【文档说明】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(8)页，942.000 KB，由小赞的店铺上传

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张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学（特部）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集UR=，{0123}M=，，，，{101}N=−，，，则图1中阴影部分所表示的集合是

（）A．{1}B．{1}−C．{23}，D．{01}，2.设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－5)，且cosα＝24x，则sinα＝（）A．104B．104−C．153D．153−3.有标号分别为1、2、3.的蓝色卡片和标号分别为1

、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是()A．12B．15C．25D．3104.定义在R上的函数()fx既是奇函数又是周期函数，若()fx的最小正周期是，且当02x，时

，()cosfxx=，则5()3f的值为()A.32−B.32C.12−D.125.把189化为三进制数，则末位数是()A.0B.1C.2D.36.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图

是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是()A．6B．10C．91D．927.1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等

腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC=，在梯形ABCD中

随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中（阴影部分）的概率是（）A．32B．34C．23D．228.某校高一、高二、高三分别有学生人数为495，493，482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一

、高二、高三学生依次随机按1，2，3，…，1470编号，若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为()A．15B．16C．17D．189.若sincossincos+−＝2，则sinθcosθ的值是A．－310

B．310C．±310D．3410.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,设a=f(log26),b=f(lo3),c=f（）,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC

.b<a<cD.a<b<c11.已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则事件“A∩B＝B”发生的概率是()A.29B.13C.89D．112.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B

A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图象关于点π3，32对称，则m的值可能为()A.π6B．π2C.7π6D．7π12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填

在题中横线上)13.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温的数据如下表.气温x(℃)141286用电量y(度)22263438由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，据此预测当气温为

5℃时，用电量的度数约为________．14.函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是．15.实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则的取值范围是.16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值

为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)

化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4<α<π2，求cosα－sinα的值；18.(12分)已知函数1()934xxfxm+=−−.(1)若1m=，求方程()0fx=的根；(2)若对任意1,1x−，()8fx−恒成立，求m的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)＝2asin

x－π4＋a＋b.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a<0时，函数f(x)在[上的值域为[]，求a，b的值．20.(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面A

BCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥AD；(Ⅱ)求点D到平面PAM的距离．21.(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程

；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．22.(12分)某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中

一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取

2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.（i）求这100人月薪收入的样本平均数x和样本方差2s；（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，

并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设[0.018,0.018)xsxs=−−++，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元.方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这10

0人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？参考数据：17413.2.张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学（特部）答案1.B2.【答案】B【分析】利用余弦函数的定

义求得x，再利用正弦函数的定义即可求得sinα的值．【详解】解：∵α为第四象限角，其终边上一个点为（x，5−），则cosα2245xx==+x（x＞0），∴21215168x==+，∴x2＝3，又α为第四象限角，x＞0，∴x3

=，∴sinα51048−==−；故选：B3.【答案】D【分析】先确定从这五张卡片中任取两张的事件数，再确定两张卡片颜色不同且标号之和小于4的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】因为从这五张卡片中任取两张共有25=10C种基本事件，两张卡片颜色不同且标号之和小于4有

213+=种基本事件，因此所求概率是310，选D.4．C【解析】试题分析：根据题意，由于定义在R上的函数()fx既是奇函数又是周期函数，且可知()fx的最小正周期是，那么可知5()3f=2f+3（）=2f3

（）=-22f-=-f-=-f()333（）（）=-1cos32=−，故可知答案为C5.考点十进位制化k进制题点十进位制化其它进制答案A解析采用“除k取余法”，得即189＝21000(3).6.解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的学生

人数，由茎叶图知：数学成绩大于或等于90的学生人数为10，因此输出的结果为10.故选B.7.【答案】C【分析】在直角三角形BCE中，求得,ab的表达式，利用CDEABCDSPS=梯形计算出所求的概率.【详解】在直角BCE中，cos15ac=，

sin15bc=，则()()22222112211sin303cos15sin152CDEABCDcScPScab=====+++梯形，故选C.【点睛】本小题主要考查几何概型，考查三角形的面积公式，考查梯形的面

积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.8.解析：选C.由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23

＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17.9.【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系式，求得tan3=，再化简2tansincostan1=+，代入即可求解，得

到答案.【详解】根据同角三角函数的基本关系式，可得sincostan12sincostan1++==−−，解得tan3=，所以222sincostan3sincossincostan110=

==++，故选B.10.A解析:由f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,则f(x)在[0,+∞)上是增函数,由b=f（lo3）=f(-log23)=f(log23),由0<<log23<

log26,得f（）<f(log23)<f(log26),即c<b<a.故选A.11.解析：∵A∩B＝B，∴B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B＝∅时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，

b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，b，∴事件“A∩B＝B”发

生的概率为83×3＝89.故选C.12.解析：选D.由题图知A＋B＝332，－A＋B＝－32，解得A＝3，B＝32，又由题图知T2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f(x)＝3sin(2x＋φ)＋32.又fπ6＝3sin

π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f(x)＝3sin2x＋π6＋32.将函数f(x)的图象向左平移m

(m>0)个单位后得到g(x)＝3sin2x＋π6＋2m＋32的图象，又函数g(x)的图象关于点π3，32对称，即h(x)＝3·sin2x＋π6＋2m的图象关于π3，0对称，故3·sin2π3＋π6＋2m＝0，即5π6＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝kπ2－

5π12(k∈Z)，令k＝2，则m＝7π12，故选D.13.答案40解析∵x＝14(14＋12＋8＋6)＝10，y＝14(22＋26＋34＋38)＝30，∴a＝y－bx＝30＋2×10＝50，∴线性回归方程为y＝－2x＋50

.∴当x＝5时，y＝－2×5＋50＝40.14.答案1解析f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.15.【答案】]3,

1[−【解析】设tyx=+3，则txy+−=3，t表示斜率为3−的直线在y轴上的截距又yx,满足1)1(22=−+yx，所以直线与圆有公共点，圆心)1,0(到直线的距离131|1|=+−=rtd，解

得31−t16.答案：402π解析：由题意，cos∠ASB＝78，所以sin∠ASB＝1－cos2∠ASB＝158，所以S△SAB＝12SA·SB·sin∠ASB＝12SA2·sin∠ASB＝1516SA

2＝515，所以SA＝45.设圆锥底面的圆心为O，连接SO，OA，则SO与底面垂直，所以∠SAO即为SA与底面所成的角，所以∠SAO＝45°，所以OA＝22SA＝210，所以底面周长l＝2π·OA＝410π，所以圆锥的侧面积S＝12l·SA＝402

π.17.考点综合运用诱导公式化简、求值题点综合运用诱导公式化简、求值解(1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα(－sinα)(－tanα)＝sinα·cosα.-----5分(2)由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－

sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34.------7分又∵π4<α<π2，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0，------9∴cosα－sinα＝－32.-----

--10分18.【答案】（1）3log4x=；（2）4(,]3−.【解析】（1）1m=时，12()934(3)3340xxxxfx+=−−=−−=，可得：(34)(31)0xx−+=，--------4分30x，34x=，解得3log4x=---6分（2）令3xt=，1,1x

−，1[,3]3t-----7分由()8fx−，可得2348tmt−−−，43mtt+对1[,3]3t恒成立，-----9分因为4244tt+=，当且仅当4tt=，即2t=时，4tt+的最小

值为4；--10分34m，故43m，m的取值范围为4(,]3−.------------12分19.考点正弦、余弦函数性质的综合应用题点正弦、余弦函数性质的综合应用解(1)当a＝1时，函数f(x)＝2sin

x－π4＋1＋b.因为函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)，所以当2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，------3分即2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)时，f(x)是减函数．---------

--5分所以函数f(x)的单调递减区间是2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．------6分(2)f(x)＝2asinx－π4＋a＋b，因为x∈[0，π]，所以－π4≤x－π4≤3π4，---7分所以－22≤sinx－π4≤1.又因为a<0，所以2a≤2asin

x－π4≤－a，---9分所以2a＋a＋b≤f(x)≤b.因为函数f(x)的值域是[2,3]，所以2a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－2，b＝3.----12分20.解：(Ⅰ)证明：如图，取AD的

中点O，连接OP，OC，AC.依题意可知，△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD.(3分)又∵OC∩OP＝O,∴AD⊥平面POC.又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD.(5分)(Ⅱ)由(

Ⅰ)可知PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高．(7分)由题意得PA＝AC＝4，∵M为PC的中点，∴AM⊥PC.在R

t△POC中，PO＝OC＝23，∴PC＝26，PM＝6，∴在△PAC中，PC边上的高AM＝PA2－PM2＝10，∴△PAC的面积S△PAC＝12PC·AM＝12×26×10＝215.(9分)△ACD的面积S△ACD＝12AD·OC

＝12×4×23＝43.点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离．设点D到平面PAC的距离为h，由VD－PAC＝VP－ACD，得13S△PAC·h＝13S△ACD·PO，即13×215·h＝13×

43×23，解得h＝4155，即点D到平面PAM的距离为4155.(12分)21.解：(1)将圆C的方程配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当所求直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得21

22=+−−kk，解得k=2±6，所以切线方程为y＝(2±6)x.---3分②当所求直线在两坐标轴上的截距不为零时，设所求直线的方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：2221=−+−a，解得a=－1或a=3，所以切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.---6分综上，切线方程为

y＝(2±6)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由｜PO｜＝｜PM｜，得：2221xx+＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－22x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当｜PM

｜取得最小值时，｜OP｜取得最小值，此时直线OP⊥l.-----9分∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组=+−=+,0342,02yxyx得P点坐标为−53,103.----12分22.【详解】（1）第一组有0.20.11002=人，第

二组有1.00.110010=人.-----1分按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽5人，记为B，C，D，E，F.从这6人中抽2人共有15种：(,)AB，(A,C)，(,)AD，(,)AE，(,)AF，(,)BC，(,)BD，(,)BE，(,)BF，(,)CD，(,)C

E，(,)CF，(,)DE，(,)DF，(,)EF.-----3分获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：(,)BC，(,)BD，(,)BE，(,)BF，(,)CD，(,)CE，(,)CF，(,)DE，(,)DF，(,)E

F.-----4分于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率102153P==.-----------5分（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数x和样本方差2s分别是0.021.70.101.80.241.90.3120.22.10.092.20.042.32x=

++++++=----6分222222220.02(1.72)0.10(1.82)0.24(1.92)0.31(22)0.2(2.12)0.09(2.22)0.04(2.32)s=−+−+

−+−+−+−+−0.0174=；------7分（ii）方案一：1740.01740.132,[1.85,2.15)100s====月薪落在区间左侧收活动费用约为(0.020.10)40050100000.24+=（万元）；月薪落在区间收活动费用约为(0.240.3

10.20)60050100002.25++=（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为(0.090.04)80050100000.52+=（万元）；、因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）.--------10分方案二：

这50人共收活动费用约为500.033x=（万元）.------11分故方案一能收到更多的费用.-------12分