【文档说明】【精准解析】2021高中数学人教B版选择性必修第三册：5.4　数列的应用.docx，共(8)页，158.002 KB，由envi的店铺上传

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第五章数列5.4数列的应用课后篇巩固提升基础达标练1.(2020郑州高三二模)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这

类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()注:12+22+32+…+n2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+

1)6A.1624B.1024C.1198D.1560解析依题意,{an}:1,4,8,14,23,36,54,…两两作差,得{bn}:3,4,6,9,13,18,…两两作差,得{cn}:1,2,3,4,5,…设该

数列为{an},令bn=an+1-an,设{bn}的前n项和为Bn,又令cn=bn+1-bn,设{cn}的前n项和为Cn.易知cn=n,Cn=𝑛2+𝑛2,进而得bn+1=3+Cn=3+𝑛2+𝑛2,所以bn=3+𝑛(𝑛-1)2=𝑛22−12n+3,则Bn=𝑛(𝑛+1)(�

�-1)6+3n,所以an+1=1+Bn,所以a19=1024.答案B2.(2019山东高三期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西

森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2019这2019个数中,能被3除余2且被5

整除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列所有项中,中间项的值为()A.992B.1022C.1007D.1037解析将题目转化为an-2既是3的倍数,也是5的倍数,也就是15的倍数.即an-2=15(n-1),an=15n-13

.当n=135,a135=15×135-13=2012<2019,当n=136,a136=15×136-13=2027>2019,故n=1,2,…,135,数列共有135项.因此数列中间项为第68项,a68=15×

68-13=1007.故答案为C.答案C3.(2020江西安福中学高一月考)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:

即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是()A.𝑎𝑚B.𝑎𝑝(1+𝑝)𝑚+1(1+𝑝)𝑚+1-1C.𝑎𝑝(1+𝑝)𝑚+1𝑝𝑚-1D.𝑎𝑝(1+𝑝)𝑚(1+𝑝

)𝑚-1解析设每年偿还的金额为x,则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,所以a(1+p)m=x1-(1+𝑝)𝑚1-(1+𝑝),解得x=𝑎𝑝(1+𝑝)𝑚(1+𝑝)𝑚-1.故选D.答案D4.(2019兰州第二中学高二期中)我国古代数学典籍《

九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何.”翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两

鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1200尺,则需要多少天时间才能打穿(结果取整数)()A.12B.11C.10D.9解析大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{an},{bn},它们都是等比数列,a1=b1=1,数列{an}的公比为q1=2,数列{bn}的

公比为q2=12,设需要n天能打穿墙,则(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=1-2𝑛1-2+1-(12)𝑛1-12=2n+1-12𝑛-1,当n=10时,2n+1-12𝑛-1=1025-129≈1025<1200,当n=11时,2n+1

-12𝑛-1=2049-1210≈2049>1200,因此需要11天才能打穿.故选B.答案B5.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服,且每次能洗去污垢的34,那么至少要清洗次才能使存留的污垢在1%以

下.解析设每次用a升清水漂洗一件衣服,洗涤次数为n,通过题意可知,存留的污垢y是以14a为首项,14为公比的等比数列,所以有y=14n·a,由题意,可知14n·a≤1%·a,得n≥log4100=log210,得n≥

4,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下.答案46.(2020上海华师大二附中高三月考)如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回

运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2018秒时,这个粒子所处的位置在点.解析如图,设粒子运动到A1,A2,…,An时所用的时间分别为a1,a2,…,an,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,an-an-1=2n,将a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4

,…,an-an-1=2n相加得an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由44×45=1980,得运动了1980秒时它到点A44(44,44),又由运动规律知,A1,A2,…,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,

44)时,向左运动38秒即运动了2018秒,到达点(6,44),则所求点应为(6,44).答案(6,44)7.(2019上海格致中学高三开学考试)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求

和方法,有菱草垛、方垛、三角垛等.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”,自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件,已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100-20

0910n万元,则n的值为.解析由题意,可得第n层的货物的价格为an=n·910n-1,设这堆货物总价是Sn=1·9100+2·9101+3·9102+…+n·910n-1,①由①×910可得910Sn=1·9101+2·9102+3·

9103+…+n·910n,②由①-②,可得110Sn=1+9101+9102+9103+…+910n-1-n·910n=1-(910)𝑛1-910-n·910n=10-(10+n)·910n,∴Sn=100-10(10+n)·910n.

∵这堆货物总价是100-200910n万元,∴n=10.答案108.(2020山东高二期末)沿海某市为了进一步完善海防生态防护体系,林业部门计划在沿海新建防护林3万亩,从2020年开始,每年春季在规划的

区域内植树造林,第一年植树1200亩,以后每一年比上一年多植树400亩,假设所植树木全部成活.(1)到哪一年春季新建防护林计划全部完成?(2)若每亩新植树苗的木材量为2立方米,且所植树木每一年从春季开始生长,到年底停止生长时木材量的年自然增长率为10%,到新建防护林计划全部完成的

那一年底,新建防护林的木材总量为多少立方米?(参考数据:1.111≈3)解(1)设第n年春季植树为an亩,由题意,可知a1=1200,an+1-an=400=d(常数),所以{an}为等差数列.设植树n年新建防护林计划全部完成,则1200n+𝑛(𝑛-1)2×400=30000,

化简得n2+5n-150=0,所以n=10.∵2020+10-1=2029,所以到2029年新建防护林计划全部完成.(2)设从2020年开始,第n年年底种植树木到2029年底的木材量为数列{bn},则b10=a10×2×1.1,b9=a9×2×1.12,…,b1

=a1×2×1.110.则木材总量S=b1+b2+…+b10=2(1.1a10+1.12a9+…+1.110a1),1.1S=2(1.12a10+1.13a9+…+1.111a1),所以0.1S=2[-1.1a10+d(1.12+1.13+…+1.110)+a1·1.111]=2-1.1

×4800+400×1.12-1.1111-1.1+1200×1.111≈10960,解得S=109600,所以到2029年底新建防护林的木材总量约为109600立方米.能力提升练1.在超市中购买一个卷筒纸,其内圆直径为4cm,外圆直径

为12cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令π=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为()A.17mB.16mC.15mD.14m解析纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列{dn},则纸的长度为l=πd1+πd2+πd3+…+πd60,其中d1+d2+d3+…+d60=𝑑1+

𝑑602×60=480,则l=πd1+πd2+πd3+…+πd60=480π=480×3.14=1507.2≈15(m).故选C.答案C2.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含

量将迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,他至少要经过几小时才可以驾驶机动车(精确到小时)()A.1小时B.2小时C.4小时D.6小时解析设n个小时后才可以驾车,根据题意,可知每小时酒精下降的量成等

比数列,公比为50%,进而可得方程0.3(1-50%)n≤0.02,得12n≤115,即n≥4,所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.答案C3.(2019安徽安庆一中高一期中)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位:万件)大约是Sn=𝑛2

7(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是()A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月解析日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(

单位:万件)大约是Sn=𝑛27(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),则第n(n≥2)个月的需求量为an=Sn-Sn-1=-3𝑛2+45𝑛-2727>5,得3n2-45n+27×6<0,即n2-15n+54<0,解得6<n<9.故选C.答案C4.“泥居壳屋细莫详,红螺行沙

夜生光”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述,美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图):△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别以A,B,C为圆心,A

C,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧……如此下去,则所得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,…,A28A29,A29A30的总长度Sn为()A.310πB.1103πC.58πD.110π解析根据弧长公式,知螺旋线CA1,A1A2,

A2A3,…,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n的长度分别为2π3,2×2π3,3×2π3,…,3n×2π3,此数列是2π3为首项,2π3为公差,项数为3n的等差数列,根据等差数列的求和公式,得Sn=3n×2π3+3𝑛(3𝑛-1)2×2

π3=n(3n+1)π,此时n=10,易得所得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,…,A28A29,A29A30的总长度Sn为310π.答案A5.(2020江西南昌高三期末)刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6000元的手机,约定从

下月5日开始,每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,1年还清,其中月利率为0.5%,则小明每月还款数a=元(精确到个位).(参考数据:1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067)解析由题知小明第1次还款a元后,还欠本金及利

息为6000(1+0.5%)-a元,第2次还款a元后,还欠本金及利息为:6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元,第3次还款a元后,还欠本金及利息为:6000(1+0.5%)3-a(1+0.

5%)2-a(1+0.5%)-a元,以此类推,则第12次还款a元后,还欠本金及利息为:6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a元,此时已全部还清,则6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-…-a(1+0.5%)-a=0,即6000(

1+0.5%)12=𝑎[1-(1+0.5%)12]1-(1+0.5%),解得a=6000×0.005×1.005121.00512-1≈30×1.0620.062≈514元.答案5146.(2020湖北武汉

高二期末)某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏,共有15关,每过一关可以得到一定的积分,现有三种积分方案供闯关者选择.方案一,每闯过一关均可获得40积分;方案二,闯过第一关可获得5积分,后面每关的积分都比前一关多5;方案三,闯过第一关可获得0.5积分,后面每关

的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏,最终积分为闯过的各关的积分之和.设三种方案闯过n(1≤n≤15,且n∈N+)关后的积分之和分别为An,Bn,Cn,要求闯关者在开始前要选择积分方案.(1)求出An,Bn,Cn的表达式

;(2)如果你是一个闯关者,为获得尽量多的积分,这几种积分方案该如何选择?小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关,他应该选择第几种积分方案?解(1)按方案一闯过各关所得积分构成常数数列,故An=40n;按方案二闯过

各关所得积分构成首项为5,公差为5的等差数列,故Bn=5n+𝑛(𝑛-1)2×5=5𝑛2+5𝑛2;按方案三闯过各关所得积分构成首项为12,公比为2的等比数列,故Cn=12(1-2𝑛)1-2=12(2n-1).(2)令An>Bn,即40n>5𝑛2+5𝑛

2,解得0<n<15,而当n=15时,An=Bn,又因为n≤15且n∈N+,故An≥Bn恒成立,故方案二不予考虑.令An>Cn,即40n>12(2n-1),解得0<n<10,故当0<n<10时,An>Cn;当10≤n≤15,An<Cn,故当能闯过

的关数小于10时,应选择方案一;当能闯过的关数大于等于10时,应选择方案三.小明应该选择方案三.素养培优练黄河被称为我国的母亲河,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色.黄河的水源来自青藏高原,上游的1000公里的河水是非常清澈的,只是中游流经黄土高原,又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的

河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,泾渭分明,形成了一条奇特的水中分界线.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s,黄河水的含沙量为2kg/m3,洮河水的含沙量为20kg/m3,

假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1000m3的水量,即从洮河流入黄河1000m3的水混合后,又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的

含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)解(1)用an,bn分别表示河流在经过第n个观测点时,洮河水和黄河水的含沙量,则a1=20,b1=2.由题意可知,b2=1000𝑎1+2000𝑏1

2000+1000=13a1+23b1=8,a2=1000𝑏2+1000𝑎12000=12a1+12b2=14,即经过第二个观测点时,洮河水的含沙量为14kg/m3,黄河水的含沙量为8kg/m3.(2)由题意,可知bn=1000𝑎𝑛-1+2000𝑏𝑛-12000+1000=

13an-1+23bn-1(n≥2,n∈N+),an=1000𝑏𝑛+1000𝑎𝑛-12000=12an-1+12bn=23an-1+13bn-1(n≥2,n∈N+),河水中含沙量之差可考虑数列{an-bn},由上式可知,an-

bn=13(an-1-bn-1)(n≥2,n∈N+),a1-b1=18,所以数列{an-bn}是以18为首项,13为公比的等比数列,则an-bn=18×13n-1,令18×13n-1<0.01,则3n-1>1800,n≥8,即从第8个

观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com