【文档说明】【课时练习】2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一2.4.1 函数的奇偶性 含解析【高考】.docx，共(14)页，662.435 KB，由小赞的店铺上传

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12.4.1函数的奇偶性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.我国著名数学家华岁庚

先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数23()1xfxx=−的图象大致是()A.B.C.D.2.已知2()35f

xaxbxab=+−+是偶函数，且其定义域为[61,]aa−，则ab+=()A.17B.1−C.1D.73.已知函数()fx是奇函数，且在(0,)+上是减函数，且在区间[,](0)abab上的值域为[3,4]−，则在区间[,]ba−−上()A.有最大值4B.有最小值4−C.有最大值3−D

.有最小值3−4.若函数为奇函数，则实数a的值为()A.2B.2−C.1D.1−5.定义域是R的函数()fx满足()()fxfx=−−，当(0,2]x时，2,(0,1],()1,(1,2].xxxfxxx−=−+若[2,0)x−时，1()42tfxt−…有解，则实数t的取值范围是(

)A.(,26][26,)−−−−++B.(,26](0,26]−−+2C.(,26](0,26]−−−−+D.(,2](0,2]−−二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）6.下列函数中是偶函数，且在区间(

0,1)上单调递增的是()A.22yx=−B.2yx=C.1||||yxx=+D.2||xyx=7.若函数()()fxxR是奇函数，则结论正确的是()A.函数2()fx是偶函数B.函数2[()]fx是奇函数C.函数2()fxx是偶函数D.函数()fxx+是奇函数8.已知()fx、(

)gx都是定义在R上的函数，且()fx为奇函数，()gx的图像关于直线1x=对称，则下列说法中正确的有()A.为偶函数B.为奇函数C.的图像关于直线1x=对称D.为偶函数三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.函数，，则__________10

.已知定义域为R的偶函数()fx在[0,)+上单调递增，且，则不等式(2)0fx−的解集是__________.11.奇函数()fx的定义域为R，若(1)fx+为偶函数，且(1)1f−=−，则(2020)(2021)ff+=_______

___.12.已知奇函数()fx满足(2)()fxfx+=，当[0,1]x时，()fxx=，则当[,1]()xkkkZ+时，函数()fx的解析式是__________.四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题12.0分)已知函数(1)求函数()fx的定义域．(2)判断()fx的奇偶性并证明．314.(本小题12.0分)已知定义在R上的函数()fx，()gx满足：①(0)1f=；②任意的x，yR，()()()()().fxyf

xfygxgy−=−(1)求22()()fxgx−的值；(2)判断并证明函数()fx的奇偶性．15.(本小题12.0分)函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()1.fxxx=−+(1)计算(0)f，；(2)当0x时，求

()fx的解析式．16.(本小题12.0分)已知函数2()(afxxax=+R).(1)当2a=时，判断函数()fx在区间[1,)+上的单调性，并用定义证明；(2)探究函数()fx的奇偶性，并证明．17.(本小题

12.0分)已知函数()fx对任意实数x、y恒有()()()fxyfxfy+=+，当0x时，()0fx，且(1)2.f=−(1)判断()fx的奇偶性；(2)判断函数单调性，求()fx在区间[3,3]−上的最大值；(3)若2()22f

xmam−+对所有的[1,1],[1,1]xa−−恒成立，求实数m的取值范围.18.(本小题12.0分)已知定义在R上的函数()fx是奇函数，且当(0,)x+时，(1)求函数()fx在R上的解析式；(2)解不等式4答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象和

函数的奇偶性，属于基础题.首先求解函数的定义域及奇偶性，再研究(0,1)x和1x时，函数值的正负情况，由排除法可得结论.【解答】解：函数()fx的定义域为{|1}xx，且()fx满足()()fxfx−=−，()fx为奇函数，当(0,1)x时

，()0fx，故排除A，当1x时，()0fx，故排除BD，故选.C2.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，具有奇偶性的函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题．利用偶函数的定义域关于原点对称，区间的端点值互为相反数求得a的值，再利用()()fxfx−=求

出b的值，即可求出ab+的值．【解答】解：函数2()35fxaxbxab=+−+是偶函数，且其定义域为[61,]aa−，定义域关于原点对称，610aa−+=，解得17a=，235()77fxxbxb=+−+，再由()()fxfx−=得2235357777xbxbxbxb+−+=−−+恒成

立，故0b=，故17ab+=，故选.A3.【答案】B【解析】5【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数

()fx是奇函数，在(0,)+上是减函数，()fx在(,0)−上也是减函数，在区间[,](0)abab上的值域为[3,4]−，最大值为()4fa=，最小值为()3fb=−，()fx在区间[,]ba−−上也

是减函数，且最大值为()()3fbfb−=−=，最小值为()()4fafa−=−=−，故选：.B4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用奇函数的对称性求参数，属于一般题．设0x，则0x−，结合0x…时，2()2fxxx=−，可求

()fx，即可求解.a【解答】解：函数222,0(),0xxxfxxaxx−=−+…为奇函数，设0x，则0x−，0x…时，2()2fxxx=−，22()()2()2()fxxxxxfx−=−−−=+==−，22()2fx

xxxax=−−=−+，2a=−，故选：.B5.【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数()fx是R上的奇函数，画出函数()fx在[2,2]−上的大致图象，得到当[2,0)x−时，0()1fx剟，由题意可知1142tt−„，从而求出t的取值范围．本题主要考查了分段函数的

应用，考查了解不等式，是较难题．6【解答】解：定义域是R的函数()fx满足()()fxfx=−−，函数()fx是R上的奇函数，又当(0,2]x时，2,(0,1],()1,(1,2].xxxfxxx

−=−+利用函数的奇偶性画出函数()fx在[2,2]−上的大致图象，如图所示：，当[2,0)x−时，0()1fx剟，若[2,0)x−时，1()42tfxt−…有解，1142tt−„，即24204ttt−−„，解得26t−„或026t+„，故选.B6.【答案】AD【解析】【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题.依据奇偶性和单调性的定义，对选项中函数逐个分析判断即可.【解答】解：A中22yx=−是对称轴为0x=，开口向上的抛物线，是偶函数，在(0,)+上单调递增，故在(0,1)上也单调递增，A正确;B中反比例函数是奇函数，不是偶函数，B

错误;C中函数是偶函数，且在(0,)x+时，1yxx=+，它在(0,1)上单调递减，在(1,)+单调递增，故C错误;D中函数是偶函数，在(0,1)x时化简后即为yx=，在(0,1)上单调递增，故D正确.故选.AD7.【答案】AD7【解析】【分析】根

据题意，由奇函数的性质依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的定义和判断，注意函数奇偶性的定义，属于中档题．【解答】解：根据题意，函数()()fxxR是奇函数，则()()fxfx−=−，对于A，函数2()fx，其定

义域为R，有22[()]()fxfx−=，即函数2()fx为偶函数，A正确，对于B，函数2[()]fx，其定义域为R，有222[()][()][()]fxfxfx−=−=，即函数2[()]fx为偶函数，B错误，对于C，函数2()fxx，其定义域为R，有22()

()()fxxfxx−−=−，即函数2()fxx为奇函数，C错误，对于D，函数()fxx+，其定义域为R，有()()()[()]fxxfxxfxx−+−=−−=−+，即函数()fxx+是奇函数，D正确，故选.AD

8.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数奇偶性和对称性的判断，考查推理能力，是较难题.根据()fx为奇函数得出()()fxfx−=−，然后根据()gx关于直线1x=对称得出，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果.【解答】解：因为()fx为奇函数，所以()

()fxfx−=−，因为()gx的图像关于直线1x=对称，所以，A项：，则函数为偶函数，A正确；B项：，不是奇函数，B错误；C项：因为，所以，则的图像关于直线1x=对称，C正确；8D项：因为，所以，则函数为偶函数，D正确，故选：.ACD9.【答案】7−【解析】【分析】本

题主要考查了函数奇偶性的运用，解题的关键是要构造出奇函数进行变换求值即可，属于基础题.根据可构造则易得()gx为奇函数再根据奇函数的性质可得就可求得【解答】解：，令，则由于定义域为R关于原点对称，且，为奇函数，，，，故答案为7.−10.【答案】5{|2

xx或3}2x【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．本题主要考查函数的奇偶性和单调性．【解答】解：偶函数()fx在[0,)+上为增函数，1()02f=，不等式(

2)0fx−等价为1(|2|)()2fxf−，即1|2|2x−，即122x−或122x−−，即52x或32x，9不等式(2)0fx−的解集为5{|2xx或3}.2x故答案为：5{|2xx

或3}.2x11.【答案】1【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的性质应用．根据题意，由()fx的奇偶性和对称性分析可得(4)()fxfx+=，即可得()fx是周期为4的周

期函数，由此可得(2020)f与(2021)f的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，奇函数()fx定义域为R，则()()fxfx−=−，且(0)0f=又由(1)fx+为偶函数，即()fx的图象关于直线1x=对称，则有()(2)fxfx−=+，综合可得(2)()()fx

fxfx+=−=−，则有(4)(2)()fxfxfx+=−+=，故函数()fx是周期为4的周期函数，故(2020)(05054)(0)0fff=+==，(2021)(15054)(1)(1)1ffff=+=

=−−=，故(2020)(2021)011ff+=+=，故答案为：1.12.【答案】当k是偶数时，；当k是奇数时，【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合应用．由题意，函数的周期为2，[1,0]x−时，()fxx=

，分k为奇数、偶数讨论，即可得出结论．【解答】解：由(2)()fxfx+=，可知奇函数()fx的周期为2.[1,0]x−时，[0,1]x−，()fxx−=−，则()()fxfxx=−−=，2()knnZ=时，[,1]

xkk+，[0,1]xk−，()()fxfxkxk=−=−；21()knnZ=−时，[,1]xkk+，1[1,0]xk−−−，()(1)1.fxfxkxk=−−=−−故答案为：当k是偶数时，；当k是奇数时，1013.【答案】解：(1)由2

10x−，得1x，即()fx的定义域{|1}xx；(2)()fx为偶函数．证明如下：由(1)知函数()fx定义域关于原点对称，且，()fx为偶函数.【解析】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断和证明，利用相应的定义是解决本题的关键．(1)根据函数成立的条件进行

求解即可；(2)根据函数奇偶性的定义进行证明．14.【答案】解：(1)依题意，22()()()()()()()(0)1.fxgxfxfxgxgxfxxf−=−=−==(2)函数()fx为偶函数；证明：由(1)知22

(0)(0)1fg−=，所以22(0)(0)10gf=−=，即(0)0g=，所以()(0)(0)()(0)()()fxfxffxggxfx−=−=−=，又因为()fx的定义域为R，所以函数()fx为偶函数．【解析】本题考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，考查了推理能力与计算能力

，属于基础题.(1)根据22()()()()()()()(0)fxgxfxfxgxgxfxxf−=−=−=，则可得答案；(2)由题意，可推出()()fxfx−=，又()fx的定义域为R，则可证得()fx为偶函数．15.【答案】解：(1)函数()fx是定义在R上的奇函数，

(0)0f=，0x时，2()1fxxx=−+，(1)1f=，11(1)(1)1;ff−=−=−(2)当0x时，0x−，22()()()11fxxxxx−=−−−+=++2()1fxxx−

=++2()1.fxxx=−−−【解析】本题考查了分段函数解析式的求法，考查了函数的求值，是中档题.(1)根据奇函数的性质可知(0)0f=，由(1)(1)ff−=−及已知函数解析式可求(1);f−(2)设0x，得到0x−，然后借助于0x时的解析式及()()

fxfx−=−可求函数的解析式;16.【答案】解：(1)当2a=时，22()fxxx=+，12,[1,),xx+令12xx，则222212121212122222()()()()()fxfxxxxxxxxx−=+−+=−+−211212122()()(

)xxxxxxxx−=+−+12121212121212()[()2]2()()xxxxxxxxxxxxxx−+−=−+−=，因为121xx„，所以120xx−，121xx，122xx+，所以1212()2xxxx+，即1212()20xxxx+−，故12()()0fxf

x−，即12()()fxfx，所以()fx在区间[1,)+上单调递增.(2)证明如下：()fx的定义域是，关于原点对称，当0a=时，，因为，所以()fx是偶函数;当0a时，因为，所以，因为，所以，所以()fx既不是奇函

数，也不是偶函数.综上所述，当0a=时，()fx是偶函数；当0a时，()fx既不是奇函数，也不是偶函数.12【解析】本题考查利用函数的奇偶性定义的应用，判断并证明函数的单调性，属于中档题.(1)利用单调性的定义，任取12,[0,),xx+

且12xx，比较12()()fxfx−和0即可得单调性；(2)判断函数的定义域关于原点对称，然后分别分析当0a=时，当0a时的()fx−与()fx的关系，得到奇偶性的判断.17.【答案】解：(1)取0xy==，则(00)2(0)ff+=，(0)0f

=，取yx=−，则()()()(0)0fxxfxfxf−=+−==，()()fxfx−=−对任意xR恒成立，()fx为奇函数；(2)任取1x，2(,)x−+且12xx，则210xx−，2121()()()0fxfxfxx+−=−，21()()fxfx−−，又()fx为奇函

数，12()().fxfx故()fx为R上的减函数.[3,3]x−，()(3)fxf−„，(3)3(1)236ff==−=−，(3)(3)6ff−=−=，故()fx在[3,3]−上的最大值为6；(3)()fx在[1,1]−上是减函数，()(1)(1)2fxff−=−=„，2

()22fxmam−+，对所有[1,1]x−，[1,1]a−恒成立.2222mam−+，[1,1]a−恒成立;即220mam−，[1,1]a−恒成立，令2()2gaamm=−+，则(1)0(1)0gg−，即222020mmmm+

−+，解得：2m或2.m−实数m的取值范围为(,2)(2,).−−+13【解析】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.(1)取0xy==可求得(0)f，取yx=−可得()fx与()fx−的关系，由奇偶性的定

义即可判断;(2)任取1x，2(,)x−+且12xx，由已知可得2121()()()0fxfxfxx+−=−，从而可比较1()fx与2()fx的大小关系，得到12()()fxfx即可，再利用单调性求最值；(3)由条件可知220mam−对[1,1]a−恒成立，列出不

等式组解出m的范围.18.【答案】解：(1)根据题意，()fx为定义在R上的奇函数，则(0)0f=，设0x，则0x−，则，又由()fx为R上的奇函数，则，则；(2)当0x时，12()111xfx

xx+==−+−−易知函数()fx在(,0)−上为增函数，又()fx为定义在R上的奇函数，则()fx在(0,)x+上也为增函数，，，当0t=时，，，成立；当0t时，，则或，解得1t=；所以，不等式解集为【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，以及不等式求解，属于拔高题．(1

)由题意利用函数为奇函数，求得当0x时函数的解析式，从而得出结论．(2)由题意，可得()fx在(0,)+上也为增函数，从而根据0t=，0t，分类讨论，14求得不等式的解集即可．