【文档说明】【课时练习】2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一2.3.1函数的单调性 含解析【高考】.docx，共(14)页，698.871 KB，由小赞的店铺上传

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12.3.1函数的单调性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一

项）1.函数()([4,4])yfxx=−的图像如图所示，则函数()fx的单调递增区间为()A.[4,2]−−B.[2,1]−C.[1,4]D.[4,2][1,4]−−2.若函数()fx是R上的减函数，0a，则下列不等式一定成立的是()A.2()()fafaB.1()()fafa

C.()(2)fafaD.2()(1)fafa−3.已知函数2()23fxxx=−−，则该函数的单调递增区间为()A.(,1]−B.[3,)+C.(,1]−−D.[1,)+4.已知函数()yfx=在[1,1]−上单调递减，且函数()fx的图象关于直线1

x=对称，设1()2af=−，(2)bf=，(3)cf=，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bcaD.bac5.已知函数()fx的图象关于直线1x=对称，当211xx时，恒成立

，设，(2)bf=，其中2.71828)e=，则,,abc的大小关系为()A.cabB.cbaC.bacD.acb26.已知函数对任意12,xxR且12xx时，有1212()()

0fxfxxx−−，则实数a的取值范围为()A.5(2,]2B.135[,]62C.(2,)+D.13(,)6+二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）7.下列说法中，正

确的是()A.若对任意1x，2xI，当12xx时，1212()()0fxfxxx−−，则()yfx=在I上是增函数B.函数2yx=在R上是增函数C.函数1yx=−在定义域上是增函数D.函数1yx=的单调减

区间是(,0)−和(0,)+三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）8.()yfx=是定义域R上的单调递增函数，则2(3)yfx=−的单调递减区间为__________.9.函数的单调递减区间为__________.10.若函数2

()(1)fxxaxa=+−+在区间[2,)+上是增函数，则a的取值范围__________.11.函数的单调增区间是__________.12.若函数在区间上为增函数，写出一个满足条件的实数a的值__________.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题12.0分)判断函数1yxx=−，(0,)x+的单调性并说明理由.14.(本小题12.0分)3已知()yfx=在定

义域(1,1)−上是减函数，且(1)(21)fafa−−，求a的取值范围.15.(本小题12.0分)已知函数()|2|.fxxx=−(1)求作函数()yfx=的图像；(2)写出()fx的单调区间，并指出在各

个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)16.(本小题12.0分)讨论()(0)afxxax=+在(0,)+上的单调性.17.(本小题12.0分)定义在R上的函数()yfx=，(0)0f，当0x时，()1fx，且对任意的a、bR，有()(

)().fabfafb+=(1)求证：对任意的xR，恒有()0fx；(2)证明：()fx是R上的增函数；(3)若2()(2)1fxfxx−，求x的取值范围．18.(本小题12.0分)已知函数()fx满足：对定义域内任意12xx，都有成立.(1)若()f

x的定义域为[0,)+，且有成立，求a的取值范围；(2)若()fx的定义域为R，求关于x的不等式的解集.4答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的应用，以及利用函数图象得到函数的单调区间.根据图象，直接求解即

可．【解答】解：根据函数图象，可得单调递增区间为：[2,1].−故选.B2.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性比较大小以及利用作差法比较代数式的大小，属于较易题．利用特殊值法即可判断A、B；利用不等式的基本性质比较a与2a的大小关系，结合

()fx的单调性即可判断C；利用作差法比较2a与1a−的大小关系，结合()fx的单调性即可判断.D【解答】解：若1a=，则2aa=，1aa=，所以2()()fafa=，1()()fafa=，故A、B错误；因为0a，所以2aa，又()fx是R上的减函

数，所以()(2)fafa，故C错误；因为22213(1)1()024aaaaa−−=−+=−+，所以21aa−，又()fx是R上的减函数，所以2()(1)fafa−，故D正确．故选：.D3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与单调区间，复合函数的单调性，属于

基础题，函数2()23fxxx=−−是由yt=和函数223txx=−−复合而成，利用复合函数的单调性，可得答案.【解答】5解：由2230xx−−…，解得1x−„或3x…，所以函数的定义域为(,1][3,).−−+令223txx=−−，则函数2()23fxxx=−−是由yt=和223txx=−

−复合而成，()fxt=在定义域上单调递增，而函数223txx=−−在[3,)+上是增函数，根据复合函数单调性可知，函数2()23fxxx=−−的单调递增区间为[3,).+故选.B4.【答案】D【解析】【分析】根据题

意，由函数的对称性可得()fx在[1,3]上单调递增且15()()22ff−=，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性和对称性的应用，涉及抽象函数的性质应用，属于基础题．【解答】解：根据题意

，函数()fx的图象关于直线1x=对称，则15()()22ff−=，又由函数()yfx=在[1,1]−上单调递减，则函数()yfx=在[1,3]上单调递增，则有51(2)()()(3)22ffff=−，即bac，故选：.D5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查

运用函数单调性以及对称性比较大小，属于中档题．结合题设得()fx在(1,)+上单调递减，再结合函数()fx的图象关于直线1x=对称可得15()()22aff=−=，最后由函数()fx在(1,)+上的单调性即可得出a，b，c的大小关系.【解答】解：当21x1x时，21

21[f(x)-f(x)](x-x)0恒成立，()fx在(1,)+上单调递减，又函数()fx的图象关于直线1x=对称，，6又(2)bf=，()cfe=，且522e，()fx在(1,)+上单调递减，，ac.b故选.C6.【答

案】B【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的单调性，不等式求解，属于拔高题.根据题意可知函数在R上为单调递增，从而即可得到，进而即可求出a的取值范围.【解答】解：对任意12,xxR且12xx时

，有1212()()0fxfxxx−−，函数()fx在R上单调递增，又函数，，解得13562a剟，故选.B7.【答案】AD【解析】【分析】本题考查的知识要点：函数的单调性的定义和单调区间的确定，主要考查学生对基础定义的理解

和应用，属于基础题．利用函数单调性定义和基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】7解：对于A：若对任意1x，2xI，当12xx时，1212()()0fxfxxx−−，则有12()()fxfx，由函数单调性的定义可知()yfx=在I上是增函数，故A正确．对于B，由二次函数

的性质可知，2yx=在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，故B错误；对于C，由反比例函数单调性可知，1yx=−在(,0)−和(0,)+上单调递增，故C错误；对于D：由反比例函数单调性可知，1yx=单调减区间是(,0)−和(0,)+，故D正确．故选：.AD8.【答

案】[0,)+【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求23yx=−的单调递减区间，求出即可．【解答】解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，因为()yfx=是定义域R上的单

调递增函数，要求2(3)yfx=−的单调递减区间，即求23yx=−的单调递减区间，而函数23yx=−在[0,)+单调递减，故2(3)yfx=−的单调递减区间是[0,),+故答案为：[0,).+9.【答案】(,0)−，(0,)+【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性，属于

基础题.将原函数变形为11()1xfxxx+==+，通过研究函数的图象得到单调区间.【解答】8解：因为11()1xfxxx+==+，所以函数()fx的图象是将1yx=向上移动1个单位，单调性不改变，易知1yx=的单调递减区间为(,0)−，(0,)+，所以()f

x的单调递减区间为(,0)−，(0,)+故答案为(,0)−，(0,).+10.【答案】[3,)−+【解析】【分析】本题考查函数单调性的性质，熟练二次函数图象特征是解决问题的基础．根据函数()fx的图象特征及()fx在区间[2

,)+上单调递增，得对称轴位于区间左侧或左端点处，由此得不等式，解出即可．【解答】解：函数2()(1)fxxaxa=+−+图象开口向上，对称轴为12ax−=−，由函数()fx在区间[2,)+上单调递增

，得122a−−„，解得3a−…，所以a的取值范围是[3,).−+故答案为：[3,).−+11.【答案】[1,1]−和[3,)+【解析】【分析】本题考查函数的单调性，涉及二次函数的单调性，绝对值函数的图象的作法.画出函数的图象，利用函数的图象求函数的单调区间.【解答】解：由2230xx

−−=，可得1x=−或3x=，且函数223yxx=−−的对称轴为1x=，所以，9作出函数()fx的图象如图所示，可知函数()fx的单调递增区间为[1,1]−和[3,).+故答案为[1,1]−和[3,).+12.【答案】0(答案不唯一)【解析】【分析

】将()fx写成分段函数，根据二次函数的图象，结合对称轴的分类讨论，即可容易求得.本题考查分段函数的图象，以及根据分段函数的单调区间求参数范围，属较难题.【解答】解：根据题意可知对，其对称轴1.2ax−=当12aa−−…，即1a−…时，(为方便说明，

略去y轴以及坐标原点)其示意图图象如下所示：由图可知，此时要满足题意，只需2a−…或112a−„，解得2a−„或1.a−…又因为1a−…，故此时要满足题意，只需1a−…；10当12aa−−，即1a−时，(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)其示意图图象如下所示

：此时要满足题意，只需1a−„或122a−…，解得1a−…或3a−„，又因为1a−，故此时要满足题意，只需3.a−„综上所述：1a−…或3.a−„具体到本题答案可以在此区间中任取一个数即可.本题中，选取0.a=故答案为：0.(答案不唯一)13.【答案】解：根据题意，函数1yxx=−在(

0,)+上递增，证明：设1()fxxx=−，设120xx，则12121211()()()()fxfxxxxx−=−−−12121()(1)xxxx=−+，又由120xx，则12()()0fx

fx−，所以12()()fxfx，故函数1yxx=−在(0,)+上单调递增．【解析】本题考查函数单调性的判断和证明，注意作差法的应用，属于基础题．根据题意，设120xx，由作差法分析可得结论．1114.【答案】解：

由题意可知，，解得20.3a即a的取值范围为【解析】本题主要考查了利用函数的单调性解函数不等式，属于基础题.根据函数的单调性以及定义域列出不等式组，求解即可.15.【答案】(1)因为，所以作出函数()yfx=的图象如下图所示：(2)

由图象可知：函数()yfx=在(,1),(2,)−+上单调递增，在上单调递减.【解析】本题考查分段函数的图象和由图象得出函数的单调性，属于中档题.(1)由已知得，可作出函数()yfx=的图像；(2)由图象可得出函数的单调性.16.【答案

】解：任取1x，2(0,)x+，且12xx，则2121212121()()()()()()aaaafxfxxxxxxxxx−=+−+=−+−122112211212()()()().axxxxxxaxxxxxx−−−=−+=1x，2(0,)

x+，120.xx12xx，210.xx−12①若0a，则120xxa−，21()()0fxfx−，即12()()fxfx，()fx在(0,)+上单调递增．②若0a，则当120xxa„时，120xxa−，21()()0fxfx−

，即12()()fxfx，()fx在(0,]a上单调递减；当21xxa时，120xxa−，21()()0fxfx−，即12()()fxfx，()fx在(,)a+上单调递增．综上可知，当0a时，()afxxx=+在(0,)+上单调递增；当0a时，()afxxx=+在(0,

]a上单调递减，在(,)a+上单调递增．【解析】本题考查了函数单调性的性质与判断，用定义法证明函数单调性，要掌握定义法证明函数单调性的步骤，本题的难点在于确定a的分类标准，属中档题.利用证明函数单调性的一般步骤，任取1x，2(0,)x+，且12xx，则作差后2121212121()()

()()()()aaaafxfxxxxxxxxx−=+−+=−+−122112211212()()()()axxxxxxaxxxxxx−−−=−+=，确定a的分类标准，分别确定作差的正负，即可确定()fx的单调性．17.

【答案】(1)证明：令0ab==，则2(0)(0)ff=，(0)0f，(0)1f=，当0x时，0x−，(0)()()1ffxfx=−=，1()0()fxfx−=，0x时，()0fx，又0x时，()10fx，对任意的xR，恒有()0

.fx(2)证明：设12xx，则210xx−，2211211()()()()fxfxxxfxxfx=−+=−，210xx−，21()1.fxx−13又1()0fx，2111()()()fxx

fxfx−，21()()fxfx，()fx是R上的增函数．(3)解：由2()(2)1fxfxx−，(0)1f=得2(3)(0).fxxf−又()fx是R上的增函数，230xx−，03x，x的取值范围是(0,3

).【解析】本题考查了抽象函数，考查了函数的单调性与一元二次不等式的解法.(1)首先求得(0)1f=，然后可证明当0x时，()0fx，即可得解；(2)利用单调函数的定义证明，设12xx，将2()fx写成211[()]fxxx−+的形式后展开，结

合(2)的结论即可证得；(3)由2()(2)(0)fxfxxf−得2(3)(0)fxxf−，结合()fx的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可．18.【答案】解：由题意得()fx在定义域内单调递减，的定义域为[0,),+且有成立，则，解之得，故13a„，所以a的取值范

围是13a„；(2)不等式的解集，等价于2220mxmxx+−−的解集，即的解集，①当0m=时，不等式解集为；②当0m时，不等式的解集为或1}xm；③当0m时，即求不等式的解集，()i当12m=−即12m=−时，不等式的解集为；()

ii当12m−即12m−时，不等式的解集为；14()iii当12m−即102m−时，不等式的解集为【解析】由题意得()fx在定义域内单调递减，(1)可得，解不等式组即可得答案；(2)由题即求不等式2220mxmxx+−−

的解集，分类讨论，即可得答案；本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.