【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，685.403 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.9点、线间的对称关系-重难点题型精讲1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题

.【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（）A．(0,4)B．(0,2)C．(−2,4)D．(4,−2)【变式1-1】（2022·江苏·高二专题练习）点

𝐴(1,2)关于点𝑃(3,4)对称的点的坐标为．【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式1-3】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点𝐴(𝑥,5)关于点(1,𝑦)的对称点为(−2,−3)，则点𝑃(𝑥,�

�)到原点的距离是.【题型2直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线𝑙:4𝑥+3𝑦−2=0关于点𝐴(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0【变式2-1】（2020·山东·

高考真题）直线2𝑥+3𝑦−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3𝑥−2𝑦−10=0B．3𝑥−2𝑦−23=0C．2𝑥+3𝑦−4=0D．2𝑥+3𝑦−2=0【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线𝑎

𝑥+3𝑦−9=0与直线𝑥−3𝑦+𝑏=0关于原点对称，则𝑎,𝑏的值是A．𝑎=−1，𝑏=−9B．𝑎=−1，𝑏=9C．𝑎=1，𝑏=−9D．𝑎=1，𝑏=9【变式2-3】（2022

·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0【题型3点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】（20

22·全国·高二课时练习）点𝑃(2,0)关于直线𝑙:𝑥+𝑦+1=0的对称点𝑄的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知

点𝐴(−2,1)关于直线𝑥+𝑦=0的对称点为点𝐵，则点𝐵的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋

1＝0C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2B．3C．5D

．7【题型4直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线𝑦=2𝑥+1关于直线𝑦=𝑥对称的直线方程为（）A．𝑥−3𝑦+1=0B．𝑥−3𝑦−1=0C．𝑥−2𝑦−1=0D．𝑥−2𝑦+1=0【变式4-1】（2022·江苏·高二专题练习）两

直线𝑙1:2𝑥−𝑦+1=0,𝑙2:𝑦=𝑥，则直线𝑙1关于直线𝑙2对称的直线方程为（）A．2𝑥−𝑦+1=0B．𝑥−3𝑦+1=0C．2𝑥−3𝑦+2=0D．𝑥−2𝑦−1=0【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）求直

线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线𝑙1：𝑥−2𝑦+𝑚=0(𝑚>0)与𝑙2：2

𝑥+𝑛𝑦−6=0之间的距离是2√5，则直线𝑙1关于直线𝑙2对称的直线方程为（）A．𝑥−2𝑦−13=0B．𝑥−2𝑦+2=0C．𝑥−2𝑦+4=0D．𝑥−2𝑦−6=0【题型5光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点

P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点𝐴(1,0)射入

，经直线𝑦=−𝑥+3反射到直线𝑦=𝑥+3上的点𝐵，再经直线𝑦=𝑥+3反射后经过点𝐶(−1,0)，则点𝐵的坐标为（）A．(−2,1)B．(0,3)C．(−1,2)D．(−1,1)【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一

条光线从点𝐴(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇𝑥轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．√3𝑥−𝑦+4−2√3=0B．𝑥−√3𝑦−2−4√3=0C．√3𝑥+𝑦+4−2√3=0D．𝑥+√3𝑦−2−4√3=0【变

式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线𝑦=𝑥反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（）A．2√5B．√26C．4D．5【变式5-3】（2022·山东淄博·高二期末）已知：𝐴(0,4)，𝐵(0,−4)，𝐶(

4,0)，𝐸(0,2)，𝐹(0,−2)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（）A．(−∞,−14)B．(−14,0)C．(−∞,−18)D．(−18,0)【题型6

将军饮马问题】【方法点拨】将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为𝐵(−1,−4)，若将军从点𝐴(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+𝑦=3.则“将军饮马“的最短

总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先

到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为𝐵(−4,−4)，若将军从点𝐴(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+𝑦=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．1

0【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中

，设军营所在区域为(𝑥+1)2+(𝑦−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+2𝑦−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，

将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12𝑥+5𝑦−12=0B．21𝑥+2𝑦−21=0C．4𝑥+𝑦−4=0D．11𝑥+2𝑦−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍

交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为𝐵(−2,0)，若将军从山脚下的点𝐴(13,0)处

出发，河岸线所在直线方程为𝑥+2𝑦=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√1453B．5C．√1353D．163