【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练34　基本立体图形、直观图、表面积和体积 Word版含解析.docx，共(7)页，175.926 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练34基本立体图形、直观图、表面积和体积一、基础巩固1.下列说法正确的是()A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形C.{直棱柱}⊆{正棱柱}D.{正四面体}⊆{正三棱锥}2.已知

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,顶点在底面的投影为底面的中心,若该四棱锥的体积为4√33,则它的表面积为()A.8B.12C.4+8√3D.203.(2021北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(

单位:mm).24h降雨量的等级划分如下:等级24h降雨量(精确到0.1)小雨≤9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的

24h的雨水高度是150mm(如图所示),则这24h降雨量的等级是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨4.在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB=6,AA1=4,则V的最大值是()A.16πB.

32π3C.12πD.4√3π5.(2022新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位

间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(√7≈2.65)()A.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m36.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=√6,∠ABC=90

°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π7.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=√2,则该棱台的体积为.二、综合应用8.(多选)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上

、下底面均为正方形,其中AB=2√2,A1B1=√2,AA1=BB1=CC1=2,则下列说法正确的是()A.该四棱台的高为√3B.AA1⊥CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16π9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=√3,∠ASC=∠BSC=3

0°,则棱锥S-ABC的体积为()A.3√3B.2√3C.√3D.110.如图,一把斧子,它的斧头由铁质锻造,斧头的形状可以近似看成由上下两个多面体组合而成,上部是一个长方体,下部是一个“楔(xie)形”,其尺寸如图标注(

单位:cm).已知铁的比重为7.87g/cm3,斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心,则这只斧头的质量(单位:g)所在的区间为()A.(800,1200)B.[1200,1600)C.[1600,2000)D.[

2000,2400)11.已知四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,O'A'=3B'C',O'A'⊥E'C',SOABC=8,C'D'∥y'轴,C'E'=√22,D'为O'A'的三等分点,且靠近点O',则四边形OABC绕

y轴旋转一周所成的空间几何体的体积为()A.1523πB.48πC.383πD.12π12.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB

分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.三、

探究创新13.(2022全国Ⅱ,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包

装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).14.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体,已知该正方体的棱长为2,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围为.考点规范练34基本立体图形、直观图、表面积和体积1.D选项A中两个底面全等,但不一定是正多边形;选项B中一般的棱柱

不能保证侧棱与底面垂直,即截面是平行四边形,但不一定是矩形;选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱},故A,B,C都错;选项D中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.2.B如图,设底面中心为O,则VP-ABCD=13×2×2×PO=4√33,得PO=√3.又底面是

边长为2的正方形,可得该四棱锥的斜高为√12+(√3)2=2.故该四棱锥的表面积为2×2+4×12×2×2=12.3.B由题意知,一个半径为2002=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300=50(mm),高为150mm的圆锥,所以积水深度d=13π×502×15

0π×1002=12.5(mm),属于中雨.4.D正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径为r=√3<2,所以在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内的球的半径最大值为√3,所以其体积为V=43πr3=4√3π

,故选D.5.C由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故该棱台的体积V棱台=13

h(S1+S2+√𝑆1·𝑆2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+√1.4×108×1.8×108)≈1.4×109(m3),即增加的水量约为1.4×109m3.故选C.6.D由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点.当DQ与面ABC垂直时,四面体

ABCD的体积最大,最大值为13S△ABC·DQ=3,解得DQ=3.如图,设球心为O,半径为R,则球心O在DQ上,且在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(√3)2+(3-R)2,解得R=2,则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D.7.7√66如图所示,正四棱台中四边形AA

1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,∵AC=2√2,A1C1=√2,∴AG=𝐴𝐶-𝐴1𝐶12=√22.在Rt△A1AG中,A1G=√𝐴1𝐴2-𝐴𝐺2=√(√2)2-(√22)2=√62.则棱

台体积V=13(𝑆四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1+√𝑆四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1·𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷+S四边形ABCD)·A1G=13×(1+2+4)×√62=7√66.8.AD如图,将该四棱台补成四棱锥S-ABCD,连接AC,BD交于点O,连

接A1C1,B1D1交于点O1,连接SO,则SO过点O1,且SO⊥平面ABCD,所以OO1为该四棱台的高.因为AB=2√2,A1B1=√2,可知△SA1B1与△SAB相似比为1∶2;所以SA=2AA1=4

,又由已知得AO=2,所以SO=2√3,所以OO1=√3,即该四棱台的高为√3,A正确;因为SA=SC=AC=4,所以AA1与CC1的夹角为60°,不垂直,B错误;该四棱台的表面积为S=S上底+S下底+S侧=8

+2+4×(√2+2√2)2×√142=10+6√7,C错误;因为上下底面都是正方形,所以外接球的球心在OO1上.连接OB1,在Rt△O1OB1中,由OO1=√3,B1O1=1,得OB1=2=OB,即点O到点B与点B1的距离相等,则该四棱台外接球的半径r=OB=2,故该四棱台

外接球的表面积为16π,D正确.9.C如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.因为SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.因为AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-A

BD=13S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2√3.所以AD=𝑆𝐴·𝐶𝐴𝑆𝐶=√3.同理BD=√3.又AB=√3,所以△ABD为正三角形.所以VS-ABC=13S△

ABD·SC=13×12×(√3)2·sin60°×4=√3,所以选C.10.A观察图形可知,几何体由一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成.长方体的体积为3×5×5=75(cm3),三棱柱的体积为12×3×5×5=752(cm3),两个三棱锥的体积为2×13×12×3×5×52=25

2(cm3),所以几何体的体积为75+752+252=125(cm3),所以这只斧头的质量为7.87×125=983.75(g).11.B因为C'E'=√22,C'D'∥y'轴,O'A'⊥E'C',所以C'D'=1.由直观图知原图形为梯形,在梯形OABC中,CD是梯形的高

,CD=2C'D'=2,OA=O'A',BC=B'C',所以OA=3BC.由SOABC=12×(OA+BC)×CD=12×4BC×2=8,得BC=2,OA=6.又因为D'为O'A'的三等分点,所以D为OA的三等分点,所以梯形OABC为等腰梯形.四边形OABC绕y轴旋转一周所成的空间几

何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积,即V=13π×CD×(42+4×6+62)-13π×CD×22=152π3−8π3=48π.故选B.12.4√15如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=√

36BC.设OG=x,则BC=2√3x,DG=5-x,三棱锥的高h=√𝐷𝐺2-𝑂𝐺2=√25-10𝑥+𝑥2-𝑥2=√25-10𝑥.因为S△ABC=12×2√3x×3x=3√3x2,所以三棱锥的体积V=13S△ABC·h=√3x2·√25-10𝑥=√3·√25

𝑥4-10𝑥5.令f(x)=25x4-10x5,x∈(0,52),则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,52)上单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V

≤√3×√80=4√15,所以三棱锥体积的最大值为4√15.13.(1)证明如图,取AB的中点M,BC的中点N,连接MN,ME,NF.因为△ABE是正三角形,所以ME⊥AB.又平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,ME⊂平面ABE,所以ME⊥平面ABCD.

同理,FN⊥平面ABCD.所以ME∥FN.又ME=FN=√32×8=4√3,所以四边形EMNF是平行四边形,从而EF∥MN.又EF⊄平面ABCD,MN⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(2)解由题意可将该几何体补成长方体ABCD-A1B1C1D1

,其中AA1=4√3,如图所示.则该几何体的体积V=𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1-4𝑉𝐴-𝐴1𝐸𝐻=8×8×4√3-4×13×12×4×4×4√3=640√33.故该包装盒的容积为640√33cm3.14.(43,203)如图

,任意转动该正方体,要使液面的形状都不可能是三角形,则液体的体积应大于三棱锥A1-ABD的体积,小于多面体BCDA1B1C1D1的体积.∵𝑉𝐴1-𝐴𝐵𝐷=13×12×2×2×2=43,∴𝑉𝐵𝐶𝐷𝐴1

𝐵1𝐶1𝐷1=8-43=203.∴液体体积的取值范围为(43,203).