=+−−+−，(0,1x，则()()()()()22222224111111102222xxxhxxxxxxxxx−−−=−−−=−=−−−−−

，所以()hx在()0,1上单调递减，因为()10,1x，所以()()110hxh=，即()()2120gxgx−−，()()212gxgx−，又21x，121x−，及()gx在()1,+上单调递增，所以212xx−成

立，即122xx+成立.3．已知函数()()11exfxx−=+.(1)求()fx的极大值；(2)设m、n是两个不相等的正数，且()()11e1e4enmmnmn+−+++=，证明：2mn+.【解析】(1)因为()()

111e1exxfxxx−−+==+的定义域为R，()1exxfx−=−，当0x时，()0fx，此时函数()fx单调递增，当0x时，()0fx，此时函数()fx单调递减，所以，函数()fx的极大值为()0ef=.(2)证明：因为(

)()11e1e4enmmnmn+−+++=，则11114eeemnmn−−+++=，即()()4fmfn+=，由（1）知，函数()fx在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减，因为m、n是两个不相等的正数

，且满足()()4fmfn+=，不妨设01mn，构造函数()()()2gxfxfx=+−，则()()()1122eexxxxgxfxfx−−−=−−=−−，令()()hxgx=，则()()()()111111e1eee

xxxxxhxxx−−−−−=−−−=−−.当01x时，101xx−−，则()0hx，此时函数()hx单调递减，当1x时，101xx−−，则()0hx，此时函数()hx单调递减，又因为函数()hx在()0,+

上连续，故函数()hx在()0,+上单调递减，当01x时，()()10hxh=，即()0gx，故函数()gx在()0,1上为增函数，故()()()()()()214fmfmgmgfmfn−+===+，所以，()

()2fnfm−，21m−且1n，函数()fx在()1,+上为减函数，故2nm−，则2mn+.4．已知函数()1lnxfxax+=(1)讨论f(x)的单调性；(2)若()()2112eexxxx=，且121200xxxx，，，证明:221

22xx+.【解析】（1）()()2ln0xfxxax−=当0a时，()01x，，()0fx，所以()fx单调递增；()1x+，，()0fx，所以()fx单调递减；当0a时，(

)01x，，()0fx，所以()fx单调递减；()1x+，，()0fx，所以()fx单调递增；（2）证明：()()2112xxxx=ee，∴()()2112lnlnxxxx=ee，()()1212lnln

xxxx=ee即当1a=时，()()12fxfx=由（1）可知，此时1x=是()fx的极大值点，因此不妨令1201xx要证22122xx+，即证：22122xx+①当22x时，22122xx+成立；②当212x时先证122xx+此时()2201x−，要证122xx+，即证

：122xx−，即()()122fxfx−，即()()222fxfx−即：()()2220fxfx−−①令()()()()()()1ln21ln21,22xxgxfxfxxxx+−+=−−=−−，∴()()()()(

)222222ln2ln2ln2lnln02xxxxxxgxxxxxx−−−=−−−−=−−∴()gx在区间()12，上单调递增∴()()10xgg=，∴①式得证.∴122xx+∵21112xx+，22212xx

+∴221212222xxxx+++∴()221212222xxxx++−∴22122xx+5．已知函数()22lnxfxxa=−（aR且0a）．(1)2a=，求函数()fx在()()22f,处的切线方程．(2)

讨论函数()fx的单调性；(3)若函数()fx有两个零点12xx、()12xx，且2ea=，证明：122exx+．【解析】(1)当2a=时，()22ln2xfxx=−，所以()222ln2f=−.()2fxxx=−，所以()22212f=−=.所以函数()fx在()

()22f,处的切线方程为()22ln22yx−−=−，即2ln2yx=−.(2)()fx的定义域为(0，+∞)，22()xfxax=−.当a<0时，()0fx恒成立，所以()fx在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，()()222()xfxxaxaaxax

=−=+−.在()0,a上，()0fx，所以()fx单调递减；在(),a+上，()0fx，所以()fx单调递增.(3)当2ea=，()222lnexfxx=−.由(2)知，()fx在()0,e上单调递减，在()e,+上单调递增.由题意可得：()12(0

,e),e,xx+.由(2e)22ln20f=−及2()0fx=得：()2e,2ex.欲证x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e-x2)>0即可.由

22222()2ln0exfxx=−=得22222elnxx=.所以22222(2e)(2e)2ln(2e)exfxx−−=−−2222224e4e2ln(2e)exxx−+=−−()2222224e4e2eln2ln

2eexxx−+=−−2222442ln2ln(2e),(e,2e),exxxx=−+−−令4()42ln2ln(2e),(e,2e)etgtttt=−+−−则24224(e)()0e2ee(2e)tgttttt−=−++=−−，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g

(e)=0即f(2e-x2)>0.综上x1+x2>2e.6．已知函数()lnfxxx=−(1)求证：当1x时，()21ln1xxx−+；(2)当方程()fxm=有两个不等实数根12,xx时，求证：121xxm+

+【解析】(1)令()()()21ln11xgxxxx−=−+，因为()()()()222114011xgxxxxx−=−=++，所以()gx在()1,+上单调递增，所以()()10gxg=，即当1x时，()21ln1xxx−+.(2)证明：由()lnfxxx=−，得()11fx

x=−，易知()fx在()0,1单调递减，在()1,+单调递增，所以()min1fx=.因为方程()fxm=有两个不等实根，所以1m>.不妨设1201xx.由（1）知，当1x时，()21ln1xxx−+；当01x

时，()21ln1xxx−+.方程()fxm=可化为lnxmx−=.所以()222221ln1xxmxx−−=+，整理得()222120xmxm−++−.①同理由()111121ln1xxmxx−−=+，整理得()21112

0xmxm−++−+.②由①②，得()()()211210xxxxm−+−+.又因为21xx所以121xxm++.法二：由()lnfxxx=−，得()11fxx=−，易知()fx在()0,1单调递减，在()

1,+单调递增，所以()min1fx=.因为方程()fxm=有两个不等实根，所以1m>.不妨设1201xx.要证121xxm++，只要证1211ln1xxxx+−+，只要证：21ln11xx−+.因为()fx在()1,+上单调递增，只要证：()()()1211lnfxf

xfx=−.令()()()()1ln01hxfxfxx=−−，只要证()0,1x，()0hx恒成立.因为()()()()1111ln11ln111ln1lnxxxhxfxfxxxxxxx−−

=−−−=−+−=−−，令()()ln101Fxxxxx=−−，则()ln0Fxx=−，故()Fx在()0,1上单调递增，()()10FxF=，所以()0hx，所以()hx在()0,1上单调递减，

所以()()10hxh=，故原结论得证.7．已知函数()()22ln21fxaxxaxa=−+−+．(1)若1a=，证明：()22fxxx−；(2)若()fx有两个不同的零点12,xx，求a的取值范围，并证明：122xxa+．【解析】(1

)当1a=时，()22ln1fxxx=−+，定义域为()0,+令()()()222ln21gxfxxxxx=−−=−+，则()22gxx=−当01x时，()0gx；当1x时，()0gx；所以函数(

)gx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，故()()max110gxg==−，所以()0gx，得()22fxxx−；(2)因为()fx有两个不同的零点12,xx，则()fx在定义域内不单调；由()()()()212221xaxafxx

axx−−+=−+−=当0a时，()0fx在()0,+恒成立，则()fx在()0,+上单调递减，不符合题意；当0a时，在()0,a上有()0fx，在(),a+上有()0fx，所以()fx在()

0,a上单调递增，在(),a+上单调递减．不妨设120xax令()()()2Fxfxfax=−−则()()()()()()222Fxfxfaxaxfxfax=−−−=+−()()()()()242

2221222122axaaxaaxaxaxxax−=−+−+−−+−=−−当()0,xa时，()0Fx，则()Fx在()0,a上单调递增所以()()()()20FxFafafaa=−−=故()()2fxfax−，因为120x

ax所以()()12fxfax−１，又()()2fxfx=１，122aaxa−则()()212fxfax−，又()fx在(),a+上单调递减，所以212xax−，则122xxa+．8．已知函数()21ln2fxxxxx=+−．(1)求曲

线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)若()00fx=（()fx为()fx的导函数），方程()fxm=有两个不等实根1x、2x，求证：1202xxx+．【解析】(1)因为()21ln2fxxxxx=+−，则()lnfxxx=+，所以，()112f=−，(

)11f=，所以，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为112yx+=−，即32yx=−.(2)证明：因为()lnfxxx=+，()00fx=，所以00ln0xx+=．因为()fx为增函数，所以()fx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增．由方程()fxm

=有两个不等实根1x、2x，则可设102xxx，欲证1202xxx+，即证20102xxxx−，即证()()2012fxfxx−，而()()21fxfx=，即()()10120fxfxx−−，即()()()()221111010101011

1ln2ln222022xxxxxxxxxxxx+−−−−−−+−，设()()()()()22000011ln2ln22222gxxxxxxxxxxxxx=+−−−−−−+−，其中00xx，则()()00lnln22gxx

xxx=+−+，设()()()000lnln220hxxxxxxx=++−，则()()()000211022xxxxxxxxhx−=−=−−，所以，函数()gx在()00,x上单调递增，所以()()0002l

n20gxgxxx=+=，所以()gx在()00,x上单调递减，所以()()00gxgx=，即()()2012fxfxx−，故1202xxx+得证．9．已知函数2()1e(1),1,1xfxkxxkRx=

−−−−+．(1)若0k=，证明：(1,0)x−时，()1fx−；(2)若函数()fx恰有三个零点123,,xxx，证明：1231xxx++．【解析】(1)0k=时，函数1()e,(1,0)1xxfxxx−=−+，则221()e0(1)xxfxx+=+，()fx在

(1,0)−上单调递增，所以1()e(0)11xxfxfx−==−+．(2)e()(1)1xfxxkx=−−+，显然1x=为函数的一个零点，设为3x；设函数e()1xFxkx=−+，2e()(1)xxFxx=+当(1,0)x−时，()0Fx，当,()0x+

时，()0Fx，故()Fx在(1,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增．由已知，()Fx必有两个零点12,xx，且1210xx−，下证：120xx+．设函数()()(),(1,0)hxFxFx

x=−−−，则ee()11xxhxxx−=++−，2e11()ee(1)11xxxxxxhxxxx−++=+−+−−，由于(1,0)x−，则2e1e0(1)1xxxxxx−+

−+−，由（1）有1e01xxx++−，故()0hx，即函数()hx在(1,0)−上单调递减，所以()(0)0hxh=，即有()()()211FxFxFx=−，由于12,(0,)xx−+，且在(0,)+上单调递

增，所以21xx−，所以120xx+．10．已知函数()()()1ln3fxxxax=++−．(1)若函数()fx为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数()fx有两个极值点1x、()212xxx．求证：()()12122fxfxxx+++

−．【解析】(1)因为()()()1ln3fxxxax=++−，该函数的定义域为()0,+，()1ln2fxxax=++−，若函数()fx为增函数，则()0fx恒成立．令()1ln2gxxax=++−，()22111xgxxxx−=−=，令()0g

x=得1x=，当()0,1x时，()0gx，()gx单调递减；当()1,x+时，()0gx，()gx单调递增，故()()11gxga=−，所以，10a−，因此1a．(2)因为函数()fx有两个极值点1x、()212xxx，即方程()0gx=有

两个不等的实根1x、()212xxx，因为()gx在()0,1上递减，在()1,+上递增，所以，1201xx，即1x、2x是1ln20xax++−=的两个根，所以11221ln201ln20xaxxax++−=++−=，则()()111222ln21ln21xxaxxx

ax+−=−+−=−，所以，()()()()121211221212lnlnlnln2fxfxxxxxxxxxaxx+++=++++−+12lnln2xx=+−，即证12lnln0xx+，即证121xx．由11221ln201ln20xaxxax++−=++−=两式

作差得122111lnxxxx=−，令()120,1xtx=，则11lntxt−=，21lntxtt−=，即只需证111lnlnttttt−−，即证1ln0ttt−+．令()1lntttt=−+，其中()0,1t

，则()()2102tttt−=−，故()t在区间()0,1上单调递减，当()0,1t时，()()10t=，命题得证．11．已知函数()lnfxxx=−.(1)求函数()fx的单调区间；(2)若函数()yfx=的图象与()ymmR=的图象交于()11,Axy，

()22,Bxy两点，证明：12242ln2xx+−.【解析】(1)()fx的定义域为(0,)+令11()10xfxxx−=−=，解得01x令11()10xfxxx−=−=，解得1x所以()f

x的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+(2)由（1）不妨设1201xx由题知11lnxxm−=，22lnxxm−=两式相减整理可得：12121lnxxxx−=所以要证明12242ln2xx+−成立，只需证明1211222

(42ln2l)nxxxxxx+−−因为12ln0xx，所以只需证明212112(42ln2ln)2xxxxxx−+−令12,01xttx=，则只需证明1(42lnl21n2)ttt−−+

，即证(1)ln(1)02(42ln2)ttt+−−−令2()(1)ln(1)2(4ln2)gtttt−=−+−2ln22l12ln(2)1()22n2lntttgtttt++−−=++=记()2ln(2)12ln2hxttt+−=

+则()2ln2hxt=易知，当102t时，()0hx，当112t时，()0hx所以当12t=时，min11()()022n2lnlhxh==+=所以当01t时，()0gt，函数()gt单调递增故()(1)0gtg=，即(1)ln(1)02(42ln2)t

tt+−−−所以，原不等式12242ln2xx+−成立.12．已知函数()()3ln010fxaxxaa=+.(1)讨论()fx的单调性.(2)若函数()fx有两个零点12xx，，且12xx，证明：12

310xx+.【解析】(1)函数()fx的定义域为()0,+，()()lnln1fxaxaax=+=+.①当0a时，令()0fx，得10xe，则()fx在10,e上单调递减；令()0fx，得1xe，则()fx在1,e+上单调递增.②

当0a时，令()0fx，得1xe，则()fx在1,e+上单调递减；令()0fx，得10xe，则()fx在10,e上单调递增.综上所述，当0a时，()fx在10,e上单调

递减，在1,e+上单调递增；当0a时，()fx在1,e+上单调递减，在10,e上单调递增.(2)证明：因为12xx，为()fx的两个零点，所以113ln010xx+=，223ln010xx+=，两式相减，可得121233lnln01010xx

xx−+−=，即1122123ln10xxxxxx−=，121212310lnxxxxxx−=，因此，121121310lnxxxxx−=，212121310lnxxxxx−=.令12xtx=，则121113

513310ln10ln10lntttxxttt−−−+=+=，令()()1ln01httttt=−−，则()22211110tthtttt−+=+−=，所以函数()ht在()0,1上单调递增，所以()()10hth=，

即1ln0ttt−−.因为01t，所以11lnttt−，故12310xx+得证.13．已知函数()lnfxxxaxa=−+．(1)若1x时，()0fx，求a的取值范围；(2)当1a=时，方程()f

xb=有两个不相等的实数根12,xx，证明：121xx．【解析】（1）∵1x，()0fx，∴ln0axax−+，设()ln(1)agxxaxx=−+，()221axagxxxx−=−=，当1a时，令()0gx=得xa=，当1xa

≤时，()0gx，()gx单调递减；当xa时，()0gx，()gx单调递增，∴()(1)0gag=，与已知矛盾．当1a时，()0gx，∴()gx在[1,)+上单调递增，∴()(1)0gxg=，满足条件；综上，a取值范围是(,1]−．（2）证明：当

1a=时，()lnfxx=，当1x，'()0fx，当01x，'()0fx，则()fx在区间(1,)+上单调递增，在区间()0,1上单调递减，不妨设12xx，则1201xx，要证121xx，只需证2111xx，∵()fx在区间(1,)+上单调递

增，∴只需证121()()fxfx，∵12()()fxfx=，∴只需证111()()fxfx．设1()()()(01)Fxfxfxx=−，则22211()lnlnln0,xFxxxxxx−=−=，∴()Fx在区间(

)0,1上单调递增，∴()(1)0FxF=，∴1()()0fxfx−，即111()()fxfx成立，∴121xx．14．设函数()()exfxxa=+，已知直线21yx=+是曲线()yfx=的一条切线.(1)求a的值，并讨论函数()fx的单调性；(2)若()()

12fxfx=，其中12xx，证明：124xx.【答案】(1)1a=；()fx在(),2−−上单调递减，在()2,−+上单调递增【解析】(1)设直线21yx=+与曲线()yfx=相切于点()()00,xfx，(

)()1exfxxa=++，()()0001e2xfxxa=++=；又()()0000e21xfxxax=+=+，002e21xx−=+，即00e210xx+−=；设()e21xgxx=+−，则()e20xgx=+，()gx在R上单调递增，又()

00g=，()gx有唯一零点0x=，00x=，12a+=，解得：1a=；()()1exfxx=+，()()2exfxx=+，则当(),2x−−时，()0fx；当()2,x−+时，()0fx

；()fx在(),2−−上单调递减，在()2,−+上单调递增.(2)由（1）知：()()2min2e0fxf−=−=−；当1x−时，()0fx；当1x−时，()0fx，1221xx−

−；要证124xx，只需证1242xx−；()fx在(),2−−上单调递减，只需证()124fxfx，又()()12fxfx=，则只需证()224fxfx对任意()22,1x−−恒成立；设(

)()()421hxfxfxx=−−−，()()()()444333822e2eee8xxxxxxxhxxxxx−++=++=+；设()()43e821xxpxxx−=+−−，

则()2437e024xxpxxx−=++，()px在()2,1−−上单调递减，()()2880pxp−=−+=，又当21x−−时，()432e0xxx+，()0hx，()hx

在()2,1−−上单调递增，()()()()2220hxhff−=−−−=，即()4fxfx在()2,1x−−时恒成立，又()22,1x−−，()224fxfx，原不等式得证.15．已知函数()()32lnfxxxa

aRx=++−有两个不同的零点12,xx.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：121xx.【解析】(1)定义域为()()22232230,,1xxfxxxx+−+=−+=，()(),0,10xfx，所以()fx在()0,1x上单调递减.()()1,,0xfx

+，所以()fx在()1,x+上单调递增，所以()fx在1x=处取得极小值，也是最小值，又()min()14fxfa==−，所以先保证必要条件()10f成立，即4a满足题意.当4a时，易知，()()()33222ln22ln2022faaaa

aaaa=++−=++；()111132ln2ln0;faaaaaaaaa=+−−=+−由以上可知，当4a时，()()32lnfxxxaaRx=++−有两个不同的零点.(2)由题意，假设1201xx，要证明

121xx，只需证明121xx.只需证()121fxfx，又()()12fxfx=.即只需证()221fxfx，构造函数()()1,(1)gxfxfxx=−.()224lngxxxx=−+()222(1)

xgxx−−=，所以()gx在()1,+单调递减.()()()2210,1,1gxgxg=，即()221fxfx成立，即()121fxfx所以原命题成立.16．已知a是实数，函数()lnfxaxx=−．(1)讨论()fx的

单调性；(2)若()fx有两个相异的零点12,xx且120xx，求证：212exx．【解析】(1)()fx的定义域为()0,+，()1aaxfxxx−=−=，当0a时，()0fx恒成立

，故()fx在()0,+上单调递减；当0a时，令()0fx得：()0,xa，令()0fx得：(),xa+，故()fx在()0,xa上单调递增，在(),xa+上单调递减；综上：当0a时，()fx在()0,+上单调递减；当0a时，()fx在

()0,xa上单调递增，在(),xa+上单调递减；(2)由（1）可知，要想()fx有两个相异的零点12,xx，则0a，不妨设120xx，因为()()120fxfx==，所以1122ln0,ln

0axxaxx−=−=，所以()1212lnlnxxaxx−=−，要证212exx，即证12lnln2xx+，等价于122xxaa+，而1212lnln1xxaxx−=−，所以等价于证明121

212lnln2xxxxxx−−+，即()1212122lnxxxxxx−+，令12xtx=，则1t，于是等价于证明()21ln1ttt−+成立，设()()21ln1tgttt−=−+，1t()()()()222114011tgttttt−

=−=++，所以()gt在()1,+上单调递增，故()()10gtg=，即()21ln1ttt−+成立，所以212exx，结论得证.17．已知函数()1exfxax−=−，(1)讨论函数()fx

的单调性；(2)若函数()fx在()0,2上有两个不相等的零点12,xx，求证：121xxa.【解析】(1)()1exfxa−=−，xR.①当0a时，()0fx恒成立，()fx单调递增；②当0a时，由()0fx得，()1ln,xa++，()fx单调递增，由()0fx得，(

),1lnxa−+，()fx单调递减.综上：当0a时，()fx单调递增；当0a时，()fx在()1ln,xa++上单调递增，在(),1lnxa−+上单调递减.(2)∵()fx在()0,2上有两个不相等的零点1x，2x，不妨设12xx，∴1exax−=在()0,2上有两个

不相等的实根，令()1exgxx−=，()0,2x，∴()()12e1xxgxx−−=，由()0gx得，()0,1x，()gx单调递减，由()0gx得，()1,2x，()gx单调递增，()11g=，()e22g=，0

x→，()gx→+，∴e1,2a要证121xxa，即证121axx，又∵()()12gxgxa==，只要证211e1xx−，即证211exx−，∵121xx<<，即证()()211exgxg−即证()()

212exgxg−，即证12221e112eeexxxx−−−−，即证212eln10xx−+−令()1eln1xhxx−=+−，()1,2x，∴()11exhxx−=−+，令()eexxx=−，()1,2x，则()e

exx=−，当()1,2x时，()ee>0xx=−恒成立，所以()eexxx=−在()1,2x上单调递增，又()()10x=，∴eexx，∴11exx−，∴()0hx∴()hx在()1,2上递增，∴()()10hxh，∴1eln10

xx−+−，∴121xxa.18．已知函数21()ln2fxxxxx=+−的导函数为()fx.(1)判断()fx的单调性；(2)若关于x的方程()fxm=有两个实数根1x，212()xxx，

求证：2122xx.【解析】(1)()1(1ln)ln(0)fxxxxxx=+−+=−，令()lngxxx=−，由11()1(0)xgxxxx−=−=，可得()gx在(0,1)上单调递减，(1,)+上单调递增，所以()()(1)10fxgxg==…，所以()fx在(0,)+

上单调递增；(2)依题意，1122lnlnxxmxxm−=−=，相减得2121lnxxxx−=−，令21(1)xttx=，则有1ln1txt=−，2ln1ttxt=−，欲证2122xx成立，只需证222ln(ln)21(1)ttttt−−成立，即证3322(1)(ln)ttt

−成立，即证13232(1)lnttt−成立，令13(1)txx=，只需证13212()3ln0xxx−−成立，令1321()2()3ln(1)Fxxxxx=−−，即证1x时，()0Fx成立1

1323333232(2)3()2(1)xxFxxxx+−=+−=，令1323()2(2)3(1)hxxxx=+−，则11233()2(3)63(22)(1)xxxxxgx=−=−，可得()hx在23(1,2)内递减，在23(2,

)+内递增，所以23()(2)0hxh=…，所以()0Fx…，所以()Fx在(1,)+上单调递增，所以()(1)0FxF=成立，故原不等式成立.19．已知函数()lnfxx=.(1)设函数()()lntgxxtx=−R，且()()gxf

x恒成立，求实数t的取值范围；(2)求证：()12eexfxx−；(3)设函数()()1yfxaxaRx=−−的两个零点1x、2x，求证：2122exx.【解析】(1)由()()gxfx可得lnlntxxx−

，可得2lntxx，令()2lnhxxx=，其中0x，则()()21lnhxx=+，当10ex时，()0hx，此时函数()hx单调递减，当1ex时，()0hx，此时函数()hx单调递增，所以，()min12e

ehxh==−，所以，2et−；(2)要证()12eexfxx−，即证2lneexxxx−，由（1）可知，1lnexx−，当且仅当1ex=时，等号成立，令()2eexxmx=−，其中0x，则()1exxmx−=，当01x时，()0mx

，此时函数()mx单调递增，当1x时，()0mx，此时函数()mx单调递减，所以，()()max11emxm==−，因为1lnexx−和()1emx−取等的条件不同，故2lneexxxx−，即()12eexfxx−；(3)由题知1111lnxaxx−=

①，2221lnxaxx−=②，①+②得()()12121212lnxxxxaxxxx+−=+③，②−①得()22121112lnxxxaxxxxx−+=−④.③④得()()1212212122112lnl

nxxxxxxxxxxxx++−=−，不妨设120xx，记211xtx=.令()()()21ln11tFtttt−=−+，则()()()()222114011tFttttt−=−=++，所以()Ft在()1,+上单调递增，所以()()10FtF=，则()21l

n1ttt−+，即()2121122lnxxxxxx−+，所以()()1212212122112lnln2xxxxxxxxxxxx++−=−.因为()()()()1212121212121212244lnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxx+−−=−12124

2lnxxxx=−，所以121242ln2xxxx−，即12122ln1xxxx−.令()2lnxxx=−，()2120xxx=+，则()x在()0,+上单调递增.又()212ln2ln21122eee−=+−，所

以()121222ln1ln22xxexxe−−，即()()122xxe，所以2122xxe.20．已知函数1()exxfx−=.（1）求()fx的单调区间与极值.（2）设m，n为两个不相等的正数

，且lnlnmnnmmn−=−，证明：4emn.【解析】（1）()fx的定义域为R，()2erxfx−=.当(,2)x−时，()0fx；当(2,)x+时，()0.fx所以()fx的单调递增区间为(,2)−，单调递减区间为(2,)+.故()fx在2x=处取得极大值，且极大

值为21e，无极小值.（2）证明：易知m，0n，lnln(ln1)mnnmmnmn−=−−()lnnlnln1ln1ln1ln1ln1eemnmnmnmnm−−−−=−==即()ln(ln)ffmn=，lnlnmn.不妨设1lnxm

=，2lnxn=，12xx.（1）可知2(2,)x+，()()120fxfx=，1(1,2)x当23x时，124xx+，4emn，当223x时，2142x−，()()()()22224222222441e31414xxxxxxexxfxfxeee−−−−−−−−−−=−=设

4()(1)e(3)exxhxxx−=−−−，(2,3)x，则()()()()()442e2e2eexxxxhxxxx−−=−−−=−−，因为(2,3)x，4xx−，所以()0hx，()hx在区间(2,3)上单调递增，422()(2

1)e(32)e0hx−−−−=，所以()()()()2212440fxfxfxfx−−=−−，()()124xffx−又因为1x，24(1,2)x−，所以124xx−，即124xx+，故4emm.21．已

知函数()()2lnfxexx=−，其中2.71828e=为自然对数的底数.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()12,0,1xx，且()21121212lnln2lnlnxxxxexxxx−=−，证明：

1211221eexx++.【解析】（1）2(1)'()lnexxfx=−+，2eyx=是减函数，1lnyx=+是增函数，所以'()fx在()0,+单调递减，∵()'0fe=，∴()0,xe时，()'()

'0fxfe=，()fx单调递增；(),xe+时，()'()'0fxfe=，()fx单调递减.（2）由题意得，121212lnln2ln2lnxxexexxx−=−，即1212112ln2lnexexxx−=−，112211112ln2lneexxxx

−=−，设111ax=，221ax=，则由()12,0,1xx得，()12,1,aa+，且()()12fafa=.不妨设12aa，则即证12221eaae++，由()20fe=及()fx的单调性知，1212aeae

.令()()()2Fxfxfex=−−，1xe，则24'()'()'(2)2ln(2)(2)eFxfxfexxexxex=+−=−−−−，∵()22xexe−，∴2224'()2ln0eFxee−−=，()()0FxFe=，∴()()2fxfex−，取1xa=，则()()

112fafea−，又()()12fafa=，则()()212fafea−，又12eae−，2ae，且()fx在(),e+单调递减，∴212aea−，122aae+.下证：1221aae++.（i）当21ae+时，由1ae得，1221aae++

；（ii）当212eae+时，令()()(21)Gxfxfex=−+−，12exe+，则22'()'()'(21)1ln1ln(21)21eeGxfxfexxexxex=++−=−−+−−+−+−22

2(21)2ln(21)(21)eexexxex+=−−−++−++，记2(21)txex=−++，12exe+，则2(21)'()2lneeGxtt+=−−，又2(21)txex=−++在)1,2ee+为减函数，∴()22,1tee+，2(21)2eet+−在

()22,1ee+单调递减，lnt在()22,1ee+单调递增，∴2(21)2lneett+−−单调递减，从而，'()Gx在)1,2ee+单调递增，又2(21)'(2)2ln2(212)21ln22(212)eeGeeeeeeeee+=−−+−=−−+−，ln1−xx，∴()'20Ge，

又2(21)'(1)2ln(1)(211)(1)(211)eeGeeeeeee++=−−++−−++−−1ln(1)01eee−=−++，从而，由零点存在定理得，存在唯一0(1,2)xee+，使得()0'0Gx=，当)01,xex+时，()0'()'0

()GxGxGx=单调递减；当()0,2xxe时，()0'()'0()GxGxGx=单调递增.所以，()max(1),(2)GxGeGe+，又(1)(1)(211)(1)()(1)ln(1)Gefefeefefeeee+=+−+−−=+−=−+−，ln11ln

ln(1)xxexexeee++，所以，11(1)(1)0eGeeeee+−+−−=，显然，()()()22212000Gefefee=−+−=−=，所以，()0Gx，即()()210fxfex

−+−，取)21,2xaee=+，则()()2221fafea+−，又()()12fafa=，则()()1221fafea+−，结合()221211eaeee+−+−+=，1ae，以及()fx在()0

,e单调递增，得到1221aea+−，从而1221aae++.22．已知函数()elnxfxxaxa=−−，其中0a．(1)若2ea=，求()fx的极值：(2)令函数()()gxfxaxa=−+，若存在1x，2x使得()()12g

xgx=，证明：1212ee2xxxxa+．【解析】(1)当2ea=时()e2eln2exfxxx=−−，()0,x+，所以()()()1e2e2e1exxxxfxxxx+−=+−=，当()0,1x时，202xx+，1eex，所以()0fx，当()1,x+时，22xx

+，eex，所以()0fx，所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()fx的极小值为()1ef=−，无极大值.(2)证明：()()()elnelnexxxgxaxaxxfxaxxaxa==−=+−−−，令extx

=，则上述函数变形为()lnhattt=−，对于()extxx=，()0,x+，则()()1e0xtxx=+，即()extxx=在()0,+上单调递增，所以若存在1x，2x使得()()12gxgx=，则存在对应的111ex

tx=、222extx=()12tt，使得()()12htht=，对于()lnhattt=−，则()1=−ahtt，因为0a，所以当0ta时()0ht，当ta时()0ht，即()ht在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增，

所以ta=为函数()ht的唯一极小值点，所以120tat，则12ata−，令()()()2Fththat=−−，则()()()()()22211022taaaFththattattat−−=+−=−+−=−−，所以()Ft在()0,

a上单调递减，所以()()10FtFa=，即()()1120hthat−−，又()()12htht=，所以()()212hthat−，又()ht的单调性可知212tat−，即有212tta+

成立，所以1212ee2xxxxa+.23．已知函数()(2)exfxxa=−.(1)求()fx的单调区间(2)若()fx的极值点为12−，且()()()fmfnmn=，证明：3()0efmn−+.【解析】(1)()fx的定义域为R，()(22)exf

xxa+−=，由()0fx=，得22ax−=.当2,2ax−−时，()0fx；当2,2ax−+时，()0fx.所以()fx的单调递减区间为2,2a−−，单调递增区间为2,2a−

+.(2)证明：由（1）可知，由()fx的极值点为12−，得2122a−=−，所以1a=，()(21)exfxx=−.当1,2x−−时，()0fx；当1,2x−+时，()0fx，则函数()fx的大致图象，如图所示；不妨设mn，若

()()()fmfnmn=，由图象知：1122mn−，又3(1)ef−=−，所以要证3()0efmn−+，即证1mn+−，当32m−时，1mn+−，3(1)()0effmn−=−+.当3122m−−时

，111,22m−−−，1()(1)(21)e(23)emmfmfmmm−−−−−=−−−−，=211(21)e23emmmm++−++，31,22m−−.设21()(21)e23xhxxx+=−++，31,22x

−−，则21()4e2xhxx+=+，31,22x−−，令()21()4e2xgxhxx+==+，则21()(48)e0xgxx+=+，所以()hx在31,22−−上单调递减，所以1()02hxh−=，()hx在31,22

−−上单调递增，则1()02hxh−=，所以()(1)()(1)0fmfmfnfm−−−=−−−，即()(1)fnfm−−，又因为n，111,22m−−−，且()fx在11,22−上单调递增，所以1nm−−，即1mn+

−，则3()0efmn−+.综上，3()0efmn−+.24．已知函数()()lnhxxaxa=−R.(1)若()hx有两个零点，a的取值范围；(2)若方程()eln0xxaxx−+=有两个实根1x、2x，且

12xx，证明：12212eexxxx+.【解析】(1)函数()hx的定义域为()0,+.当0a=时，函数()hxx=无零点，不合乎题意，所以，0a，由()ln0hxxax=−=可得1lnxax=，构造函数()lnxfxx=，其中0

x，所以，直线1ya=与函数()fx的图象有两个交点，()21lnxfxx−=，由()0fx=可得ex=，列表如下：x()0,ee()e,+()fx+0−()fx增极大值1e减所以，函数()fx的极大值为()1eef

=，如下图所示：且当1x时，()ln0xfxx=，由图可知，当110ea时，即当ea时，直线1ya=与函数()fx的图象有两个交点，故实数a的取值范围是()e,+.(2)证明：因为()eln0xxaxx−+=，则()elne0xxxax−=，令e0xtx

=，其中0x，则有ln0tat−=，()1e0xtx=+，所以，函数extx=在()0,+上单调递增，因为方程()eln0xxaxx−+=有两个实根1x、2x，令111extx=，222extx=，则关于t的方程ln0tat−=也有两个实根1t、2t，且12

tt，要证12212eexxxx+，即证1221eeexxxx，即证212ett，即证12lnln2tt+，由已知1122lnlntattat==，所以，()()12121212lnlnlnlnttattttatt−=−+=+，

整理可得12121212lnlnlnlntttttttt++=−−，不妨设120tt，即证12112122lnlnln2tttttttt++=−，即证()1122112122212ln1tttttttttt−−=++，令

121tst=，即证()21ln1sss−+，其中1s，构造函数()()21ln1sgsss−=−+，其中1s，()()()()222114011sgsssss−=−=++，所以，函数()gs在()1,+上单调递增，当1s时，()()10gsg=，

故原不等式成立.25．已知函数()sintanlnfxxxxaxb=−−++，0,2x.(1)求证：2sintanxxx+，0,2x；(2)若存在1x、20,2x，且当12xx时，使得()()12fxfx=成立，求证：1221xxa.【

解析】(1)证明：构造函数()2sintangxxxx=−−，其中0,2x，则()3222sin1cos2cos12cos2coscoscoscosxxxgxxxxxx−+=−−=−−=−()()22co

s1coscos1cosxxxx−−−=−，因为02x，则0cos1x，()2coscos1coscos110xxxx−−=−−，即当02x时，()0gx，所以，函数()gx在0

,2上单调递减，故当02x时，()()2sintan00gxxxxg=−−=，即2sintanxxx+.(2)证明：先证明对数平均不等式121212lnlnxxxxxx−−，其中210xx，即证11212221

12lnxxxxxxxxxx−=−，令()120,1xtx=，即证12lnttt−，令()12lnhtttt=−−，其中01t，则()222212110tthtttt−+=−−=−，所以，函数()ht在()0,1上为减函数，当01t时，()()10hth=，所

以，当210xx时，121212lnlnxxxxxx−−，本题中，若0a，则()221sin1coscos0coscosaaxfxxxxxxx=−−+=−−，此时函数()fx在0,2上单调递减，不合乎题意，所以，0a，由（1）可知，

函数()gx在0,2上单调递减，不妨设1202xx，则12lnlnxx，则()()12gxgx，即1112222sintan2sintanxxxxxx−−−−，所以，()121212sinsin

tantan2xxxxxx−+−−，因为()()12fxfx=，则11112222sintanlnsintanlnxxxaxbxxxaxb−−++=−−++，所以，()()12121212lnlnsinsintantanaxxxxxxxx−=−+−−−，所以，()1212121212lnl

nsinsintantan1211axxxxxxxxxx−−+−=−−=−−，所以，1212lnln1xxxxa−−，所以，12120lnlnxxaxx−−，由对数平均不等式可得121212lnlnxxxxaxx−−，可得2

12xxa，所以，1221xxa.26．已知函数()2sinlnfxxxmx=−+，()()singxfxx=+．(1)求函数()gx的单调区间和极值；(2)若存在()12,0,xx+，且当12xx时，()()12fxfx=，证明

：1221xxm．【解析】(1)()2lngxxmx=+，()22mxmgxxx+=+=且()gx定义域为()0,+；当0m时，()0gx，()gx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间和极值；

当0m时，令()0gx=，解得：xm=−，当0,2mx−时，()0gx；当,2mx−+时，()0gx；()gx的单调递减区间为0,2m−；单调递增区间为,2m−+

；()gx的极小值为ln22mmgmm−=−+−，无极大值；综上所述：当0m时，()gx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间和极值；当0m时，()gx的单调递减区间为0,2m−

；单调递增区间为,2m−+；极小值为ln22mmgmm−=−+−，无极大值.(2)不妨设120xx，由()()12fxfx=得：1112222sinln2sinlnx

xmxxxmx−+=−+；设()()sin0hxxxx=−，则()1cos0hxx=−，()hx在()0,+上单调递增，()()212211sinsin0hxhxxxxx−=−−+，即2121sinsinxxxx−−，()()()211221122112lnln22sinsin

22mxmxxxxxxxxxxx−=−+−−+−=−，1221lnlnxxmxx−−；设()()1ln1xpxxxx−=−，则()()21112122022xxxxxpxxxxxx−−−−−

===−，()px在()1,+上单调递减，()()10pxp=，211xx，2211211ln0xxxxxx−−，2212111212lnxxxxxxxxxx−−=，2121122211lnlnlnxxxxxxxxxx−−=−，1212210lnlnxxmxxxx−

−−，即212xxm，1221xxm.