【文档说明】云南省峨山彝族自治县第一中学2020-2021学年高二12月月考数学（理）试题 含答案.docx，共(11)页，246.279 KB，由小赞的店铺上传

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峨山一中2020-2021学年上学期12月月考高二理科数学试卷一、选择题（共12小题，共60分）1.已知集合𝐴={𝑥∣2𝑥+1>3},𝐵={𝑥∣∣𝑥2−𝑥−2<0}，则𝐴∪𝐵=(D)A.}2

1{xxB.}11{−xxC.}112{−xxx或D.}1{−xx2.下列函数中，表示同一个函数的是(D)A.𝑦=𝑥2与𝑦=(√𝑥)4B.𝑦=√𝑥+1⋅√𝑥−1与𝑦=√𝑥2−1C

.𝑦=∣𝑥∣𝑥与𝑦={1(𝑥≥0),−1(𝑥<0).D.𝑦=𝑥2与𝑦=𝑡23.执行如图所示的程序框图，则输出𝑛的值是(B)A.5B.6C.7D.8(第3题)4.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎3+𝑎5=10，则𝑎7=(C)A.5B.7C.

8D.105.在集合}40{M=xx中随机取一个元素，恰使函数𝑦=log2𝑥大于1的概率为(A)A.12B.14C.1D.346.函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−2的零点所在区间是(B)A.(0,12)B.(

12,1)C.(1,2)D.(2,3)7.用秦九韶算法计算多项式𝑓(𝑥)=2𝑥6+3𝑥5+5𝑥3+6𝑥2+7𝑥+8在𝑥=2时的值时，𝑣2的值为(B)A.2B.14C.19D.338.已知函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥+2√3sin𝑥cos𝑥(𝑥∈R)，函

数𝑓(𝑥)的图象可由𝑦=2sin𝑥(𝑥∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到(C)A.先将横坐标变为原来两倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位B.先将横坐标变为原来一半，纵坐标不变，再向左平移π6个

单位C.先向左平移π6个单位，再将横坐标变为原来的一半，纵坐标不变D.先向左平移π12个单位，再将横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变9.已知𝑎=3−23,𝑏=2−43,𝑐=ln3，则(A)A.𝑏<𝑎<𝑐B.𝑎<𝑏<𝑐C.𝑏<𝑐<𝑎

D.𝑎<𝑐<𝑏10.函数y=2∣𝑥∣sin2x的图象可能是(D)A.B.C.D.11.“𝑘>9”是“方程𝑥29−𝑘+𝑦2𝑘−4=1表示的图形为双曲线”的(A)A.充分不必要条件B.必

要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知𝐹1，𝐹2分别是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点，在直线𝑥=−𝑎上有一点𝑃，使∣∣𝑃𝐹1∣∣=∣∣𝐹1𝐹2∣∣，且∠𝑃𝐹1𝐹2=120

∘，则椭圆的离心率为(B)A.13B.12C.23D.2二、填空题（共4小题，共20分）13.双曲线𝑥24−𝑦24=1的渐近线方程为14.已知𝑎=(−1,1),𝑏=(1,0)，若(𝑎−𝑏)⊥(2𝑎+𝜆𝑏)，则𝜆=15.某几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为．16.已知抛

物线𝐶：𝑦2=4𝑥，𝑂为坐标原点，𝐹为𝐶的焦点，𝑃是𝐶上一点．若△𝑂𝑃𝐹是等腰三角形，则∣𝑃𝑂∣=．三、解答题（共6小题，共70分）17.等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=3，𝑎5=81．（1）求𝑎𝑛；（2）设𝑏𝑛=log3𝑎𝑛，求数

列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．18.为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，频率分布直方图（如图所示）．（1）在下面表格中填写相应的频率；分组频率[1.00,

1.05)[1.05,1.10)[1.10,1.15)[1.15,1.20)[1.20,1.25)[1.25,1.30)（2）估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置

捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．19.△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知𝐵=2𝐶，2𝑏=3𝑐．（1）求cos𝐶；（2）若𝑐=4，求△𝐴𝐵𝐶的面积．20.已知

椭圆𝐶：3𝑥2+𝑦2=12，直线𝑥−𝑦−2=0交椭圆𝐶于𝐴，𝐵两点．（1）求椭圆𝐶的焦点坐标及长轴长；（2）求以线段𝐴𝐵为直径的圆的方程．21.如图所示，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶�

�为菱形，且直线𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，点𝐸为𝐶𝐷的中点，∠𝐴𝐵𝐶=60∘．（1）求证：直线𝐸𝐴⊥平面𝑃𝐴𝐵；（2）求直线𝐸𝐴与平面𝑃𝐶𝐷所成角的正切值．22

.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件

．（1）设一次订购量为𝑥件，服装的实际出厂单价为𝑃元，写出函数𝑃=𝑓(𝑥)的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元?（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价−成本）答案填空：13.𝑦=

±𝑥14.315.2316.32或1第三部分17.（1）设{𝑎𝑛}的公比为𝑞，依题意得{𝑎1𝑞=3,𝑎1𝑞4=81,解得{𝑎1=1,𝑞=3.因此𝑎𝑛=3𝑛−1.（2）因为𝑏𝑛=log3𝑎𝑛=log33𝑛−1=𝑛−1,所以𝑆𝑛=0+1+2+⋯+(𝑛−1)

=(0+𝑛−1)2𝑛=𝑛2−𝑛2.18.（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距×(频率/组距)，故可得下表：分组频率[1.00,1.05)0.05[1.05,1.10)0.20[1.10,1.15

)0.28[1.15,1.20)0.30[1.20,1.25)0.15[1.25,1.30)0.02（2）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47．（

3）120×1006=2000，所以水库中鱼的总条数约为2000条．19.（1）由正弦定理得，2sin𝐵=3sin𝐶．因为𝐵=2𝐶，所以2sin2𝐶=3sin𝐶，所以4sin𝐶cos𝐶=3sin𝐶，因为𝐶∈(0,π)，sin

𝐶≠0，所以cos𝐶=34．（2）由题意得，𝑐=4，𝑏=6．因为𝐶∈(0,π)，所以sin𝐶=√1−𝑐𝑜𝑠2𝐶=√74，sin𝐵=sin2𝐶=2sin𝐶cos𝐶=3√78，cos𝐵=cos2𝐶=𝑐𝑜𝑠2𝐶−𝑠𝑖𝑛2𝐶=1

8，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛(π−𝐵−𝐶)=𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=3√78×34+18×√74=5√716.所以𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin𝐴=12×6×4×5√71

6=15√74.20.（1）原方程等价于𝑥24+𝑦212=1．由方程可知：𝑎2=12，𝑏2=4，𝑐2=𝑎2−𝑏2=8，𝑐=2√2．所以椭圆𝐶的焦点坐标为(0,2√2)，(0,−2√2)，长轴长2𝑎为4√3．（2）由可得：𝑥2−𝑥−2=0．解得：𝑥=2或𝑥=−1

．所以点𝐴，𝐵的坐标分别为(2,0)，(−1,−3)．所以𝐴，𝐵中点坐标为(12,−32)，∣𝐴𝐵∣=√(2+1)2+(0+3)2=3√2．所以以线段𝐴𝐵为直径的圆的圆心坐标为(12,−32)，半径为3√22．所以以线段𝐴𝐵为直径的圆

的方程为(𝑥−12)2+(𝑦+32)2=92．21.（1）证明：因为∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=60∘，𝐸𝐷=1，𝐴𝐷=2，所以△𝐴𝐸𝐷是以∠𝐴𝐸𝐷为直角的Rt△，𝐸𝐴⊥𝐶𝐷．又因为𝐴𝐵∥𝐶𝐷，所以𝐸𝐴⊥𝐴�

�．由已知得𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸𝐴⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐸𝐴⊥𝑃𝐴．因为𝐸𝐴⊥𝐴𝐵，𝐸𝐴⊥𝑃𝐴，直线𝐴𝐵与直线𝑃𝐴相交于点𝐴，所以𝐸𝐴⊥平面𝑃𝐴𝐵．（

2）如图所示，连接𝑃𝐸，过𝐴点作𝐴𝐻⊥𝑃𝐸于𝐻点．因为𝐶𝐷⊥𝐸𝐴，𝐶𝐷⊥𝑃𝐴，所以𝐶𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐸，所以𝐴𝐻⊥𝐶𝐷．又𝐴𝐻⊥𝑃𝐸，所以𝐴𝐻⊥平面𝑃𝐶𝐷，所以∠𝐴𝐸𝑃为直线𝐴

𝐸与平面𝑃𝐶𝐷所成角．在Rt∠𝑃𝐴𝐸中，因为𝑃𝐴=2，𝐴𝐸=√3，所以tan∠𝐴𝐸𝑃=𝑃𝐴𝐴𝐸=2√3=2√33．22.（1）当0<𝑥≤100时，𝑃=60；当100<𝑥≤500时，𝑃=60−0.02(𝑥−100)=62−𝑥50．所以𝑃=𝑓(

𝑥)={60,0<𝑥≤100,62−𝑥50,100<𝑥≤500.(𝑥∈𝐍)（2）设销售商的一次订购量为𝑥件时，工厂获得的利润为𝐿元，则𝐿=(𝑃−40)𝑥={20𝑥,0<𝑥≤100,22𝑥−𝑥250,100<𝑥≤500

.(𝑥∈𝐍)当𝑥=450时，𝐿=5850．因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．