【文档说明】【精准解析】2021高中数学人教B版选择性必修第三册：5.5　数学归纳法.docx，共(8)页，63.865 KB，由envi的店铺上传

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第五章数列5.5数学归纳法课后篇巩固提升基础达标练1.(2020巴楚第一中学高二期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于()A.1B.2C.3D.0解析因为多边形的边数最少是3,即三

角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C.答案C2.设Sk=1𝑘+1+1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘,则Sk+1为()A.Sk+12𝑘+2B.Sk+12𝑘+1+12𝑘+2C.Sk+12

𝑘+1−12𝑘+2D.Sk+12𝑘+2−12𝑘+1解析因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘,①得Sk+1=1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+12𝑘+1+12(𝑘+1).②由②-①,得Sk+1-Sk=

12𝑘+1+12(𝑘+1)−1𝑘+1=12𝑘+1−12(𝑘+1).故Sk+1=Sk+12𝑘+1−12(𝑘+1).答案C3.(2020宁波高二月考)用数学归纳法证明1𝑛+1+1𝑛+2+…+13𝑛≥56时,从

n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是()A.13𝑘+1+13𝑘+2+13𝑘+3B.13𝑘+1+13𝑘+2−23𝑘+3C.13𝑘+3−1𝑘+1D.13𝑘+3解析当n=k时,左边为1𝑘+1+1𝑘+2+…+13𝑘,当n=k+1时,左边为1𝑘+2+1

𝑘+3+…+13𝑘+13𝑘+1+13𝑘+2+13𝑘+3,所以左边需添加的项是13𝑘+1+13𝑘+2+13𝑘+3−1𝑘+1=13𝑘+1+13𝑘+2−23𝑘+3,选B.答案B4.用数学归纳

法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为.答案当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立5.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添

加的因式是.解析当n=k时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k),当n=k+1时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),由k到k+1需添加的因式为2k+2.答案2k+26.(2020陕西西安一中高二期中)用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(

4n-3)=2n2-n(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+

(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)可知,原命题成立.7.(2020江西南昌二中高二期末)数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+1𝑆𝑛-2(n∈N+).(1)求S1,S2,S3,S4

的值;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.解(1)当n=1时,∵a1=S1=S1+1𝑆1-2,∴S1=12.又a2=S2-S1=S2+1𝑆2-2,∴S2=23,同理S3=34,S4=45.(2)猜想Sn=𝑛𝑛+1(n∈N+).下面用数学归纳法证明这个

结论.①当n=1时,结论成立.②假设n=k(k∈N+,k≥1)时结论成立,即Sk=𝑘𝑘+1,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+1𝑆𝑘+1-2,∴1𝑆𝑘+1=2-Sk.∴Sk+1=12-𝑆𝑘=

12-𝑘𝑘+1=𝑘+1𝑘+2,即当n=k+1时结论成立.由①②,知Sn=𝑛𝑛+1对任意的正整数n都成立.能力提升练1.利用数学归纳法证明1𝑛+1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛<1(n∈N+,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是

()A.增加了12𝑘+1这一项B.增加了12𝑘+1和12𝑘+2两项C.增加了12𝑘+1和12𝑘+2两项,同时减少了1𝑘这一项D.以上都不对解析不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k

时,左端为1𝑘+1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘;当n=k+1时,左端为1𝑘+1+1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2,对比两式,可得结论.答案C2.已知关于自然数n的命题P(n),由P(

k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是()A.P(7)一定不成立B.P(5)可能成立C.P(2)一定不成立D.P(4)不一定成立解析∵P(n)对n=6不成立,无法判断当

n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)一定不成立,故D错误,C正确.故选C.答案C3.(2020浙江诸暨中学高二月考)已知

f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30B.9C.36D.6解析由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=3

4×36,由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,[2(k+1)+7

]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).∵3k-1-1是2的倍数,∴18(3k-1-1)能被36整除,∴当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1

)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值为36.答案C4.数列{an}中,已知a1=2,an+1=𝑎𝑛3𝑎𝑛+1(n∈N+),依次计算出a2,a3,a4后,

归纳、猜想得出an的表达式为.解析a1=2,a2=27,a3=213,a4=219,猜测an=26𝑛-5.答案an=26𝑛-55.(2020北京人大附中高二期中)已知f(n)=1+12+13+…+1𝑛(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>𝑛2,请补全证明过程:(1

)当n=1时,f(21)=1+12>12.(2)假设n=k时命题成立,即f(2k)>𝑘2,则当n=k+1时,f(2k+1)=f(2k)+>𝑘+12,即当n=k+1时,命题成立.综上所述,对任意n∈N+,都有f(2n)>𝑛2成立.解析因为f(n)=1+1

2+13+…+1𝑛(n∈N+),所以f(2n)=1+12+13+…+1𝑛+…+12𝑛.所以当n=k时,f(2k)=1+12+13+…+1𝑘+…+12𝑘>𝑘2,当n=k+1时,f(2k+1)=1+12+13+…+1𝑘+…+

12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2+…+12𝑘+1=f(2k)+12𝑘+1+12𝑘+2+…+12𝑘+1>𝑘+12,故答案为:12𝑘+1+12𝑘+2+…+12𝑘+1.答案12𝑘+1+12𝑘+2+…+12𝑘+16.是否存在a,b,c,使等式1𝑛2

+2𝑛2+3𝑛2+…+𝑛𝑛2=𝑎𝑛2+𝑏𝑛+𝑐𝑛对一切n∈N+都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.解取n=1,2,3可得{𝑎+𝑏+𝑐=1,8𝑎+4𝑏+2𝑐=5,27𝑎+9𝑏+3𝑐=14,解得a=13,b=1

2,c=16.下面用数学归纳法证明1𝑛2+2𝑛2+3𝑛2+…+𝑛𝑛2=2𝑛2+3𝑛+16𝑛=(𝑛+1)(2𝑛+1)6𝑛.即证12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+1),①当n=1时,左边=1,右边=1,∴

等式成立;②假设当n=k时等式成立,即12+22+…+k2=16k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=16(k+1)(2k2+7k+6)=1

6(k+1)(k+2)(2k+3),∴当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②,知当n∈N+时等式成立,故存在a=13,b=12,c=16使已知等式成立.素养培优练1.(多选)(2020江苏江阴高级中学高二期中)用数学归纳法证明2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1对任意n≥k(n,k

∈N)的自然数都成立,则以下满足条件的k的值为()A.1B.2C.3D.4解析取n=1,则2𝑛-12𝑛+1=13,𝑛𝑛+1=12,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1不成立;取n=2,则2𝑛-12𝑛+1=35,𝑛𝑛+1=23,

2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1不成立;取n=3,则2𝑛-12𝑛+1=79,𝑛𝑛+1=34,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立;取n=4,则2𝑛-12𝑛+1=1517,𝑛𝑛+1=45,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立;下面证明:当n≥3时,2𝑛-1

2𝑛+1>𝑛𝑛+1成立.当n=3,则2𝑛-12𝑛+1=79,𝑛𝑛+1=34,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立;设当n=k(k≥3)时,有2𝑘-12𝑘+1>𝑘𝑘+1成立,则当n=k+1时,有2𝑘+1-12𝑘+1+1=3×2�

�-12𝑘+1+12𝑘-12𝑘+1+3,令t=2𝑘-12𝑘+1,则2𝑘+1-12𝑘+1+1=3𝑡+1𝑡+3=3-8𝑡+3,因为t>𝑘𝑘+1,故2𝑘+1-12𝑘+1+1>3-

8𝑘𝑘+1+3=4𝑘+14𝑘+3,因为4𝑘+14𝑘+3−𝑘+1𝑘+2=2𝑘-1(4𝑘+3)(𝑘+2)>0,所以2𝑘+1-12𝑘+1+1>𝑘+1𝑘+2=𝑘+1(𝑘+1)+1,所

以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1对任意的n≥3都成立.故选CD.答案CD2.(2019江苏高二期中)已知m,n为正整数,(1)证明:当x>-1时,(1+x

)m≥1+mx;(2)对于n≥6,已知1-1𝑛+3n<12,求证:1-𝑚𝑛+3n<12m,m=1,2,…,n;(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.(1)证明当x=0时,1≥1,即(1+

x)m≥1+mx成立;当x≠0时,用数学归纳法证明.①当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立.②假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,

于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)k·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式也成立.综合①②知,对一切正整数m不等式都成立.(2)证明当n

≥6,m≤n时,由(1),得1-1𝑛+3m≥1-𝑚𝑛+3>0,于是1-𝑚𝑛+3n≤1-1𝑛+3nm=1-1𝑛+3nm<12m,m=1,2,…,n.(3)解由(2)知,当n≥6时,1-1𝑛+3n+1-2𝑛+3

n+…+1-𝑛𝑛+3n<12+122+…+12n=1-12𝑛<1,∴𝑛+2𝑛+3n+𝑛+1𝑛+3n+…+3𝑛+3n<1,即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n,即当n≥6时,不存在满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的正整数n.故只需

要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,3≠4,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等

式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com