【文档说明】山西省太原市山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学评分细则.docx，共(8)页，579.521 KB，由管理员店铺上传

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山西大学附中2022—2023学年第一学期期中考试高二年级（总第三次）数学评分细则123456789101112ABBCBDCADBDD13.336414.115.15216.4517．已知a(3,2,3)=−−，b(1,3

,1)=−，求：（1）);2()2(baba+−（2）以ba,为邻边的平行四边形的面积.【详解】（1）由a(3,2,3)=−−，b(1,3,1)=−a－2(5,8,5)b=−−，2a＋(5,1,5)b=−−...............................2分(a－2b)·(2a

＋b)=55(8)(1)(5)(5)58+−−+−−=...............................4分（2）1262cos,11||||2211ababab−===−...............................7分27sin,1cos,11a

bab=−=...............................8分故以a，b为邻边的平行四边形的面积：7||||sin,22117211Sabab===............

...................10分18．已知圆221:1Cxy+=，圆222:4440Cxyxy++−+=，直线l过点()1,2M.(1)求圆2C的圆心和半径；(2)若直线l与圆1C相切，求

直线l的方程；(3)求圆1C和圆2C的公共弦长.【详解】（1）因为圆222:4440Cxyxy++−+=可化为22(2)(2)4xy++−=，所以圆2C的圆心坐标为2(2,2)C−，半径22r=.....................

...........2分（2）因为过点(1,2)M的直线l与圆221:1Cxy+=相切，所以分两种情况：若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为1x=；...............................3分若直线l的斜率存在，设直线l

的方程为2(1)ykx−=−，也即20kxyk−−+=，由点到直线的距离公式可得：2211kdk−==+，解得：34k=，...............................5分此时直线l的方程为3450xy−+=，...............

................6分所以直线l的方程为3450xy−+=或10x−=................................7分（3）因为圆1C的圆心坐标1(0,0)C,半径11r=，则2112211=223rrCCrr=

−+=，所以两圆相交，...............................8分两圆方程联立可得公共弦所在直线方程为：4450xy−+=，...............................9分圆

1C的圆心到公共弦的距离22552844d==+，...............................10分由垂径定理可得公共弦长为2212514221324rd−=−=，所以圆1C和圆2C的公共弦长为144................................

12分19.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且过点31,2P.(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于BA、两点，求OAB的面积.【详解】（1）因为椭圆的中心在

原点，焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab+=，因为椭圆的长轴长为4，所以42=a，得2=a...............................1分又过点)23,1(P，所以149122=+ba，得32=b....................

...........3分所以椭圆的标准方程为：22143xy+=；...............................4分（2）由（1）可知：()1,0F，倾斜角为45的直线l的斜率为1，所以直线l的方程为：01(

1)yx−=−即10xy−−=，...............................5分代入椭圆方程中，得22(1)143xx−+=，27880xx−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，...............................6分所以1287x

x+=，1287xx=−...............................8分因此()2121264321142497724xxxxAB=++−=+=，...............................10分原点到直线AB的距离12211d==+，..........

.....................11分112426222727OABSdAB===△，所以OAB的面积为627................................12分20．如图，四棱锥PABCD−中

，PD⊥底面,//,,2224ABCDABCDABBCABPDDCBC⊥====，M为CD的中点，14PNPB=.(1)求证：PADMN平面//；(2)求平面ANMPAN和平面夹角的余弦值.（1）在PA上取一点Q，使得14PQPA=，12DCAB=，M为CD的中点，则14MDBA=

，而()1144NQPQPNPAPBBA=−=−=，所以NQMD=，即//NQMD，NQMD=，所以四边形MNQD是平行四边形，则//MNDQ，...............................3分又MN平面PAD，DQ平面PAD，所以//

MN平面PAD...............................5分（2）以D为原点，DC，DP分别为y轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0A−，()002P,,，()2,2,0B，()0,1,0M()2,2,2AP=−，()2,2,2PB=−，()2,3,0AM=

−，1353,,4222ANAPPNAPPB=+=+=−...............................6分设平面PAN的法向量为(),,mxyz=，则00mAPmAN==，，22203530222xyzxyz−++=−++=，所以

0y=，取1x=，可得1z=，()1,0,1m=...............................8分设平面ANM的法向量为(),,nxyz=，则0nAN=，0nAM=，230353

0222xyxyz−+=−++=，取9x=，6y=，1z=−，()9,6,1n=−...............................10分8459cos,592118mn==，..........................

.....11分设平面ANMPAN和平面夹角为，则59594,coscos==nm所以平面ANMPAN和平面夹角的余弦值为59594...............................12分21．如图，在三棱柱111CBAABC−中，ABC为等边三角形，四边形11

BBCC是边长为2的正方形，D为AB中点，且51=DA.(1)求证：CD⊥平面11ABBA；(2)若点P在线段CB1上，且直线AP与平面CDA1所成角的正弦值为552，求点P到平面CDA1的距离.（1）证明：由题知112,1,5AAADAD===，222115ADAA

AD+==1AAAD⊥，...............................1分又111,BBBCBBAA⊥∥，所以1AABC⊥，...............................2分又ADBCB=，,ADBC平面ABC，所以1AA⊥平

面ABC，又CD平面ABC，所以1CDAA⊥，...............................3分在正ABC中，D为AB中点，于是CDAB⊥，.............................

..4分又1ABAAA=，1,ABAA平面11ABBA，所以CD⊥平面11ABBA..............................5分（2）取BC中点为11,OBC中点为Q，则,OABCOQBC⊥⊥，由（1）知，1AA⊥平面ABC

，且OA平面ABC，所以1OAAA⊥，又11BBAA∥，所以11,OABBBBBCB⊥=，1,BBBC平面11BCCB所以OA⊥平面11BCCB，于是,,OAOBOQ两两垂直..................

...........6分如图，以O为坐标原点，,,OBOQOA的方向为x轴､y轴､z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,0,0,3,0,2,3,1,0,0OAAC−，()113,0,,1,2,022DB，所以()133,0,,1,2,322CDC

A==，()()12,2,0,1,0,3CBAC==−−.设平面1ACD的法向量为(),,nxyz=，则100nCDnCA==，即33022230xzxyz+=++=，令1x=，则3,1zy=−=，于是()1,1,3n=−..................

..............8分设()12,2,0,0,1CPCB==，则()121,2,3APACCPACCB=+=+=−−.由于直线AP与平面1ACD所成角的正弦值为255，22212325cos,51

13(21)(2)3APn−++==++−++，...............................9分即2221(21)(2)3+=−++，整理得24830−+=，由于0,1

，所以1,2=...............................10分于是()11,1,0CPCB==.设点P到平面1ACD的距离为d，则11255113CPndn+===++，所以点P到平面1ACD的距离为

255...............................12分22．已知点)1,1(P在椭圆)0(1:2222=+babyaxC上，椭圆C的左､右焦点分别为21,FF，21FPF的面

积为26.(1)求椭圆C的方程；(2)设点BA,在椭圆C上，直线PBPA,均与圆)10(:222=+rryxO相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.由题知，22111ab+=，................

...............1分12PFF△的面积等于121622FFc==，...............................2分所以22232abc−==，...............................3分解得223

3,2ab==，所以椭圆C的方程为222133xy+=................................4分（2）设直线PA的方程为111ykxk=−+，直线PB的方程为221ykxk=−+，由题知12111krk−=+，所以()()2221111k

rk−=+，...............................5分所以()222111210rkkr−−+−=，同理，()222221210rkkr−−+−=，所以12,kk是方程()2221210rx

xr−−+−=的两根，所以121kk=................................6分设()()1122,,,AxyBxy，设直线AB的方程为ykxm=+，将ykxm=+代入222133xy+=，得()222124230kxkmxm+++−=，所以122412kmx

xk+=−+，①212223,12mxxk−=+②...............................7分所以()121222212myykxxmk+=++=+，③()()()2222121212122312mkyykxmkxmkx

xkmxxmk−=++=+++=+，④又因为()()()()()()12121212121212121211111111111yyyyyyyykkxxxxxxxx−−−++−−====−−−−−++，⑤将①②③④代入⑤，化简得22

34230kkmmm+++−=，...............................10分所以()()234310kkmmm+++−=，所以()()3310mkmk+++−=，若10mk+−=，则直线():111ABykxkkx=+−=−+，此时AB过

点()1,1P，舍去................................11分若330mk++=，则直线():3333ABykxkkx=−−=−−，此时AB恒过点()3,3−，所以直线AB过定点()3,3−............................

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