【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.11 抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，1.434 MB，由小赞的店铺上传

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专题3.11抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上

任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：4．抛物线

与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有

1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式

曲线.5．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐

含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型1动点的轨迹问题】【方法点拨】根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一

个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.【例1】（2022·上海市高三开学考试）在平面上，到点𝐴(1,0)的距离等于到直线𝑥+2𝑦=3的距离的动点𝑃的轨迹是（）A．直线B．圆C

．椭圆D．抛物线【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑀(2,2)，直线𝑙:𝑥−𝑦−1=0，若动点𝑃到𝑙的距离等于|𝑃𝑀|，则点𝑃的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【变式1-

2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点𝑃(𝑥,𝑦)到直线𝑥=1的距离比它到定点(−2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为（）A．𝑦2=2𝑥B．𝑦2=4𝑥C．𝑦2=−4𝑥D．𝑦

2=−8𝑥【变式1-3】（2021·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点(0,2)的距离比它到直线𝑦=−1的距离大1，则点P的轨迹方程为（）A．𝑦2=4𝑥B．𝑥2=4𝑦C．𝑦2=8𝑥D．𝑥2=8𝑦【题型2利用抛

物线的定义解题】【方法点拨】根据具体问题，利用抛物线的定义进行转化求解.【例2】（2022·云南·高二开学考试）若抛物线𝐶:𝑦2=𝑝𝑥(𝑝>0)上的一点𝐴(𝑝4,𝑦1)到它的焦点的距离为8，则𝑝=（）A．6B．8C．1

2D．16【变式2-1】（2022·云南·高三阶段练习）已知抛物线𝐷:𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，准线为𝑙，点𝑃在𝐷上，过点𝑃作准线𝑙的垂线，垂足为𝐴，若|𝑃𝐴|=|𝐴𝐹|，则|𝑃𝐹|=（）A．2B．2√2C．2√3D．4【变式2

-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=（）A．4B．5C．6D．8【变式2-3】（20

22·全国·高三专题练习（理））已知O为坐标原点，抛物线𝑥=14𝑦2的焦点为F，点M在抛物线上，且|𝑀𝐹|=3，则M点到𝑥轴的距离为（）A．2B．4716C．2√3D．2√2【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【方法点拨】求抛物线的焦点坐标及准线

方程的步骤：第一步：把抛物线方程化为标准方程；第二步：明确抛物线开口方向；第三步：求出抛物线标准方程中参数p的值；第四步：写出抛物线的焦点坐标、准线方程.【例3】（2022·辽宁鞍山·一模）抛物线𝑦=43𝑥2的焦点坐标为（）A．(0,13)B．(1

3,0)C．(0,316)D．(0,23)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）抛物线𝑦=−18𝑥2的准线方程是（）A．𝑥=132B．𝑦=2C．𝑦=132D．𝑦=−2【变式3-2】（2022·全国·

高二课时练习）抛物线𝑦=𝑥2的焦点坐标是（）A．(0,1)B．(1,0)C．(0,14)D．(14,0)【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）抛物线𝑦2=2𝑥的焦点到其准线的距离是（）A．1B．2C．3D．4【题型4求抛物线的标准方程】【方法点拨】①直接法：直接利用题中已知条件

确定参数p.②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数p.③定义法：先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程.【例4】（2022·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点𝑀(−1,2)的抛物线方程为（）A．𝑦2=

4𝑥B．𝑦2=−4𝑥C．𝑥2=12𝑦D．𝑥2=−12𝑦【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）焦点在直线3𝑥−4𝑦−12=0上的抛物线的标准方程为（）A．𝑦2=16𝑥或𝑥

2=16𝑦B．𝑦2=16𝑥或𝑥2=−12𝑦C．𝑦2=16𝑥或𝑥2=12𝑦D．𝑦2=−12𝑥或𝑥2=16𝑦【变式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在𝑦轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方

程是（）A．𝑥2=4𝑦B．𝑥2=2𝑦C．𝑦2=4𝑥D．𝑦2=2𝑥【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若抛物线𝑦2=2𝑝𝑥（𝑝>0）上一点P（2，𝑦0）到其焦点的距离为4，则

抛物线的标准方程为（）A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x【题型5与抛物线有关的最值问题】【方法点拨】求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思

路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.【例5】（2022·河南·高三开学考试（文））已知𝐴,𝐵是抛

物线𝑦2=−6𝑥上的两点，且|𝐴𝐵|=11，则线段𝐴𝐵的中点到𝑦轴的距离的最小值为（）．A．72B．4C．92D．5【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线𝑦2=16𝑥的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆𝐶:(𝑥−6)2+(𝑦−2)2=4上，则|𝑃

𝑄|+|𝑃𝐹|的最小值为（）A．4B．6C．8D．10【变式5-2】（2022·云南模拟预测（理））已知点𝑃为抛物线𝑦2=−4𝑥上的动点，设点𝑃到𝑙2:𝑥=1的距离为𝑑1，到直线𝑥+𝑦−4=0的距离为𝑑2，则𝑑1+𝑑

2的最小值是（）A．52B．5√22C．2D．√2【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线𝑥2=𝑚𝑦焦点的坐标为𝐹(0,1)，P为抛物线上的任意一点，𝐵(2,2)，则|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|的最小值为（）A．3B．4C．

5D．112【题型6与抛物线有关的实际应用问题】【方法点拨】①要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程和其几何性质进行推理、运算.②解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化.【例6】（2022·全国·高二课时练习）苏

州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知|𝐶𝐷|=30m，|𝐴𝐵|=60m，点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为150m，则此抛物线顶端𝑂到𝐴𝐵的距离为（）A．180mB．200mC．220

mD．240m【变式6-1】（2022·湖南·高二期末）如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，那么水下降1m后，水面宽为（）A．2√2mB．2√3mC．2√5mD．2√6m【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）一

种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点𝐹处，如图（2）所示.已知接收天线的口径𝐴𝐵为4.8m，深度为1m.若𝑃为接收天线上一点，则点𝑃与焦点F的最短距离为（）A．0.72mB．1.4

4mC．2.44mD．2.88m【变式6-3】（2021·全国·高二课时练习）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m，镜深0.25m，为

达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（）A．0.5米B．1米C．1.5米D．2米