【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，685.403 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.9点、线间的对称关系-重难点题型精讲1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题

的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（）A．(0,4)B．(0,2)C．(−2,4)D．(4,−2)【变式1-1】（2022·江苏·高二专题练习）点𝐴(1,2)关于点𝑃(3

,4)对称的点的坐标为．【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式1-3】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点𝐴(𝑥,5)关于点(1,𝑦)的对称点为(−2,−3)，则点𝑃(𝑥,𝑦)到原

点的距离是.【题型2直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线𝑙:4𝑥+3𝑦−2=0关于点𝐴(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0【变式2-1】（2020·山东·

高考真题）直线2𝑥+3𝑦−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3𝑥−2𝑦−10=0B．3𝑥−2𝑦−23=0C．2𝑥+3𝑦−4=0D．2𝑥+3𝑦−2=0【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线𝑎𝑥+3𝑦−9=0与直线𝑥−3𝑦+𝑏=0关于原

点对称，则𝑎,𝑏的值是A．𝑎=−1，𝑏=−9B．𝑎=−1，𝑏=9C．𝑎=1，𝑏=−9D．𝑎=1，𝑏=9【变式2-3】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A．2

x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0【题型3点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】（2022·全国·高二课时练习）点𝑃(2,0)关于直线𝑙:𝑥+𝑦+1=0的对称

点𝑄的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝐴(−2,1)关于直线𝑥+𝑦=0的对称点为点𝐵，则点𝐵的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】（20

22·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），

关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2B．3C．5D．7【题型4直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线𝑦=2𝑥+1关于直线𝑦=𝑥对称的直线方程为（）A．𝑥−3𝑦+1=0B．𝑥−3𝑦−1=0C．�

�−2𝑦−1=0D．𝑥−2𝑦+1=0【变式4-1】（2022·江苏·高二专题练习）两直线𝑙1:2𝑥−𝑦+1=0,𝑙2:𝑦=𝑥，则直线𝑙1关于直线𝑙2对称的直线方程为（）A．2𝑥−𝑦+1=0B．𝑥−3�

�+1=0C．2𝑥−3𝑦+2=0D．𝑥−2𝑦−1=0【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2

＝0D．x＋2y＋2＝0【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线𝑙1：𝑥−2𝑦+𝑚=0(𝑚>0)与𝑙2：2𝑥+𝑛𝑦−6=0之间的距离是2√5，则直线𝑙1关于直线𝑙2对称的直线方程为（）A．𝑥−2𝑦−13=0B．𝑥−2𝑦+2=0C．𝑥−2𝑦

+4=0D．𝑥−2𝑦−6=0【题型5光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射

光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点𝐴(1,0)射入，经直线𝑦=−𝑥+3反射到直线𝑦=𝑥+3上的点𝐵，再经直线𝑦=𝑥+3反射后经过点𝐶(−1

,0)，则点𝐵的坐标为（）A．(−2,1)B．(0,3)C．(−1,2)D．(−1,1)【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点𝐴(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇𝑥轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．√3𝑥−𝑦+4−2√3=0B．𝑥−√3

𝑦−2−4√3=0C．√3𝑥+𝑦+4−2√3=0D．𝑥+√3𝑦−2−4√3=0【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线𝑦=𝑥反射后到达点B（3

，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（）A．2√5B．√26C．4D．5【变式5-3】（2022·山东淄博·高二期末）已知：𝐴(0,4)，𝐵(0,−4)，𝐶(4,0)，𝐸(0,2)，𝐹(0,−2)，一束光线从F点

出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（）A．(−∞,−14)B．(−14,0)C．(−∞,−18)D．(−18,0)【题型6将军饮马问题】【方法点拨】将军饮马问

题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中

隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为𝐵(−1,−4)，若将军从点𝐴(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+𝑦=3.则

“将军饮马“的最短总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后

再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为𝐵(−4,−4)，若将军从点𝐴(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+𝑦=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．10【变

式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(𝑥+1)2+(𝑦−1)2≤1，若将

军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+2𝑦−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12𝑥+5𝑦−12=0B．21𝑥+2𝑦−21=0C．4𝑥+𝑦−4=0D．11𝑥

+2𝑦−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平

面直角坐标系中，已知军营所在的位置为𝐵(−2,0)，若将军从山脚下的点𝐴(13,0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+2𝑦=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√1453B．5C．√1353D．163