【文档说明】云南省峨山彝族自治县第一中学2020-2021学年高二12月月考数学（文）试卷 含解析.doc，共(15)页，1.047 MB，由小赞的店铺上传

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峨山一中2020-2021学年上学期12月月考高二文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.函数1yxx=−+的定义域为（）A.(,1−B.0,1C.)0,+D.(),01,

−+————B分析：根据偶次根式的被开方非负列式可解得结果.解答：由100xx−得01x，所以函数1yxx=−+的定义域为0,1.故选：B2.若,ab为实数，且2ab+=，且33ab+的最小值为（）A.18B.6C.23D.423

————B分析：根据基本不等式可知33233abab+，结合条件求解出33ab+的最小值.解答：因为233233236ababab++==，取等号时1ab==，所以33ab+的最小值为6，故选：B.点拨：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要

注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时

，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3.已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（）A.27.5B.28.5C.27D.28————A分析：将茎

叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.解答：将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：16,17,19,22,25,27,28,30,30,32,36,40，所以这组数据的中位数是272827.52+=.故选：A.点拨：关键点点睛：理解茎叶图，掌

握中位数的定义是本题的解题关键.4.在ABC中，2223bacac−−=，则BÐ的大小（）A.30B.60C.120D.150————D分析：根据余弦定理求解即可.解答：解：由已知得：2223acbac+−=−，所以由余弦定理得：22233cos222acbacB

acac+−−===−，又因为()0,B，所以150B=.故选：D.5.“0x”是“10x−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件————B分析：根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.解答：由题意知“0x”是“10x−”，当0x时

，则10x−不一定成立，即充分性不成立；当10x−时，可得0x成立，即必要性成立，所以“0x”是“10x−”必要不充分条件.故选：B.6.不等式4x2﹣4x+1≥0的解集为（）A.{}B.{x|x}C.RD.∅———

—C解答：试题分析：把原不等式化为（2x﹣1）2≥0，由此解出不等式的解集．解：不等式4x2﹣4x+1≥0可化为（2x﹣1）2≥0，解得x∈R；∴该不等式的解集为R．故选C．考点：一元二次不等式的解法．7.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2

的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A.433B.423C.36D.83————A分析：由三视图可知，该几何体为正四棱锥，根据三视图中数据，利用锥体体积公式可得结果,.解答：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是边长为2的正方形，面积为4，四棱

锥的高是正视图与侧视图三角形的高，为3，所以，该几何体的体积为1434333=，故选A.点拨：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特

别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8.已知1sin44+=，则sin2的值为（）A.78B.158C.158−D.78−————D分析：先利用和角公式展开1sin4

4+=，平方可求sin2.解答：221sincossin4224+=+=平方可得11(1sin2)216+=，所以7sin28=−,故选D.点拨：本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,

侧重考查数学运算的核心素养.9.若向量,ab满足1ab==rr，且()32abb+=，则向量,ab夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°————C分析：根据()32abb+=，解得12ab=，然后由cos,ababab=求解

.解答：因为向量,ab满足1ab==rr，且()32abb+=，所以()232abbabb+=+=解得12ab=，所以1cos,2ababab==，因为,0,180ab，所以,60ab=.故选：C10.直线3450x

y+−=与圆224xy+=相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A.33B.23C.3D.1————B分析：先由点到直线距公式求出圆心到直线距离d，再由弦长222rd=−，即可得出结果.解答：因为圆224xy+=圆心为(0,0)，半径为2r

=；所以圆心(0,0)到直线3450xy+−=的距离225134d−==+，因此，弦长22224123rd=−=−=.故选B点拨：本题主要考查求直线被圆所截的弦长，熟记几何法求解即可，属于基础题型.11.在等比

数列{}na中，na>0，且2a4a+23a5a+4a6a=25，那么3a+5a=（）A.5B.10C.15D.20————A分析：根据等比数列的性质，得到223355225aaaa++=，即可求解.解答：由题意，等比数列{}na中，na>0，且2a4a+

23a5a+4a6a=25，根据等比数列的性质，可得2223355352()25aaaaaa++=+=，因为0na，所以355aa+=.故选：A.12.在区间1,1−上任取两个数x、y，则满足2214xy+的概率是（）

A2B.8C.16D.4————C分析：根据几何概型的概率公式可求得结果.解答：依题意可知，11x−，11y−表示一个矩形区域，2214xy+表示圆面，如图：根据几何概型可得所求概率为142216=.故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向

量(2,)at=，(1,2)b=，若//ab，则t=_____.————4分析：根据平面向量平行的坐标表示可得结果.解答：因为//ab，所以220t−=，得4t=.故答案为：414.设()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()22fxxx

=−，则()1f=____.————3−分析：已知0x时，解析式()22fxxx=−，故可求得f（-1），进而根据函数是奇函数，求得f（1）=-f（-1）.解答：∵()fx是奇函数，∴()()()()2112113ff−=−=−−−=．

∴f（1）=-3.点拨：本题考查函数奇偶性的应用，若函数是奇函数，则f（-x）=-f（x），若函数是偶函数，则f（-x）=f（x）.利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.15.若实数,xy满足约束条件1{2220x

yxy+−，则2zxy=+的最大值是.————5解答：试题分析：如图作出可行域,由目标函数可得122zyx=−+.在过()1,2点时,在y轴上截距最大.故最大值1225z=+=.故本题应填5.考点：简单的线性规划．16.在三

棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，90BAC=，1AB=，2AC=，3PA=，则三棱锥PABC−的外接球的表面积是___________.————14分析：以,,ABACPA为长宽高构建长方体，则长方体的

外接球是三棱锥PABC−的外接球，由此能求出三棱锥PABC−的外接球的表面积.解答：由题意，在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，90BAC=，1AB=，2AC=，3PA=，以,,ABACPA为长宽高构建长方体

，则长方体的外接球是三棱锥PABC−的外接球，所以三棱锥PABC−的外接球的半径为22211412322R=++=，所以三棱锥PABC−的外接球的表面积为221444142SR===.故答案为：14点拨：方法点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中

根据几何体的结构特征，以,,ABACPA为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥PABC−的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共6题，共70分.)1

7.已知函数2()2sin23sincos1.fxxxx=++求：（1）()fx的最小正周期；（2）()fx在[0,]2上的值域.————（1）；（2）1,4.分析：（1）根据恒等变换公式化简()fx，利用正弦型函数的周期公式可求得结果

；（2）根据正弦函数的图象可求得结果.解答：（1）21()2sin23sin212fxxx=++1cos23sin21xx=−++3sin2cos22xx=−+2sin226x=−+∴

()fx的最小正周期为（2）02x∴52666x−−∴1sin(2),162x−−∴()1,4fx.所以()fx在[0,]2上的值域为1,4.18.某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如

下表：指标1号小白鼠2号小白鼠3号小白鼠4号小白鼠5号小白鼠A57698B22344（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系.试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）现要从这5只小白鼠中

随机抽取2只，求其中至少有一只小白鼠的B项指标数据高于3的概率.参考公式：()1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−.————（1）112

2yx=−；（2）710.分析：（1）根据题中数据，先计算x，y，再由公式计算出ˆb与ˆa，即可得出回归直线方程；（2）先设1号至5号小白鼠依次为1a，2a，3a，4a，5a，根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基

本事件，基本事件的个数比即为所求概率.解答：(1)由题意，可得5769875x++++==，2234435y++++==5152222221()()(2)(1)0(1)(1)021111ˆ(2)0(1)212()iiiiixxyybxx=

=−−−−+−+−++===−++−++−∵ˆˆaybx=−，∴12a=−∴所求线性回归方程为11ˆ22yx=−；(2)设1号至5号小白鼠依次为1a，2a，3a，4a，5a，则在这5只小白鼠中随机抽取2只的抽取情况有:1a2a，1a3a

，1a4a，1a5a，2a3a，2a4a，2a5a，3a4a，3a5a，4a5a共10种.随机抽取的2只小白鼠中至少有一只的B项指标数据高于3的情况有1a4a，1a5a，2a4a，2a5a，3a4a，3a5a，4a5a共7种.∴从这5只小白鼠中随机抽取2只，其中

至少有一只小白鼠的B项指标数据高于3的概率为710.点拨：思路点睛：利用最小二乘法求回归直线方程的一般步骤：（1）先由题中数据求出两变量的平均数x、y，（2）再根据1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆ=−ay

bx，求出ˆb和ˆa，（3）将系数代入回归直线方程，可得回归直线方程.19.如图，四棱锥PABC−中，PA⊥平面ABCD，ADBC∥，3ABADAC===，4PABC==，M为线段AD上一点，2AMMD=，N为PC的中点．（I）证明MN∥平面PAB；（II）求四面体NBCM−的体积.—

———(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)453.解答：试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱P

A的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T，连接，由N为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N为的中点，所以N到平面的距离为.取的中点，连结.由得，

.由得到的距离为，故145252BCMS==.所以四面体的体积145323NBCMBCMPAVS−==.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行

来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20.已知数列na的前n项和为nS，12a=，2nSnn=

+.（1）求数列na的通项公式；（2）求1nS的前n项和nT.————（1）2nan=；（2）1nnTn=+.分析：（1）根据1(2)nnnaSSn−=−可求得结果；（2）利用裂项求和方法可求得结果.解答：（1）∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，an＝Sn

－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2满足上式，∴an＝2n（2）∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，∴()111111nSnnnn==−++，∴11111(1)()()2231nTnn=−+−++−+111

n=−+1nn=+.21.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22(sinsin)sinsinsinBCABC−=−.（1）求A；（2）若2a=，求ABC面积的最大值.————（1）3；（2）3.分析：（1）由22(sinsin)sinsinsi

nBCABC−=−，平方展开再利用正弦定理222bcabc+−=，然后利用余弦定理求解..(2)利用余弦定理222cos2bcaAbc+−=，结合基本不等式得到4bc，再由1sin2SbcA=求解.解答：（1

）因为22(sinsin)sinsinsinBCABC−=−，所以222sinsinsinsinsinBCABC+−=，由正弦定理可得：222bcabc+−=，2221cos22bcaAbc+−==，(0,)A，3A=.

(2)222cos2bcaAbc+−=，221422bcbc+−=，22424bcbcbc=+−−，4,2bcbc==等号成立，133sin43244SbcAbc===，max3S=，点拨：方法点睛：有关三角

形面积最值的求法：（1）利用正余弦定理转化为边，再利用基本不等式求解；（2）利用正余弦定理转化为角，结合三角恒等变换，再利用三角函数的性质求解.22.已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD

|＝410.（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程.————（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40分析：（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），

求出,ab的值，即得圆P的方程.解答：（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.所以1CDk=−.则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.（2）设圆心P（a，b），则由点P

在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，所以（a＋1）2＋b2＝40.②由①②解得36ab=−=或52ab==−所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.所以圆P的方程为（x＋3

）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.点拨：本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.