【文档说明】【精准解析】2021高中数学人教B版选择性必修第三册：5.1.2　数列中的递推.docx，共(6)页，94.879 KB，由envi的店铺上传

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第五章数列5.1数列基础5.1.2数列中的递推课后篇巩固提升基础达标练1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是()A.a1=1,an+1=an+n,n∈N+B.a1=1,an=an-1+n,n∈N+,n≥2C.a1=1

,an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2D.a1=1,an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2解析由题可知a1=1,an-an-1=n(n≥2).答案B2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=12an+12𝑛,此数列的第3项是()A.1B.12C.3

4D.58解析a1=1,a2=12a1+12=1,a3=12a2+12×2=34.答案C3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的一个通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-1解析由题可知a1=1,a2=

3,a3=7,a4=15,经验证,选D.答案D4.(2020黑龙江大庆中学高一月考)已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),且Sn=n2+λ.若数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围为()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(-∞,3)D.(-∞,4)解析当n=1时,a1=S1=

1+λ;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+λ-(n-1)2-λ=2n-1,因为an+1-an=2>0(n≥2),所以当n≥2时,数列{an}为递增数列.若数列{an}为递增数列,只需a2>a1,所以3>1+λ,即λ<2.故选B.答案B5.数列{an

}满足an=4an-1+3(n≥2),且a1=0,则此数列的第5项是.解析因为an=4an-1+3(n≥2),a1=0,所以a2=4×0+3=3,a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.答案2556.数

列{an}满足an+1=11-𝑎𝑛,a8=2,则a1=.解析由an+1=11-𝑎𝑛,得an=1-1𝑎𝑛+1,∵a8=2,∴a7=1-12=12,a6=1-1𝑎7=-1,a5=1-1𝑎6=2,…,∴{an}是以3为周期的数列,∴a1=a7=12.答案1

27.(2020四川树德中学高一期中)已知Sn是数列{an}的前n项和,若an=sin𝑛π3,则S2020的值为.解析∵T=2ππ3=6,且a1=√32,a2=√32,a3=0,a4=-√32,a5=-√32,a6=0,a7=√32,…,所以数列{an}的周期为6,且a1

+a2+a3+a4+a5+a6=0,又2020=6×336+4,∴S2020=(a1+a2+a3+a4)+336×0=√32.答案√328.已知数列{an}中,a1=1,an+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3,求通项an.解将an+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3两边同时取倒数,得1𝑎𝑛+1=𝑎𝑛

+33𝑎𝑛,则1𝑎𝑛+1=1𝑎𝑛+13,即1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=13,∴1𝑎2−1𝑎1=13,1𝑎3−1𝑎2=13,…,1𝑎𝑛−1𝑎𝑛-1=13,把以上这(n-1)个式子累加,得1𝑎𝑛−1𝑎1=𝑛-13.∵a1=1,∴an=3𝑛+2.9.

(2019浙江余姚第四中学高一竞赛)已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.解(1)由an=n2-n-30,

得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.令an=60,则60=n2-n-30.解得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=

-5(舍去),∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N+)时,an>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6,∴当0<n<6(n∈N+)时,an<0.(3)Sn

存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=n-122-1214,知{an}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故Sn存在最小值S5=S6,不存在Sn的最大值.能力提升练1.(2

020周口中英文学校高二期中)数列{an}满足a1=12,an+1=1-1𝑎𝑛,则a2018等于()A.12B.-1C.2D.3解析当n=1时,a2=1-2=-1,a3=1-(-1)=2,a4=1-12=12,a5=1-2=-1,所以数列的周期是3,所以a2018=a(3

×672+2)=a2=-1.答案B2.(2020浙江高二期末)已知数列{an}满足a1=a(a∈R),an+1=𝑎𝑛2+2an-2(n∈N+),则下列说法中错误的是()A.若a>1,则数列{an}为递增数列B.若数列{an}为递增数列,则a>1C.存在实

数a,使数列{an}为常数数列D.存在实数a,使|an+1|≤2恒成立解析对于A选项,若a>1,则an+1-an=𝑎𝑛2+an-2=an+122-94>1+122-94=0,∴an+1>an,即数列{an}为递增数列,则A正确;对于B选项,若数列{an}为递增数列,则an+

1-an=𝑎𝑛2+an-2=an+122-94>0,∴an+12<-32,或an+12>32,即an<-2,或an>1,∴a<-2,或a>1,则B错;对于C选项,要使数列{an}为常数数列,则an+1-an=𝑎𝑛2+an-2=(an-1)(an+2)=0,∴an=1,或an=-2,

即存在实数a=1或a=-2,使数列{an}为常数数列,则C正确;对于D选项,由C选项可得,当a=1时,数列{an}为常数数列,即|an+1|=|1+1|=2,则存在实数a=1,使|an+1|≤2恒成立,则D正确.答案B3.(2019浙江宁波高三月考)已知数列{an},满足a1=3,𝑎�

�+1𝑎𝑛=an+2(n∈N+),则使an>42020成立的最小正整数n为()A.10B.11C.12D.13解析因为𝑎𝑛+1𝑎𝑛=an+2,即an+1=𝑎𝑛2+2an,所以an+1+1=𝑎𝑛

2+2an+1=(an+1)2,则a2+1=(a1+1)2,a3+1=(a2+1)2=(a1+1)22,…,an+1=(an-1+1)2=(a1+1)2𝑛-1,所以an+1=42𝑛-1,即an=42𝑛

-1-1,因为an>42020,即42𝑛-1-1>42020,又n∈N+,所以n≥12,故选C.答案C4.数列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3),则a2等于.解析由(n-1)an=a1+

a2+…+an-1(n≥3),得nan+1=a1+a2+…+an,两式相减,得nan+1-(n-1)an=an.∴当n≥3时,nan+1=nan,即an+1=an.又a9=8,∴a3=8.又2a3=a1+a2

,a1=7,∴a2=2a3-a1=9.答案95.(2020陕西西安高三二模)数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1(n∈N+),则an=.若存在n∈N+使得an≤𝑛+1𝑛·λ成立,则实数λ的最小值为.解析当n≥2时,a1+2a2+3a3+

…+(n-1)an-1+nan=2n-1,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1-1,两式相减得nan=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,所以an=2𝑛-1𝑛(n≥2).当n=1时,a1=1满足上式,综上所述,an=2𝑛-1𝑛.存在n∈N+

使得an≤𝑛+1𝑛·λ成立的充要条件为存在n∈N+使得λ≥2𝑛-1𝑛+1,设bn=2𝑛-1𝑛+1,所以𝑏𝑛+1𝑏𝑛=2𝑛𝑛+22𝑛-1𝑛+1=2(𝑛+1)𝑛+2>1,即bn+

1>bn,所以{bn}单调递增,{bn}的最小项b1=12,即有λ≥b1=12,λ的最小值为12.答案an=2𝑛-1𝑛126.(2020广州高三月考)已知数列{an}满足:a1=2,an+an-1=4n-2(n

≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=an,求数列{bn}的通项公式.解(1)由an+an-1=4n-2(n≥2)可化为(an-2n)+

(an-1-2n+2)=0.令cn=an-2n,则cn+cn-1=0,即cn=-cn-1.因为a1=2,所以c1=a1-2=0,所以cn=0,即an-2n=0,故an=2n.(2)由b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=an

,可知b1+3b2+7b3+…+(2n-1-1)bn-1=an-1(n≥2),两式作差得(2n-1)bn=an-an-1=2(n≥2),即bn=22𝑛-1(n≥2).又当n=1时,b1=a1=2也满足上式,故bn=22𝑛-1.素养培优练(2020江西师大附中高三一模)已知数列{an}中,a1=

1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=3n-λ𝑎𝑛2,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.解(1)∵2Sn=(n+1)an,∴2S

n+1=(n+2)an+1,∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,∴𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛,∴𝑎𝑛𝑛=𝑎𝑛-1𝑛-1=…=𝑎11=1,∴an=n(n∈N+).(2)由(1)知bn=3

n-λn2.bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).∵数列{bn}为递增数列,∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<2·3𝑛2𝑛+1.令cn=2·3𝑛2𝑛+1,即𝑐𝑛+1

𝑐𝑛=2·3𝑛+12𝑛+3·2𝑛+12·3𝑛=6𝑛+32𝑛+3>1.∴{cn}为递增数列,∴λ<c1=2,即λ的取值范围为(-∞,2).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www

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