【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.8 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(13)页，92.130 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-354af5867a51e5faf29aae35b85ef5ed.html

以下为本文档部分文字说明：

专题2.8直线的交点坐标与距离公式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）两平行线𝑥+𝑦−1=0与2𝑥+2𝑦−7=0之间的距离是（）A．3

√2B．32√2C．54√2D．6【解题思路】根据平行线间距离公式求解.【解答过程】方程𝑥+𝑦−1=0可化为2𝑥+2𝑦−2=0，所以两平行线之间的距离为|−2−(−7)|√22+22=54√2.故

选：C.2．（3分）（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,−6),C(5,2)，则过A点的中线长为（）A．√10B．2√10C．11√2D．3√10【解题思路】先求出BC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可【解答过程】设过

A点中线长即为线段AD.D为BC中点：𝐷(3+52,−6+22)，即D（4，−2）∴|𝐴𝐷|=√(4−2)2+(−2−4)2=√4+36=2√10故选：B.3．（3分）（2022·江苏·高二课时练习）经

过两直线𝑙1:2𝑥−𝑦+3=0与𝑙2:𝑥+2𝑦−1=0的交点，且平行于直线3𝑥+2𝑦+7=0的直线方程是（）A．2𝑥−3𝑦+5=0B．2𝑥+3𝑦−1=0C．3𝑥+2𝑦−2=0D

．3𝑥+2𝑦+1=0【解题思路】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为3𝑥+2𝑦+𝑚=0，将交点坐标代入方程，即可求出参数𝑚的值，即可得解；【解答过程】解：由{2𝑥−𝑦+3=0𝑥+2𝑦−1=0，解得{𝑥=−1𝑦=1，所以

直线𝑙1:2𝑥−𝑦+3=0与𝑙2:𝑥+2𝑦−1=0的交点为(−1,1)，设与直线3𝑥+2𝑦+7=0平行的直线为3𝑥+2𝑦+𝑚=0(𝑚≠7)，所以3×(−1)+2×1+𝑚=0解得𝑚=1，所以直线方程为3𝑥+2𝑦+1=0；故选：D.4．（3分）（2022·江

苏南京·高二开学考试）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为72，则点P的坐标为（）A．（4，0）或（10，0）B．（4，0）或（-10，0）C．（-4，0）或（10，0）D．（-4，0）或（1

1，0）【解题思路】先用两点距离公式求出|𝐴𝐵|，再求出直线𝐴𝐵的方程，再利用点线距离公式求出𝑃点到𝐴𝐵的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可.【解答过程】根据题意，设点𝑃的坐标为(𝑥,0)，则𝑘𝐴𝐵=

3−20−(−1)=1，故直线𝐴𝐵为：𝑦−3=𝑥，即𝑥−𝑦+3=0，故𝑃到直线𝐴𝐵上的距离为：𝑑=|𝑥−0+3|√12+(−1)2=|𝑥+3|√2，又因为|𝐴𝐵|=√(−1−0)2+(2−3)2=√2

，所以由𝑆△𝐴𝐵𝐶=12|𝐴𝐵|𝑑=12×√2×|𝑥+3|√2=|𝑥+3|2=72得|𝑥+3|=7，解得𝑥=4或𝑥=−10，即𝑃为(4,0)或(−10,0).故选：B.5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线𝑙1:𝑚𝑥−𝑦−2𝑚=0

，直线𝑙2与𝑙1平行且经过点𝑄(−1,4)，则𝑙1，𝑙2之间距离的最大值是（）A．6B．5C．4D．3【解题思路】判断出直线𝑙1恒过的定点𝐴的坐标，则|𝐴𝑄|即为所求距离的最大值.【解答过程】直线𝑙1:𝑚𝑥−𝑦−2𝑚=0，也即𝑦=𝑚(𝑥−2)，恒过定点

𝐴(2,0)；显然若直线𝑙2平行于𝑙1且过点𝑄，则𝑙1,𝑙2之间距离的最大值为|𝐴𝑄|.又|𝐴𝑄|=√(2+1)2+42=5.故选：B.6．（3分）（2022·全国·高三专题练习（文））设𝑚∈

𝑅，直线𝑥+𝑚𝑦+1=0恒过定点A，则点A到直线𝑚𝑥−𝑦−2𝑚+2=0的距离的最大值为（）A．1B．√3C．√5D．√13【解题思路】把直线𝑥+𝑚𝑦+1=0与𝑚𝑥−𝑦−2𝑚+2=0经过的定点求出来，利用数形结合可以得到点

𝐴(−1,0)到直线𝑚𝑥−𝑦−2𝑚+2=0的距离最大值即为|𝐴𝐵|的长，进而求出结果.【解答过程】𝑥+𝑚𝑦+1=0恒过的点为𝐴(−1,0)，直线𝑚𝑥−𝑦−2𝑚+2=0变形为𝑦−2=𝑚(𝑥−2)，恒过点𝐵(2,2)，所以点𝐴

(−1,0)到直线𝑚𝑥−𝑦−2𝑚+2=0的距离最大值即为|𝐴𝐵|的长，其中|𝐴𝐵|=√(2+1)2+22=√13.故选：D.7．（3分）（2022·江苏·高二专题练习）直线𝑙1，𝑙2是分别经过

𝐴(1,1)，𝐵(0,−1)两点的两条平行直线，当𝑙1，𝑙2间的距离最大时，直线𝑙1的方程是（）A．𝑥+2𝑦−3=0B．𝑥−𝑦−3=0C．𝑥+2𝑦+3=0D．𝑥−𝑦+3=0【

解题思路】由平行线与直线𝐴𝐵垂直时，平行线间距离最大，从而求得直线𝑙1的斜率得直线方程．【解答过程】解：由题意可得，𝑙1，𝑙2间的距离最大时，𝐴𝐵和这两条直线都垂直．由于𝐴𝐵的斜率为1+11−0=2

，故直线𝑙1的斜率为−12，故它的方程是𝑦−1=−12(𝑥−1)，化简为𝑥+2𝑦−3=0，故选：A．8．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知𝑃1(𝑎1,𝑏1)与𝑃2(𝑎2,

𝑏2)是直线𝑦=𝑘𝑥+1（𝑘为常数）上两个不同的点，则关于𝑙1：𝑎1𝑥+𝑏1𝑦−1=0和𝑙2：𝑎2𝑥+𝑏2𝑦−1=0的交点情况是（）A．存在𝑘、𝑃1、𝑃2使之无交点B．存在

𝑘、𝑃1、𝑃2使之有无穷多交点C．无论𝑘、𝑃1、𝑃2如何，总是无交点D．无论𝑘、𝑃1、𝑃2如何，总是唯一交点【解题思路】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出𝑎1,𝑏1,𝑎2,𝑏2的关系，然后解方程组，即可得出结论.【解答过程】解：因为𝑃1(𝑎1,

𝑏1)与𝑃2(𝑎2,𝑏2)是直线𝑦=𝑘𝑥+1上两个不同的点，直线斜率存在，所以𝑘=𝑏2−𝑏1𝑎2−𝑎1，即𝑎1≠𝑎2，并且𝑏1=𝑘𝑎1+1,𝑏2=𝑘𝑎2+1，则𝑎2𝑏

1−𝑎1𝑏2=𝑘𝑎1𝑎2+𝑎2−𝑘𝑎1𝑎2−𝑎1=𝑎2−𝑎1，联立{𝑎1𝑥+𝑏1𝑦−1=0𝑎2𝑥+𝑏2𝑦−1=0，消𝑦得(𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1)𝑥=𝑏2−𝑏1，

即(𝑎1−𝑎2)𝑥=𝑏2−𝑏1，所以𝑥=𝑏2−𝑏1𝑎1−𝑎2，所以方程组{𝑎1𝑥+𝑏1𝑦−1=0𝑎2𝑥+𝑏2𝑦−1=0有唯一解，即无论𝑘、𝑃1、𝑃2如何，总是唯一交点.故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高

三专题练习）已知直线l过点(3,4)，点𝐴(−2,2)，𝐵(4,−2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．𝑥−2𝑦+2=0B．2𝑥−𝑦−2=0C．2𝑥+3𝑦−18=0D．2𝑥−3𝑦+6=0【解题思路】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其

方程为𝑦−4=𝑘(𝑥−3)，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．【解答过程】当直线𝑙的斜率不存在时，直线l的方程为𝑥=3，此时点𝐴到直线𝑙的距离为5，点𝐵到直线𝑙

的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线𝑙的方程为𝑦−4=𝑘(𝑥−3)，即𝑘𝑥−𝑦+4−3𝑘=0，∵点𝐴(−2,2)，𝐵(4,−2)到直线的距离相等，∴|−2𝑘−2+4−3𝑘|√𝑘2

+1=|4𝑘+2+4−3𝑘|√𝑘2+1，解得𝑘=−23，或𝑘=2，当𝑘=−23时，直线𝑙的方程为𝑦−4=−23(𝑥−3)，整理得2𝑥+3𝑦−18=0，当𝑘=2时，直线𝑙的方程为𝑦−4=2(𝑥−3)，整理得2𝑥−𝑦−2

=0.综上，直线𝑙的方程可能为2𝑥+3𝑦−18=0或2𝑥−𝑦−2=0故选：BC．10．（4分）（2022·湖南·高一期末）已知平面上一点𝑀(5,0)，若直线上存在点𝑃使|𝑃𝑀|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A．𝑦=𝑥+1B

．𝑦=2C．𝑦=43𝑥D．𝑦=2𝑥+1【解题思路】所给直线上的点到定点𝑀距离能否取4，可通过求各直线上的点到点𝑀的最小距离，即点𝑀到直线的距离来分析，分别求出定点𝑀到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【解答过程】所给直线上的点到定点�

�距离能否取4，可通过求各直线上的点到点𝑀的最小距离，即点𝑀到直线的距离来分析．A．因为𝑑=5+1√2=3√2>4，故直线上不存在点到𝑀距离等于4，不是“切割型直线”；B．因为𝑑=2<4，所以在直线上可

以找到两个不同的点，使之到点𝑀距离等于4，是“切割型直线”；C．因为𝑑=20√32+42=4，直线上存在一点，使之到点𝑀距离等于4，是“切割型直线”；D．因为𝑑=11√5=11√55>4，故直线

上不存在点到𝑀距离等于4，不是“切割型直线”．故选：BC.11．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）下列𝑚的值中，不能使三条直线𝑙1:4𝑥−𝑦=4,𝑙2:𝑚𝑥−𝑦=0和𝑙3:2𝑥+3𝑚𝑦=4

构成三角形的有（）A．4B．−6C．−1D．23【解题思路】根据题意，可分𝑙1//𝑙2、𝑙1//𝑙3、𝑙2//𝑙3和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解.【解答过程】由题意，当三条直线𝑙1:4𝑥−𝑦=4,𝑙2:𝑚𝑥−𝑦=0和𝑙3:2𝑥+3𝑚𝑦=4，若

𝑙1//𝑙2时，可得𝑚=4；当𝑙1//𝑙3时，可得𝑚=−16；当𝑙2//𝑙3时，则满足3𝑚2+2=0，无解；当三条直线经过一个点时，把𝑙1和𝑙2的交点为(44−𝑚,4𝑚4−𝑚)，代入直线2𝑥+3𝑚𝑦=4中，可得84−𝑚+12𝑚24−𝑚−4=0，解得�

�=−1或𝑚=23，综上可得，满足条件的𝑚为4或−16或−1或23.故选：ACD.12．（4分）（2022·重庆·高二期末）对于直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦+3𝑎=0,𝑙2:3𝑥+(𝑎−1)𝑦+3−𝑎

=0.以下说法正确的有（）A．𝑙1∥𝑙2的充要条件是𝑎=3B．当𝑎=25时，𝑙1⊥𝑙2C．直线𝑙1一定经过点𝑀(3,0)D．点𝑃(1,3)到直线𝑙1的距离的最大值为5【解题思路】求出𝑙1∥𝑙2的充要条件即

可判断A;验证𝑎=25时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线𝑙1经过的定点即可判断C;判断何种情况下点𝑃(1,3)到直线𝑙1的距离最大，并求出最大值，可判断D.【解答过程】当𝑙1∥𝑙2时，𝑎(𝑎−1)−6=0解得𝑎=3或𝑎=−2，当𝑎=−2时，两直线为𝑥

−𝑦+3=0,𝑥−𝑦+53=0，符合题意；当𝑎=3时，两直线为3𝑥+2𝑦+9=0,3𝑥+2𝑦=0，符合题意，故A错误；当𝑎=25时，两直线为𝑥+5𝑦+3=0,15𝑥−3𝑦+13=0，𝑘𝑙1⋅𝑘𝑙2=−15×5=−1，

所以𝑙1⊥𝑙2，故B正确；直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦+3𝑎=0即直线𝑎(𝑥+3)+2𝑦=0，故直线过定点(−3,0)，C错误；因为直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦+3𝑎=0过定点(−3,0)，当直线𝑙1:𝑎𝑥+2�

�+3𝑎=0与点𝑃(1,3)和(−3,0)的连线垂直时，𝑃(1,3)到直线𝑙1的距离最大，最大值为√(1+3)2+(3−0)2=5，故D正确，故选：BD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·

全国·高二课时练习）与直线𝑥+𝑦+2=0平行且与它的距离为3√2的直线的方程为𝑥+𝑦+8=0或𝑥+𝑦−4=0．【解题思路】由所求直线与直线𝑥+𝑦+2=0平行，设出直线方程为𝑥+𝑦+𝑐=0(𝑐≠0)，利用两平行线的距离公式列方程求出𝑐，可得答

案．【解答过程】设所求直线方程为𝑥+𝑦+𝑐=0(𝑐≠0)，则|𝑐−2|√2=3√2，解得𝑐=8或𝑐=−4，故答案为：𝑥+𝑦+8=0或𝑥+𝑦−4=0.14．（4分）（2022·河北·高二阶段练习）若点𝑀(𝑎,𝑏)为直线√3𝑥−𝑦+3=

0上的动点，则𝑎2+(𝑏+1)2的最小值为4.【解题思路】由题意，根据两点之间的距离公式，问题转化为点到直线上的点的最短距离，由点到直线的距离公式，可得答案.【解答过程】解：由𝑎2+(𝑏+1)2可化为√(𝑎−0)2+(𝑏−(−1)2)，转化为点𝑀(𝑎,𝑏)到点(0,−

1)的距离的平方，因为点𝑀(𝑎,𝑏)为直线√3𝑥−𝑦+3=0上的动点，由点(0,−1)到直线√3𝑥−𝑦+3=0的距离为𝑑=|0+1+3|√3+1=2，𝑎2+(𝑏+1)2的最小值为4.故答案为：4.15．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙过

两直线𝑥+2𝑦+4=0和2𝑥−3𝑦+8=0的交点，且过点(0,1)，则直线𝑙的两点式方程为𝑦−01−0=𝑥−(−4)0−(−4)．【解题思路】联立𝑥+2𝑦+4=0和2𝑥−3𝑦+8=0求出交点坐标，代入两点式方程即可.【解答过程】联立{𝑥+2𝑦+4=02𝑥−3

𝑦+8=0解得交点坐标为(−4,0)，由(−4,0)和(0,1)得直线𝑙的两点式方程为𝑦−01−0=𝑥−(−4)0−(−4).故答案为：𝑦−01−0=𝑥−(−4)0−(−4).16．（4分

）（2022·福建省高二阶段练习）已知直线𝑙1:𝑚𝑥+𝑦+2𝑚−3=0，𝑙2:𝑚𝑥+𝑦−𝑚+1=0，则直线𝑙1与𝑙2之间的距离最大值为5.【解题思路】分别求出直线𝑙1，𝑙2过的定点𝐴，𝐵，当

𝐴𝐵与两直线垂直时距离最大，且最大值为|𝐴𝐵|，由此即可求解．【解答过程】直线𝑙1:𝑚𝑥+𝑦+2𝑚−3=0化简为：𝑚(𝑥+2)+𝑦−3=0，令𝑥+2=0且𝑦−3=0，解得𝑥=−2，𝑦=3，所以直线𝑙1过定点𝐴(−2,3)，直

线𝑙2:𝑚𝑥+𝑦−𝑚+1=0化简为：𝑚(𝑥−1)+𝑦+1=0，令𝑥−1=0且𝑦+1=0，解得𝑥=1，𝑦=−1，所以直线𝑙2过定点𝐵(1,−1)，，当𝐴𝐵与直线𝑙1，𝑙2垂直时，直线𝑙

1，𝑙2的距离最大，且最大值为|𝐴𝐵|=√(−2−1)2+(3+1)2=5，故答案为：5．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·山西·高二阶段练习）已知直线𝑙1:𝑎𝑥+𝑦+

2=0．(1)若直线𝑙1在𝑥轴上的截距为−2，求实数𝑎的值；(2)直线𝑙1与直线𝑙2:2𝑥−𝑦+1=0平行，求𝑙1与𝑙2之间的距离．【解题思路】（1）根据直线在两坐标轴上截距的定义直接可得𝑎；（2）由两直线平行可得𝑎

，再根据平行线间距离公式可得解.【解答过程】解：（1）直线𝑙1:𝑎𝑥+𝑦+2=0，令𝑦=0，解得𝑥=−2𝑎=−2，所以𝑎=1；（2）直线𝑙1与直线𝑙2平行可知−1×𝑎=2×1，解得𝑎=−2，所以𝑙1:−2�

�+𝑦+2=0，即2𝑥−𝑦−2=0，满足条件，所以直线𝑙1与直线𝑙2间距离𝑑=|−2−1|√22+(−1)2=3√55.18．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）已知直线𝑙1:𝑥+�

�𝑦+1=0，𝑙2:2𝑥−𝑦−4=0，𝑙3:3𝑥+𝑦−1=0．(1)若这三条直线交于一点，求实数𝑚的值；(2)若三条直线能构成三角形，求𝑚满足的条件．【解题思路】（1）先由直线𝑙2,𝑙3方程

联立求出交点坐标，再代入直线𝑙1的方程可求出𝑚，（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出𝑚的取值范围，再求出其补集即可.【解答过程】解：（1）由{2𝑥−𝑦−

4=0,3𝑥+𝑦−1=0,解得{𝑥=1,𝑦=−2,代入𝑙1的方程，得𝑚=1．（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立{2𝑥−𝑦−4=0,3𝑥+𝑦−1=0,解得{𝑥=1,𝑦=−2,代入𝑥+𝑚�

�+1=0，得𝑚=1；②当𝑙1:𝑥+𝑚𝑦+1=0与𝑙2:2𝑥−𝑦−4=0平行时，𝑚=−12，当𝑙1:𝑥+𝑚𝑦+1=0与𝑙3:3𝑥+𝑦−1=0平行时，𝑚=13．综上所述，当𝑚≠1且𝑚≠13且𝑚≠−12时，三条直线能构成三角形．19．（8

分）（2022·河南·高二阶段练习）已知直线𝑙:(2𝑚+1)𝑥−(3+𝑚)𝑦+𝑚−7=0．(1)𝑚为何值时，点𝑄(3,4)到直线𝑙的距离最大?并求出最大值；(2)若直线𝑙分别与𝑥轴，𝑦轴的负半轴交于A，B两点，求△𝐴𝑂𝐵（𝑂为坐标原点）面积的最小值

及此时直线𝑙的方程．【解题思路】（1）由题设求得直线𝑙过定点𝑃(−2,−3)，则𝑄与定点𝑃的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及𝑘𝑃𝑄=75求参数m；（2）设直线𝑙为𝑦+3=𝑘(𝑥+2)，𝑘<0并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程

.【解答过程】解：（1）已知直线𝑙:(2𝑚+1)𝑥−(3+𝑚)𝑦+𝑚−7=0，整理得(2𝑥−𝑦+1)𝑚+𝑥−3𝑦−7=0，由{2𝑥−𝑦+1=0𝑥−3𝑦−7=0⇒{𝑥=−2𝑦=−3，故直线𝑙过定点𝑃(−2,−

3)，点𝑄(3,4)到直线𝑙的距离最大，即𝑄与定点𝑃的连线的距离就是所求最大值，所以√(3+2)2+(4+3)2=√74为最大值．∵𝑘𝑃𝑄=4+33+2=75，∴(2𝑚+1)𝑥−(3+𝑚)𝑦+𝑚−7=0的斜率为−

57，得−57=2𝑚+1𝑚+3，解得𝑚=−2219；（2）若直线𝑙分别与𝑥轴，𝑦轴的负半轴交于A，B两点，则设直线𝑙为𝑦+3=𝑘(𝑥+2)，𝑘<0，则𝐴(3𝑘−2,0)，𝐵(0,2𝑘−

3)，𝑆△𝐴𝑂𝐵=12|3𝑘−2|⋅|2𝑘−3|=12(2−3𝑘)(3−2𝑘)=12[12+(−4𝑘)+(−9𝑘)]≥12．（当且仅当𝑘=−32时，取“=”），故△𝐴𝑂𝐵面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.20．（8分）（

2022·北京高二期中）已知直线𝑙1：𝑎𝑥−2𝑦+3=0，𝑙2：𝑥+(𝑎−3)𝑦+5𝑎=0.(1)当a=1时，求两直线的距离；(2)若𝑙1⊥𝑙2.求a的值；(3)写出原点到直线𝑙1的距离，并求出该距离的最大值.【解题思路】

（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解【解答过程】解：(1)当a=1时，𝑙1：𝑥−2𝑦+3=0，𝑙2：𝑥−2𝑦+5=0，所以两直线的距离为|3−5|√12+(−2)

2=2√55；(2)若𝑙1⊥𝑙2，则𝑎×1+(−2)×(𝑎−3)=0，解得𝑎=6；(3)原点到直线𝑙1的距离为𝑑=|3|√𝑎2+(−2)2=3√𝑎2+4，当𝑎=0时，𝑑max=32.21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线𝑙：�

�𝑥−𝑦+1+2𝑘=0(𝑘∈𝑅)，𝑃(3,−1)，𝑄(−3,3).(1)若𝑃、𝑄两点到直线𝑙的距离相等，求此时直线𝑙的直线方程.(2)当𝑘为何值时，原点到直线𝑙的距离最大(3)当𝑘=1时，求直线

𝑙上的动点𝑀到原点距离的最小值，并求此时𝑀点的坐标【解题思路】（1）分直线𝑙过𝑃𝑄的中点，直线𝑙与𝑃𝑄平行两种情况讨论，分别计算可得；（2）首先求出直线过定点𝑁(−2,1)，当直线𝑙与𝑂𝑁垂直时，原点到直线𝑙的距离最大，即可

求出𝑘；（3）首先求出直线𝑙的方程，设𝑀(𝑥,𝑥+3)，根据两点的距离公式及二次函数的性质求出|𝑂𝑀|的最小值，即可求出𝑀点的坐标；【解答过程】解：（1）解：因为𝑃(3,−1)，𝑄(−3,3)，所以𝑃𝑄的中点为(0,1)，若直

线𝑙：𝑘𝑥−𝑦+1+2𝑘=0(𝑘∈𝑅)过𝑃𝑄的中点为(0,1)，则−1+1+2𝑘=0，解得𝑘=0，此时直线𝑙为𝑦=1，满足条件，又𝑘𝑃𝑄=−1−33−(−3)=−23，所以当𝑘=𝑘𝑃𝑄=−23时直线𝑙的方程为2𝑥+3𝑦+1=0，此时直线𝑙与直

线𝑃𝑄平行，满足𝑃、𝑄两点到直线𝑙的距离相等，综上可得：直线𝑙的方程为𝑦=1或2𝑥+3𝑦+1=0；（2）解：由𝑘𝑥−𝑦+1+2𝑘=0，得𝑘(𝑥+2)+(−𝑦+1)=0，联立{𝑥+2=01−𝑦=0，解得{𝑥=−2𝑦=1，则直线𝑙:𝑘

𝑥−𝑦+1+2𝑘=0过定点𝑁(−2,1)；由𝑘𝑥−𝑦+1+2𝑘=0，得𝑦=𝑘𝑥+1+2𝑘，当直线𝑙与𝑂𝑁垂直时，原点到直线𝑙的距离最大，最大值为|𝑂𝑁|=√(−2)2+12=√5，因为𝑘𝑂𝑁=−12，所以𝑘=2，即当𝑘=2时原点到直

线𝑙的距离最大.（3）解：当𝑘=1时，直线𝑙：𝑥−𝑦+3=0，设𝑀(𝑥,𝑥+3)，则|𝑂𝑀|=√𝑥2+(𝑥+3)2=√2(𝑥+32)2+92，所以当𝑥=−32时，|𝑂𝑀|min=3√22，此时�

�(−32,32)，即直线𝑙上的动点𝑀到原点距离的最小值为3√22，此时𝑀点的坐标为(−32,32)；22．（8分）（2022·上海市高二阶段练习）已知两条直线𝑙1:𝑎𝑥+𝑦−𝑎−2=0,𝑙2:2𝑥−𝑎2𝑦+2𝑎2−2=0(𝑎≥1)，(1)若直线𝑙1与两坐标

轴分别交于𝐴、𝐵两点，又𝑙1过定点𝑃，当𝑎为何值时，|𝐴𝑃|2+|𝐵𝑃|2有最小值，并求此时𝑙1的方程；(2)若𝑎≥2，设𝑙1、𝑙2与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积𝑆的最大值；(3)设𝑎=1，直线𝑙1与𝑥轴交于点𝐴，𝑙1、𝑙2的交点为𝑃，如

图现因三角形𝑂𝑃𝐴中的阴影部分受到损坏，经过点𝑄(1,1)的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线𝑀𝑁的斜率𝑘≤0，求保留部分三角形面积的取值范围．【解题思路】（1）根据题意求出点A、B、P的坐标，利用两点间的距离公式和基本

不等式即可求解；（2）根据题意求出𝑙1与x轴的交点A坐标，𝑙2与y轴的交点B坐标，利用三角形面积公式可得𝑆=−(1𝑎−1)2+3，结合二次函数的性质即可求解；（3）当𝑎=1时求出𝑙1、𝑙2方程，设直线MN方程，

联立𝑙1方程求出点M坐标，联立𝑙2方程求出点N坐标，结合图形和三角形面积公式可得𝑆△𝑃𝑀𝑁=32⋅1(𝑘−12)2−74，由k得范围即可求解.【解答过程】解：（1）由直线𝑙1:𝑎(𝑥−1)+(𝑦

−2)=0，令𝑥=0⇒𝑦𝐵=𝑎+2，𝑦=0⇒𝑥𝐴=1+2𝑎，得𝐴(1+2𝑎,0)，𝐵(0,𝑎+2)，直线𝑙1恒过定点𝑃(1,2)，则|𝐴𝑃|2+|𝐵𝑃|2=(1+2𝑎−1)2+22+1

2+(𝑎+2−2)2=4𝑎2+𝑎2+5≥9，当且仅当𝑎=√2时，最小值为9．此时直线𝑙1:√2𝑥+𝑦−√2−2=0；（2）由直线𝑙2:𝑎2(2−𝑦)+(2𝑥−2)=0，知𝑙2恒过定点𝑃(1,2)，𝑙1,𝑙2分别

与𝑥,𝑦轴交于𝐴、𝐶两点，且𝐴(1+2𝑎,0)，𝐶(0,2−2𝑎2)，故𝑆=𝑆△𝑂𝑃𝐶+𝑆△𝑂𝑃𝐴=12|𝑂𝐶|𝑥𝑃+12|𝑂𝐴|𝑦𝑃=−1𝑎2+2𝑎+2=−(1𝑎−1)2+3，又函数𝑦=−(1𝑎−1)2+3在1𝑎∈(0,1)上单调

递增，因为𝑎≥2，故当𝑎=2时，面积𝑆max=114；（3）由𝑎=1，可得𝑙1:𝑥+𝑦−3=0，𝑙2:𝑦=2𝑥，𝑙1、𝑙2均恒过定点𝑃(1,2)，设直线𝑀𝑁:𝑦−1=𝑘(𝑥−1)，由{𝑥+𝑦−3=0𝑦−1=𝑘(𝑥−1

)⇒𝑀(𝑘+2𝑘+1,2𝑘+1𝑘+1)；{𝑦=2𝑥𝑦−1=𝑘(𝑥−1)⇒𝑁(𝑘−1𝑘−2,2𝑘−2𝑘−2)，设直线𝑀𝑁交𝑥轴于点𝐶(1−1𝑘,0)，而𝐴(3,0),则𝑆△𝑃𝑀𝑁=𝑆△𝑃𝑂𝐴−𝑆△𝑂𝐶𝑁+𝑆△𝐴𝐶𝑀=3

−12⋅(1−1𝑘)⋅2𝑘−2𝑘−2+12(1−1𝑘−3)⋅(2𝑘+1𝑘+1)=−32(𝑘2−𝑘−2)=32⋅1(𝑘−12)2−74，又𝑘𝐴𝑄=−12，所以−12≤𝑘≤0，故𝑆∈[34,65].