【文档说明】《备战中考数学精选考点专项突破题集（全国通用）》专题1.1 实数及其运算（含二次根式）（1）（解析版）.docx，共(17)页，483.825 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.1实数及其运算（含二次根式）备战2021年中考数学精选考点专项突破卷（1）一、单选题（每小题3分，共30分）1．（2020·湖南怀化·中考真题）下列数中，是无理数的是（）A．3−B．0C．13D．7【答案】D【解析

】【分析】根据无理数的三种形式求解即可．【详解】解：-3，0，13是有理数，7是无理数．故选：D．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．（2020·山东临沂

·中考真题）设72a=+，则（）A．23aB．34aC．45aD．56a【答案】C【解析】【分析】先估计7的范围，再得出a的范围即可.【详解】解：∵4＜7＜9，∴273，∴4725+，即45a

，故选C.【点睛】2本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.3．（2020·黑龙江绥化·中考真题）化简|23|−的结果正确的是（）A．23−B．23−−C．23+D．32−【答案】D【解析】【分析】由绝对值的意义，化简即可得到答案．【详解】解：|23

|32−=−；故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．4．（2019·山东威海·中考真题）计算()103123273−−+−−的结果是()A．8133+B．123+C．3D．143+【答案】D【解析】【分析

】分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．【详解】原式1333143=++=+.故选D．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．5．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计()123

323+的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间3【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.【详解】()123323+=11233233+=2+6，∵4<6<6.25，∵2

<6<2.5，∴4<2+6<5，故选：A.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.6．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1

abab=+−☆，例如：232314=+−=☆．如果21x=☆，则x的值是（）．A．1−B．1C．0D．2【答案】C【解析】【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【详解】解：由题意知：2211☆=+−=+xxx，又

21x=☆，∴11x+=，∴0x=．4故选：C．【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．7．（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，

下列结论正确的是（）A．a＞bB．﹣a＜bC．a＞﹣bD．﹣a＞b【答案】D【解析】【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．【详解】根据数轴可得：0a，0b，且ab，则ab，选项A错误；ab﹣，选项B错误

；ab﹣，选项C错误；ab﹣，选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．8．（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算ab，对于任意实数a，b满足()()1ababab=+−−，其中等式右

边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716=+−−=−=，若xkx=（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．

没有实数根【答案】B【解析】【分析】5将xk按照题中的新运算方法展开，可得()()1xkxkxk=+−−，所以xkx=可得()()1xkxkx+−−=，化简得：2210xxk−−−=，()()222141145kk=−−−−=+，可得，即可得出答案.【详解】解：根据新运算法

则可得：()()2211xkxkxkxk=+−−=−−，则xkx=即为221xkx−−=，整理得：2210xxk−−−=，则21,1,1abck==−=−−，可得：()()222141145kk=−−−−=+20kQ，2455k+；0，方程有两个不相等的实数根；故答案

选：B.【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.9．（2020·四川广元·中考真题）按

照如图所示的流程，若输出的=6M−，则输入的m为（）A．3B．1C．0D．-1【答案】C【解析】【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．6【详解】解：当m2-2m≥0时，661m=−−，解得m=

0，经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0，当m2-2m＜0时，m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去．故输入的m为0．故选：C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．10．（2019·四川达州·中考真题）

a是不为1的有理数，我们把11a−称为a的差倒数，如2的差倒数为1112=−−，1−的差倒数111(1)2=−−，已知15a=，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数…，依此类推，2

019a的值是（）A．5B．14−C．43D．45【答案】D【解析】【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与2019a相同的数即可得解．【详解】

解：15aQ＝，211111154aa===−−−，2311411514aa===−−−，7341154115aa===−−，…∴数列以145,,45−三个数依次不断循环，20193673=Q，2019545aa==故选：D．【点睛】

本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（2020·江苏镇江·中考真题）使x2−有意义的x的取值范围是______．【答案】x2【解析】二次根式有意

义的条件．【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x2−在实数范围内有意义，必须x20x2−．12．（2020·云南中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为7+吨，那么运出面粉8吨应记为___________吨．【答案】-8

【解析】【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可．【详解】解：因为题目运进记为正，那么运出记为负．所以运出面粉8吨应记为-8吨．故答案为：-8．【点睛】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关

键．13．（2020·四川乐山·中考真题）用“”或“”符号填空：7−______9−．8【答案】【解析】【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：∵|-7|=7，|-9|=9，7<9，∴-7>-9，故答案为：>．【点睛】

此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小．14．（2020·新疆中考真题）分解因式22aman−=______．【答案】()()amnmn+−【解析】【

分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式()()()22amnamnmn=−=+−，故答案为()()amnmn+−【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．因式分解常用

的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.15．（2020·山东德州·中考真题）计算：273−＝_____．【答案】23【解析】9【分析】【详解】解：原式=33323−=．故答案为23．16．（2020·广东中考真题）

若2|1|0ab−++=，则2020()ab+=_________．【答案】1【解析】【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．【详解】∵2|1|0ab−++=∴2a=，1b=−，∴2020()ab+=202011=，故答案为：1．【点睛】本题考查了绝

对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．17．（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工

建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．【答案】105.810【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n

为整数，据此判断即可．【详解】580亿＝58000000000=5.8×1010．故答案为：5.8×1010．【点睛】10此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．18．（2020·江

西中考真题）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两

位数是__________．【答案】25【解析】【分析】根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论．【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5，因此这个两位数是2×10+5×

1=25，故答案为：25．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键．19．（2020·衡水市第九中学初二期中）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101

，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是_____．【答案】2015312−【解析】【分析】【详解】

解：设S=1+3+32+33+…+32014，两边同时乘以3，则有3S=3+32+33+…+32015，两式相减，则有2S=32015﹣1，11所以S=2015312−故答案为：2015312−．【点睛】本题考查有理数的乘方．20．（2020·甘肃

金昌·中考真题）已知2(4)5yxx=−−+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是__________．【答案】2032【解析】【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．【详解】2(4)545yxxxx=−−+=−−+当

4x时，4592yxxx=−−+=−当4x时，451yxx=−−+=则所求的总和为(921)(922)(923)111−+−+−++++L75312017=+++2032=故答案为：2032．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌

握二次根式的化简方法是解题关键．三、解答题（共60分）21．（2020·辽宁大连·中考真题）计算3(21)(21)89+−+−+．【答案】2【解析】【分析】先根据平方差公式、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可．12【详解】原式=2-1-2+3=2．【点睛】本题考查了实

数的运算．解题的关键是熟练掌握平方差公式、立方根、算术平方根等考点的运算．22．（2020·甘肃兰州·中考真题）计算：（﹣12）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣2|+tan45°【答案】2+5．【解析】【分析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指

数幂法则计算，第三项化简绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．【详解】解：（﹣12）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣2|+tan45°＝4+1+2﹣1+1＝2+5．【点睛】本题考查实数的混合运算，主要

考查负指数幂，化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数．熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.23．（2020·浙江嘉兴·中考真题）比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，

x2+12x；②当x＝0时，x2+12x；③当x＝﹣2时，x2+12x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析【解析】【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小

比较，可得答案；（2）根据完全平方公式，可得答案．13【详解】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．故答案为：＝；＞；＞．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．【点睛

】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．24．（2020·安徽中考真题）观察以下等式：第1个等式：12112311+=−第2个等式：32112

422+=−第3个等式：52112533+=−第4个等式：72112644+=−第5个等式：92112755+=−······按照以上规律．解决下列问题：()1写出第6个等式____________；()

2写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）112112866+=−；（2）2121122nnnn−+=−+，证明见解析．【解析】14【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六

个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：112112866+=−；（2）2121122nnnn−+=−+，证明：∵左边=2

122122111222nnnnnnnnnn−−+−+===−++=右边，∴等式成立．【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．25．（2020·重庆中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，

当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14524=LL，14342=LL，所以14是“差一数”；19534=LL，但19361=LL，

所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389【解析】【分析】（1）直

接根据“差一数”的定义计算即可；（2）根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9；被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”．【详解】解：（1）∵49594=LL；493161=LL，∴49不是“差一数”，∵745144=LL

；743242=LL，15∴74是“差一数”；（2）∵“差一数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、35

9、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，本题用逐步增加条件的方

法依此找到满足条件的所有数是解决本题的关键．26．（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：xmn=（m，n是正整数，且mn），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称mn

是x的最佳分解．并规定：()mfxn=．例如：18可以分解成118，29或36，因为1819263−−−，所以36是18的最佳分解，所以()311862f==．（1）填空：()6________f=；()9_________f=；（2）一个两位正整数t（1

0tab=+，19ab，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()ft的最大值；（3）填空：①()22357_____________f=；②

()32357_____________f=；③()42357_____________f=；④()52357_____________f=．【答案】（1）23；1；（2）t为39，28，17；()ft的最大值47；（3）2014

1514,,,21152815【解析】16【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求()6f＝23；9=1×9=3×3，由已知可求()9f=1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到()ft的最

大值；（3）根据()mfxn=的定义即可依次求解．【详解】（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴()6f＝23；9=1×9=3×3，∵9−1＞3−3，∴()9f=1，故答案为：23；1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝

9（b−a）＝54，∴b−a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴()39f＝313；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴()28f＝47；17＝1×

17，∴()11717f=；17∴()ft的最大值47．（3）①∵22357=20×21∴()220235721f=；②32357=28×30∴()3281423573015f==；③∵

42357=56×30∴()4301523575628f==；④∵52357=56×60∴()5561423576015f==，故答案为：20141514,,,21152815．【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代

数式，再由数的特点求解是解题的关键．