【文档说明】【精准解析】2021高中数学人教B版选择性必修第三册：模块综合测评.docx，共(12)页，100.462 KB，由envi的店铺上传

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模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020江苏扬州中学高二月考)函数f(x)=x(ex-1)+lnx的图像在点(1,f(1))处的切线方

程是()A.y=2ex-e-1B.y=2ex-e+1C.y=2ex+e-1D.y=2ex+e+1解析由函数f(x)=x(ex-1)+lnx,知f(1)=e-1,f'(x)=ex-1+xex+1𝑥,所以k=f

'(1)=2e,在点(1,f(1))处的切线方程是y-(e-1)=2e(x-1),化简得y=2ex-e-1.答案A2.(2020武邑宏达学校高一月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若𝑎6𝑎5=911,则𝑆11𝑆9=

()A.1B.-1C.2D.12解析在等差数列{an}中,由𝑎6𝑎5=911,得𝑆11𝑆9=11(𝑎1+𝑎11)29(𝑎1+𝑎9)2=11𝑎69𝑎5=119×911=1,故选A.答案A3.(2020济南高三模拟)《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织

,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n天所

织布的尺数为an,则a14+a17的值为()A.56B.52C.28D.26解析等差数列的首项a1=5,设公差为d,故S30=30a1+30×292d=390,解得d=1629,故a14+a17=2a1+29d=26.故选D.答案D4.(202

0元氏第一中学高一期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S7=28,则数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前2020项和为()A.20202021B.20182020C.20182019D.20192020

解析由题意,设等差数列{an}的公差为d,则{𝑎1+𝑑=2,7𝑎1+7×62𝑑=28,解得{𝑎1=1,𝑑=1.∴数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)×1=n,n∈N+.∴1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1).设数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+

1}的前n项和为Tn,则Tn=1𝑎1𝑎2+1𝑎2𝑎3+…+1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=11×2+12×3+…+1𝑛(𝑛+1)=1-12+12−13+…+1𝑛−1𝑛+1=1-1𝑛+1=𝑛𝑛+1.∴T2020=20202021.故选A.答案A5.(2020四川北大附中

成都为明学校高二月考)已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(2,18)B.[2,18]C.(-∞,2]∪[18,+∞)D.[2,18)解析∵f'(x)=2x-𝑎𝑥,f(x)=x

2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,故2x-𝑎𝑥=0在(1,3)存在变号零点,即a=2x2在(1,3)内存在零点,∴2<a<18.答案A6.(2020江西石城中学高二月考)已知函数f(x)=x+sinx,x∈R,若a=f(log123),b=f(log13

2),c=f(2-2),则a,b,c的大小为()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c解析f'(x)=1+cosx≥0,所以f(x)是R上的增函数.∵log123=-log23<-log22=-1,0>log132=-log3

2>-log33=-1,2-2>0,所以c=f(2-2)>b=f(log132)>a=f(log123),故选C.答案C7.数列{an}满足a1=1,a1+2a2+…+2n-1an=2n+1an+1(n∈N+),若a1+a2+…+an<m恒成立,则m的最小值为()A.4B.2C.5

3D.43解析由a1+2a2+…+2n-1an=2n+1an+1(n∈N+),可得当n≥2时,由a1+2a2+…+2n-2an-1=2nan,两式相减可得:𝑎𝑛+1𝑎𝑛=34,n≥2.又a1=1,得a2=14,所以数列

{an}的通项公式为an={1,𝑛=1,14×(34)𝑛-2,𝑛≥2,所以当n≥2时,a1+a2+a3+…+an=1+14[1-(34)𝑛-1]1-34=2-34n-1<2,且n=1时,a1=1<2.所以实

数m的取值范围是[2,+∞),即m的最小值为2.答案B8.(2019四川成都高二期末)已知函数f(x)=ln𝑥𝑥-x2+2ex-a(其中e为自然对数的底数)至少存在一个零点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,e2+

1e)B.(-∞,e2+1e]C.[e2-1e,+∞)D.(e2-1e,+∞)解析令f(x)=ln𝑥𝑥-x2+2ex-a=0,即ln𝑥𝑥=x2-2ex+a.令g(x)=ln𝑥𝑥,h(x)=x2-2ex+a,则原问题等价于函数g(x)=ln𝑥𝑥与函数h(x)=x2-2ex

+a的图像至少有一个交点.易知,函数h(x)=x2-2ex+a表示开口向上,对称轴为x=e的二次函数,g'(x)=1𝑥·𝑥-ln𝑥𝑥2=1-ln𝑥𝑥2.由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e.∴函数g(x)在(0,e)上单调递

增,在(e,+∞)上单调递减,g(x)max=g(e)=1e.作出函数g(x)与函数h(x)的草图,如图所示.由图可知,要使得函数g(x)与函数h(x)的图像至少有一个交点,只需h(x)min≤g(x)max,即e2-2e2

+a≤1e,解得a≤e2+1e.答案B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020南京江宁高级中学高二期中)已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示,则下列判断正确的是(

)A.函数y=f(x)在区间(-3,-12)内单调递增B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值解析对于A,函数y=f(x)在区间

(-3,-12)内有增有减,故A不正确;对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;对于C,当x∈(-2,2)时,恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故C正确;对于D,当x=3时,f'(x)≠0,故D不正确

.答案BC10.(2020山东高三一模)已知数列{an}的前n项和为S,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,数列{2𝑛𝑎𝑛·𝑎𝑛+1}的前n项和为Tn,n∈N+,则下列选项正确的为()A.数列{an+1}是等差数列B.数列{an+1}是等

比数列C.数列{an}的通项公式为an=2n-1D.Tn<1解析由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化为an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1

.又2𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛(2𝑛-1)(2𝑛+1-1)=12𝑛-1−12𝑛+1-1,可得Tn=1-122-1+122-1−123-1+…+12𝑛-1−12𝑛+1-1=1-12𝑛+1-1<1,故A错误,B,C,D正确.答案BCD11.(2019辽宁省辽宁实验中学

高二期中)已知数列{an}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=an𝑞𝑎𝑛(q≠0,1),则{bn}的前n项和可以是()A.nB.nqC.𝑞+𝑛𝑞𝑛+1-𝑛�

�𝑛-𝑞𝑛(1-𝑞)2D.𝑞+𝑛𝑞𝑛+2-𝑛𝑞𝑛+1-𝑞𝑛+1(1-𝑞)2解析设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,∴𝑎42=a2·a8,即(a1+3d)

2=(a1+d)(a1+7d),化简得d(d-1)=0,所以d=0或1,故an=1或an=n,所以bn=q或bn=n·qn.设{bn}的前n项和为Sn,①当bn=q时,Sn=nq;②当bn=n·qn时,Sn=1×q+2×

q2+3×q3+…+n×qn,qSn=1×q2+2×q3+3×q4+…+n×qn+1,两式相减,得(1-q)Sn=q+q2+q3+…+qn-n×qn+1=𝑞(1-𝑞𝑛)1-𝑞-n×qn+1,所以Sn=𝑞(1-𝑞𝑛)(1-𝑞)2−𝑛×𝑞𝑛+11-�

�=𝑞+𝑛𝑞𝑛+2-𝑛𝑞𝑛+1-𝑞𝑛+1(1-𝑞)2.故选BD.答案BD12.(2020苏州市相城区陆慕高级中学高二月考)已知函数f(x)=ex+alnx,其中正确结论的是()A.当a=0时,函

数f(x)有最大值B.对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值C.对于任意的a>0,函数f(x)是(0,+∞)上的增函数D.对于任意的a>0,都有函数f(x)>0解析对于A,当a=0时,函数f(x)=e

x,根据指数函数单调性可知,此时f(x)是单调增函数,故无最大值,故A错误.对于B,对于任意的a<0,∵f(x)=ex+alnx,∴f'(x)=ex+𝑎𝑥,易知f'(x)是在(0,+∞)上的单调增函数.当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→0时,

f(x)→-∞,∴存在f'(x0)=0,∴当0<x<x0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x0<x<+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴f(x)min=f(x0),故B正确.对于C,对于任意的a>0,∵函数f(x)=ex+alnx,∴f'(x)=e

x+𝑎𝑥,又a>0,x>0.可得:f'(x)>0,故函数f(x)是(0,+∞)上的增函数.故C正确.对于D,对于任意的a>0,∵函数f(x)=ex+alnx是(0,+∞)上的增函数,当x→0时,ex→1,lnx→-∞,可得f(x)→-∞,故D错误.故选BC.

答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020河南郑州高二期中)已知b为正实数,直线y=x+a与曲线y=ex+b相切,则𝑎2𝑏的取值范围是.解析因为y=ex+b,则y'=ex+b.由ex+b=1,得x=-

b.当x=-b时,y=1,故切点为(-b,1),将切点代入直线得到1=-b+a,𝑎2𝑏=(1+𝑏)2𝑏=b+1𝑏+2≥2√𝑏·1𝑏+2=4,当b=1时等号成立.答案[4,+∞)14.(2020绍兴高级中学高一月考)已知等差数列

{an}的前n项和为Sn,且a3=5,a10=-9,则使Sn取得最大值时的n=.解析∵数列{an}为等差数列,a3=5,a10=-9,∴数列{an}的公差d=𝑎10-𝑎37=-2,∴a1=a3-2d=9,∴Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=-n2+10n

=-(n-5)2+25,∴当n=5时,Sn取最大值.答案515.(2020宜宾叙州区高二期中)已知等比数列{an},a2,a6是函数f(x)=x3+9x2+12x+3的两个极值点,则a4=.解析因为f'(x)=3x2+18x+12,又a2,a6是函

数f(x)的两个极值点,则a2,a6是方程3x2+18x+12=0的根,所以a2a6=4=𝑎42,所以解得a4=-2或2.答案-2或216.(2020黄冈中学第五师分校高二期中)已知函数y=f(x)在R上的图像是连续不断的一条曲

线,并且关于原点对称,其导函数为f'(x),当x>0时,有不等式x2f'(x)>-2xf(x)成立.若对任意x∈R,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)>0恒成立,则正整数a的最大值为.解析因为当x>0时,有不等式x2f'(x)>-2xf(x)成立,所以x2f'(x)+2xf(x)>0,∴

[x2f(x)]'>0.令g(x)=x2f(x),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,由题意得g(-x)=x2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,所以函数在R上单调递增.因为对任意x∈R,不等式e2xf(ex)-a2

x2f(ax)>0恒成立,所以e2xf(ex)>a2x2f(ax),∴g(ex)>g(ax),∴ex>ax,因为a>0,所以当x≤0时,显然成立.当x>0时,a<e𝑥𝑥,令h(x)=e𝑥𝑥(x>0),所以h'(x)=(𝑥-

1)e𝑥𝑥2,所以函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以h(x)min=h(1)=e,所以a<e,所以正整数a的最大值为2.答案2四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.17.(本小题满分10分)(2019全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.解(1)设{an}的公差为d.由S9=-a

5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=𝑛(𝑛-9)𝑑2.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n

2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.18.(本小题满分12分)(2020天津南开中学滨海生态城学校高二期中)已知函数f(x)=x3+32ax2-x+1(a∈R).(1)当a=

2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)当a<0时,设g(x)=f(x)+x.①求函数g(x)的极值;②若函数g(x)在[1,2]上的最小值是-9,求实数a的值.解(1)当a=2时,f(x)=x3+3x2-x+1,f

'(x)=3x2+6x-1,∴k=f'(1)=8,f(1)=4,故切线方程为y-4=8(x-1),即8x-y-4=0.(2)①g(x)=f(x)+x=x3+32ax2+1,a<0,∴令g'(x)=3x2+3ax=3x(x+a)=0,得x1=0,x2=

-a>x1.随着x的变化,g(x)和g'(x)的变化如下:x(-∞,0)0(0,-a)-a(-a,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗所以g(x)的极大值是g(0)=1;极小值为g(-a)=𝑎3+22.②g'(x)=3x2+3

ax=3x(x+a),(ⅰ)当-1≤a<0时,g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,g(x)在[1,2]上单调递增,g(x)min=g(1)=32a+2=-9,a=-223<-1(舍去).(ⅱ)当-2<a<-1时,则x

,g'(x),g(x)的变化如下:x(1,-a)-a(-a,2)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗g(x)min=g(-a)=12a3+1=-9,a=-√203<-2(舍).(ⅲ)当a≤-2时,g(x)在[1

,2]内单调递减,g(x)min=g(2)=6a+9=-9,a=-3.综上可知,a=-3.19.(本小题满分12分)(2020宜宾叙州区第二中学校高一月考)设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n,都有Sn=2an-3n.(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}

是等比数列,并求出{an}的通项公式.(2)求数列{nan}的前n项和.解(1)由题意,数列{an}满足Sn=2an-3n,当n=1时,则a1=2a1-3,解得a1=3.当n≥2时,则an=Sn-Sn-1=2an-3n-[2an-1-3

(n-1)],整理得an=2an-1+3,所以an+3=2(an-1+3),即bn=2bn-1,即𝑏𝑛𝑏𝑛-1=2.又由b1=a1+3=6,所以数列{bn}是首项为6,公比为2的等比数列,所以bn=6×2n-1,即an+3=6×2n-1,

解得an=6×2n-1-3=3×2n-3,即数列{an}的通项公式为an=3×2n-3.(2)由(1),可得nan=n(3×2n-3)=3n×2n-3n,设An=2+2×22+3×23+…+n·2n,2An=22+2×23+3×24+…+(n-1

)·2n+n·2n+1,所以-An=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2(1-2𝑛)1-2-n·2n+1=(n-1)·2n+1+2,又由Bn=3+6+9+…+3n=𝑛(3+3𝑛)2=3𝑛(𝑛+

1)2,所以数列{nan}的前n项和为:Tn=3An-Bn=(3n-3)·2n+1+6-3𝑛(𝑛+1)2=(3n-3)·2n+1-3𝑛(𝑛+1)2+6.20.(本小题满分12分)(2020山东济南高三三模)在①Sn=n2

+n,②a3+a5=16,S3+S5=42,③𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛,S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,,b1=a1,b2=𝑎1�

�22.求数列{1𝑆𝑛+𝑏𝑛}的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解选①当n=1时,a1=S1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n.又n=1满足an=2n,所以an=2n

,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N+).选②设公差为d,由a3+a5=16,S3+S5=42,得{2𝑎1+6𝑑=16,8𝑎1+13𝑑=42,解得{𝑎1=2,𝑑=2,所以an=2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N

+).选③由𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛,得𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛,所以𝑎𝑛𝑛=𝑎11,即an=a1n,S7=7a4=28a1=56,所以a1=2,所以an=2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N+).①②③均可求得an=

2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N+).设{bn}的公比为q,又因为a1=2,a2=4,由b1=a1=2,b2=𝑎1𝑎22=4,得b1=2,q=2,所以bn=2n(n∈N+),所以数列{bn}的前n项和为2-2𝑛+

11-2=2n+1-2.因为1𝑆𝑛=1𝑛2+𝑛=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1,数列{1𝑆𝑛}的前n项和为1-12+12−13+…+1𝑛−1𝑛+1=1-1𝑛+1,故Tn=2n+1-2+1-1𝑛+1=2n+1-1𝑛+1-1.21.

(本小题满分12分)(2020全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;(2)证明:|f(x)|≤3√38;(3)设n∈N+,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3𝑛4𝑛.(1)解f'

(x)=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)'=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinxsin3x.当x∈(0,π3)∪(2π3,π)时,f'(x)>0;当x∈(π3,2π3)时,f'(x)<0.所以f(x)在区间(0

,π3),(2π3,π)上单调递增,在区间π3,2π3上单调递减.(2)证明因为f(0)=f(π)=0,由(1)知,f(x)在区间[0,π]上的最大值为f(π3)=3√38,最小值为f(2π3)=-3√38.而f(x)是周期为π的周期函数,故|f(x)|≤3√38.(3)证明

由于(sin2xsin22x…sin22nx)32=|sin3xsin32x…sin32nx|=|sinx||sin2xsin32x…sin32n-1xsin2nx||sin22nx|=|sinx||f(

x)f(2x)…f(2n-1x)||sin22nx|≤|f(x)f(2x)…f(2n-1x)|,所以sin2xsin22x…sin22nx≤(3√38)2𝑛3=3𝑛4𝑛.22.(本小题满分12分)(2019安徽合肥高三月考)已知函数f(x)=2x-lnx+𝑏-2�

�.(1)函数y=f(x)-(2𝑥-2𝑥)在(0,1)内有两个不同零点x1,x2(x1<x2),求b的取值范围;(2)在第(1)问的条件下,判断当x∈(x2,1)时,曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.

解(1)y=f(x)-2x+2𝑥=𝑏𝑥-lnx在(0,1)内有两个不同零点x1,x2,∴b=xlnx,x∈(0,1).令φ(x)=xlnx,则φ'(x)=1+lnx,令φ'(x)=0,可解得x=1e,当x∈(0,1e),φ'(

x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(1e,1),φ'(x)>0,φ(x)单调递增.所以φ(x)在x=1e取得极小值φ1e=1eln1e=-1e.因为x→0时,xlnx→0,且xlnx<0,所以φ(x)=xlnx的图像大致如图所示.所以当-1e<b<0时,方程b=xlnx有两解x1,x2,且x1∈0

,1e,x2∈1e,1,所以-1e<b<0.(2)f(x)=2x-lnx+𝑏-2𝑥=[1(12)𝑥-1𝑥2]+𝑏𝑥-lnx.由(1),知当-1e<b<0,b<xlnx,所以𝑏𝑥-lnx<0.当x∈(x2,1)时12x>12,𝑥2<12,所以1(12)𝑥−1𝑥2<0

,则f(x)=[1(12)𝑥-1𝑥2]+𝑏𝑥-lnx<0,所以当x∈(x2,1)时曲线y=f(x)位于x轴下方.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com