【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.18 直线和圆的方程全章综合测试卷（基础篇） Word版含解析.docx，共(14)页，280.153 KB，由小赞的店铺上传

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第二章直线和圆的方程全章综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知直线l的倾斜角为135°，则直线l的斜率为（）A．1B．−1C．√2

2D．−√22【解题思路】直接根据斜率和倾斜角的关系即𝑘=tan𝛼得到答案.【解答过程】由直线的倾斜角与斜率的关系得，𝑘=tan𝛼=tan135°=−1所以直线𝑙的斜率为−1；故选：B.2．（5分）（2022·河南·高

二阶段练习）已知圆的一般方程为𝑥2+𝑦2+4𝑥−2𝑦−4=0，其圆心坐标是（）A．(1,2)B．(−1,2)C．(−2,1)D．(−1,−2)【解题思路】根据圆的方程即得.【解答过程】因为圆𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0的圆心为(−𝐷2,−𝐸2)，

则圆𝑥2+𝑦2+4𝑥−2𝑦−4=0的圆心坐标是(−2,1).故选：C．3．（5分）（2021·福建·高二阶段练习）已知直线𝑙1:𝑥+(𝑚+1)𝑦+𝑚=0，，𝑙2:𝑚𝑥+2𝑦+1=0，则“𝑙1//𝑙2”的必要不充分条件是（）A．𝑚=−2B．𝑚=

1C．𝑚=−2或𝑚=1D．𝑚=2【解题思路】直线𝑙1:𝑥+(𝑚+1)𝑦+𝑚=0，𝑙2:𝑚𝑥+2𝑦+1=0平行的充要条件是“𝑚=−2”，进而可得答案．【解答过程】解：∵直线𝑙1:𝑥+(�

�+1)𝑦+𝑚=0，𝑙2:𝑚𝑥+2𝑦+1=0，若𝑙1//𝑙2，则𝑚(𝑚+1)−2=0，解得：𝑚=−2或𝑚=1当𝑚=1时，𝑙1与𝑙2重合，故“𝑙1//𝑙2”⇔“𝑚=−2”，故“𝑙1//𝑙2”的必要不充分条件是“𝑚=−2或𝑚=1”，故选：C．4．（5分）

（2022·河北·高二阶段练习）已知𝑎<0，若直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦−1=0与直线𝑙2:𝑥+(𝑎+1)𝑦+4=0平行，则它们之间的距离为（）A．7√24B．5√22C．√5D．√5或7√24【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的

距离公式即可得出．【解答过程】解：直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦−1=0与直线𝑙2:𝑥+(𝑎+1)𝑦+4=0平行，∴𝑎(𝑎+1)−2=0，解得𝑎=−2或𝑎=1，又𝑎<0，所以𝑎=−2，当𝑎=−2时，直线𝑙1:2𝑥−2𝑦+1=0与直线𝑙2:2𝑥−2𝑦+8=0距离为=

|8−1|√4+4=7√24.故选：A.5．（5分）（2022·吉林·高二阶段练习）经过点𝑃(0,−1)作直线𝑙，若直线𝑙与连接𝐴(2,3),𝐵(−1,2)的线段总有公共点，则直线𝑙的斜率的取值范围是（）A．

[2，+∞)∪(−∞，−3]B．[−3，2]C．[2，+∞)D．(−∞，−3]【解题思路】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.【解答过程】如图所示，𝑘𝑃𝐴=3−(−1)2−0=2,𝑘𝑃𝐵=2−(−1)−1−0=−3，故直线𝑙的斜率的取值范围是

[2，+∞)∪(−∞，−3].故选：A.6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在△𝐴𝐵𝐶中，已知点𝐴(5,−2)，𝐵(7,3)，且𝐴𝐶边的中点M在𝑦轴上，𝐵𝐶边的中点N在𝑥轴上，则直线𝑀𝑁

的方程为（）A．5𝑥−2𝑦−5=0B．2𝑥−5𝑦−5=0C．5𝑥−2𝑦+5=0D．2𝑥−5𝑦+5=0【解题思路】设𝐶(𝑥,𝑦)，𝑀(0,𝑚)，𝑁(𝑛,0)，先利用中点坐标公式求出相关点坐标，再求出直线方程即可.【解答过程】设𝐶(𝑥,𝑦)，𝑀(0,�

�)，𝑁(𝑛,0)，因为𝐴(5,−2)，𝐵(7,3)，所以{𝑥+52=0𝑦−22=𝑚且{𝑥+72=𝑛𝑦+32=0，解得𝑥=−5，𝑦=−3，𝑚=−52，𝑛=1，即𝐶(−5,−3)，𝑀(0,−52)，𝑁(1,0)，所以MN所在直线方程为𝑦+5252=�

�1，即5𝑥−2𝑦−5=0．故选：A．7．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）若过点(3,0)的直线𝑙截圆𝑥2+(𝑦−2)2=25的弦长为8，则直线𝑙的方程为（）A．5𝑥−12𝑦−15=0B．5𝑥+12𝑦−15=0C．5𝑥−12𝑦−15=0或𝑥=3D．5

𝑥+12𝑦−15=0或𝑥=3【解题思路】对直线的斜率是否存在分类讨论，根据圆心到直线的距离、弦长和半径构成的直角三角形得到关于斜率的方程，解方程得到方程的斜率，进而得到直线方程.【解答过程】若直线l的斜率不存在

，则l的方程为𝑥=3，圆心(0,2)到l的距离为3，易求得弦长为8，符合题意；若直线l的斜率存在，设l的方程为𝑦=𝑘(𝑥−3)，即𝑘𝑥−𝑦−3𝑘=0，故圆心(0,2)到l的距离𝑑=|−2−3𝑘|√𝑘2+1=√52−42=3，解得𝑘=512，则l的方程为5𝑥−12𝑦−15

=0.综上所述，直线l的方程为5𝑥−12𝑦−15=0或𝑥=3.故选：C.8．（5分）（2022·安徽·高三开学考试）已知直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦−3𝑚−2=0与圆𝑀:(𝑥−5)2+(𝑦−4)2=25交于𝐴,𝐵两点，则当弦�

�𝐵最短时，圆𝑀与圆𝑁:(𝑥+2𝑚)2+𝑦2=9的位置关系是（）A．内切B．外离C．外切D．相交【解题思路】由直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦−3𝑚−2=0过定点𝑃(3,2)且定点在圆𝑀内，当弦𝐴𝐵最短时直线𝑙垂直𝑃𝑀，根据斜率

乘积为−1求出𝑚，进而求出圆𝑁的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.【解答过程】易知直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦−3𝑚−2=0即𝑚(𝑥−3)+𝑦−2=0过定点𝑃(3,2)，因为(3−5)2+(2−4)2<25，故𝑃(3,2)在圆𝑀:(𝑥−

5)2+(𝑦−4)2=25内.故弦𝐴𝐵最短时直线𝑙垂直𝑃𝑀，又𝑘𝑃𝑀=4−25−3=1，所以1⋅(−𝑚)=−1，解得𝑚=1，此时圆𝑁的方程是(𝑥+2)2+𝑦2=9.两圆圆心之间的距离𝑀𝑁=√(5+2)2+(4−0)2=√65，半径分别

为5，3又√65>√64=5+3，所以这两圆外离.故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为√5

，则圆的方程可能是（）A．𝑥2+𝑦2=5B．(𝑥−1)2+(𝑦−3)2=5C．𝑥2+(𝑦−2)2=5D．(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5【解题思路】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.【解答过程

】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则(2−𝑎)2+(1+𝑎)2=5，解得a＝0或a＝1，∴所求圆的方程为(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5或𝑥2+𝑦2=5,故选：AD．10．（5分）（

2022·吉林·高二阶段练习）下列说法正确的有（）A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B．倾斜角为135∘的直线的斜率为1C．一条直线的倾斜角为𝛼，则其斜率为𝑘=tan𝛼D．直线斜率的取值范围是(−∞,+∞

)【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可判断.【解答过程】对A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，A正确；对B，𝑘=tan135∘=−1，B错误；对C，倾斜角为π2时，斜率不存在，C错误；对D，直线斜率𝑘=tan𝛼,𝛼∈[0,π2)∪(π2,π]，直线斜率的

取值范围是(−∞,+∞)，D正确.故选：AD.11．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）下列四个命题中真命题有（）A．直线𝑦=𝑥−2在𝑦轴上的截距为-2B．经过定点𝐴(0,2)的直线都可以用方

程𝑦=𝑘𝑥+2表示C．直线6𝑥+𝑚𝑦+14=0(𝑚∈R)必过定点D．已知直线3𝑥+4𝑦+9=0与直线6𝑥+𝑚𝑦+24=0平行，则平行线间的距离是1【解题思路】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行

线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解答过程】对直线方程𝑦=𝑥−2，令𝑥=0解得𝑦=−2，故该直线在𝑦轴上的截距为−2，故A正确；经过点𝐴(0,2)的直线若斜率存在，可用𝑦=𝑘𝑥+2表示；若斜率不存在，则

无法用𝑦=𝑘𝑥+2表示，故B错误，当𝑚≠0时，6𝑥+𝑚𝑦+14=0可整理为：𝑦=−6𝑚(𝑥+73)，恒过定点(−73,0)；当𝑚=0时，6𝑥+𝑚𝑦+14=0即为𝑥=−73，过点(−73,0)；故直线6𝑥+𝑚𝑦+14=0(𝑚∈R)必过

定点(−73,0)，C正确，直线3𝑥+4𝑦+9=0与直线6𝑥+𝑚𝑦+24=0平行，则𝑚=8，此时6𝑥+𝑚𝑦+24=0即6𝑥+8𝑦+24=0，也即3𝑥+4𝑦+12=0，则两平行线间的距

离𝑑=|9−12|√32+42=35，故D错误.综上所述，正确的选项是：AC.故选：AC.12．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点𝐴,𝐵的距离之比为定值𝜆(𝜆≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在

平面直角坐标系中，已知𝐴(−4,2),𝐵(2,2)点𝑃满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=2，设点𝑃的轨迹为圆𝐶，则下列说法正确的是（）A．圆𝐶的方程是(𝑥−4)2+(𝑦−2)2=16B．过点

𝐴向圆𝐶引切线，两条切线的夹角为π3C．过点𝐴作直线𝑙，若圆𝐶上恰有三个点到直线𝑙的距离为2，则该直线的斜率为±√155D．过直线3𝑥+4𝑦=60上的一点𝑃向圆𝐶引切线𝑃𝐴、𝑃𝐵，则四边形𝑃𝐴𝐶𝐵的面积的最小

值为16√3【解题思路】对于A，设𝑃点坐标，根据|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=2代入化简，可得A正确；对于B，设切线夹角为𝛼，可得sin𝛼2=𝑟𝐴𝐶=12，解得B正确；对于C，若圆𝐶上恰有三个点到

直线𝑙的距离为2，可判断直线𝑙与圆相切，进而可解得𝑘=±√1515，故C错误；对于D，由条件可表达四边形𝑃𝐴𝐶𝐵的面积为𝑆𝑃𝐴𝐶𝐵=4√𝑃𝑂2−42，求𝑃𝑂的最小值，计算可得D正确.【解答过程】对于A，因为𝐴(−4,2),𝐵(2,2

)，点𝑃满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=2，设𝑃(𝑥,𝑦)，则√(𝑥+4)2+(𝑦−2)2√(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=2，化简得𝑥2+𝑦2−8𝑥−4𝑦+4=0，，即(𝑥−4)2+(𝑦−2)2=16，故A正确；对于B，因为

𝐴𝐶=8,𝑟=4，设两条切线的夹角为𝛼，所以sin𝛼2=𝑟𝐴𝐶=12，解得𝛼2=π6，则𝛼=π3，故B正确；对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为𝑦−2=𝑘(𝑥+4)，即𝑘𝑥−𝑦+4𝑘+2=0，因为圆𝐶上恰有三个点到直线𝑙的距离为2，所以

圆心到直线的距离𝑑=|4𝑘−2+4𝑘+2|√𝑘2+1=|8𝑘|√𝑘2+1=2，解得𝑘=±√1515，故C错误；对于D，由题意可得𝑆𝑃𝐴𝐶𝐵=2×12×4×√𝑃𝑂2−42=4√𝑃𝑂2−42，故

只需求𝑃𝑂的最小值即可，𝑃𝑂的最小值为点𝑂到直线3𝑥+4𝑦=60的距离，即𝑑1=|3×4+4×2−60|√32+42=8，所以四边形𝑃𝐴𝐶𝐵的面积的最小值为4√82−42=16√3，故D正确.故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2

022·江苏·高二开学考试）已知直线𝑙1：𝑎𝑥−3𝑦+1=0，𝑙2：𝑥+(𝑎+1)𝑦+1=0，若𝑙1⊥𝑙2，则实数𝑎的值为−32.【解题思路】分类讨论直线𝑙2的斜率是否存在即可求解.【解答过程】若直线𝑙2的斜率𝑘2=−1𝑎+1存在，即𝑎≠−1，直线𝑙

1的斜率𝑘1=𝑎3，𝑙1⊥𝑙2，所以有𝑘1⋅𝑘2=−1，即−1𝑎+1×𝑎3=−1，解得：𝑎=−32，若直线𝑙2的斜率不存在，即𝑎=−1，此时𝑘1=−13，不满足𝑙1⊥𝑙2.综上：𝑎=−32，故答案为：−32.14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知𝐴

𝐵为圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥+2𝑦−3=0的直径，点𝐴的坐标为(0,1)，则点𝐵的坐标为(2,−3)．【解题思路】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设𝐵(𝑥0,𝑦0)，再利用中点坐标公式得到方程组，解得即可.【解答过程】解：圆𝐶:𝑥2+𝑦2

−2𝑥+2𝑦−3=0即(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5，所以圆心坐标为(1,−1)，设𝐵(𝑥0,𝑦0)，又因为𝐴(0,1)，所以由中点坐标公式得{𝑦0+1=−2𝑥0+0=2，解得{𝑦0=−3𝑥0=2，所以点𝐵的坐标为(2,−3)．故答

案为：(2,−3).15．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）从点𝐴(−4,1)出发的一束光线l，经过直线𝑙1:𝑥−𝑦+3=0反射，反射光线恰好通过点𝐵(−3,2)，则反射光线所在直线的一般式方程为3𝑥+𝑦+7=0．【解题思路】利用对称性求𝐴关于直线𝑙1的对称点，再应用点斜

式写出直线方程.【解答过程】设𝐴(−4,1)关于直线𝑙1:𝑥−𝑦+3=0的对称点为𝐷(𝑥1,𝑦1)，所以{𝑦1−1𝑥1+4⋅1=−1𝑥1−42−𝑦1+12+3=0，解得{𝑥1=−2𝑦1=−1，即𝐷(−2,−1)，依题意：D在反射光线上，又𝐵(

−3,2)也在反射光线上，∴𝑘𝐵𝐷=2+1−3+2=−3，故所求方程为𝑦+1=−3(𝑥+2)，整理得：3𝑥+𝑦+7=0．故答案为：3𝑥+𝑦+7=0.16．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）若圆𝐶1:(𝑥+2)2+(𝑦−4)2=𝑟2(𝑟>0)上恰有2个点到直线𝑙:

4𝑥−3𝑦−5=0的距离为2，则实数𝑟的取值范围为(3,7)．【解题思路】设与直线𝑙平行且与直线𝑙之间的距离为2的直线方程为4𝑥−3𝑦+𝑐=0，然后利用两平行线间的距离公式可求出𝑐，再求出圆心𝐶1(−2,4)到两直线的距

离，结合图象可求出实数𝑟的取值范围.【解答过程】如图所示．设与直线𝑙平行且与直线𝑙之间的距离为2的直线方程为4𝑥−3𝑦+𝑐=0，则|𝑐+5|√42+(−3)2=2，解得𝑐=5或𝑐=−15，圆心𝐶1(−2,4)到直线4𝑥−3𝑦+5=0的距离为𝑑1=|−8−12+5|√

42+(−3)2=3，圆心𝐶1(−2,4)到直线4𝑥−3𝑦−15=0的距离为𝑑2=|−8−12−15|√42+(−3)2=7，由图可知，圆𝐶1与直线4𝑥−3𝑦+5=0相交，与直线4𝑥−3𝑦−15=0相离，所以𝑑1<𝑟<𝑑2，即3<𝑟<7．即实数𝑟的取值范围为(3,7

)，故答案为：(3,7).四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.

（精确到0.01m）【解题思路】建系表示点B，C的坐标，利用待定系数的方法设圆的标准方程，代入求解.【解答过程】如图所示𝐴𝐵⌢是拱桥的简图，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建系，由题可知𝐵(18.51,0)，𝐶(0,7.

2)，设圆心坐标为(0,𝑏)，圆的方程为𝑥2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2将点B，C代入可得{18.512+𝑏2=𝑟2(7.2−𝑏)2=𝑟2，解得{𝑏≈−20.19𝑟2≈750.21因此圆拱桥的拱所在的圆的标准方程为：𝑥2+(𝑦+20.19)2=750.21.18．（12分

）（2022·广西·高二阶段练习）已知点𝐴(−1,1)、𝐵(2,4).(1)求直线𝐴𝐵的倾斜角(2)过点𝑃(1,0)的直线𝑚与过𝐴(−1,1)、𝐵(2,4)两点的线段有公共点，求直线𝑚斜率的取值范围.【解题思路】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线𝐴𝐵的倾

斜角；（2）求出直线𝑃𝐴与直线𝑃𝐵的斜率，从而可得结果.【解答过程】（1）由已知得：直线𝐴𝐵的斜率𝑘=4−12−(−1)=1∴tan𝛼=1,又∵𝛼∈[0,𝜋),∴𝛼=𝜋4（2）直线𝑃𝐴的斜

率𝑘𝑃𝐴=1−0−1−1=−12直线𝑃𝐵的斜率𝑘𝑃𝐵=4−02−1=4∵过点直线𝑚与过𝐴、𝐵两点的线段有公共点，∴直线𝑚斜率的取值范围为(−∞，−12]∪[4,+∞).19．（12分）（2022·河北·高二阶段练习）已知直线𝑙过点𝑃(2,−3).(1)若

直线𝑙与直线𝑥+2𝑦+3=0垂直，求直线𝑙的方程；(2)若直线𝑙在两坐标轴的截距互为相反数，求直线𝑙的方程.【解题思路】（1）先设出与直线𝑥+2𝑦+3=0垂直的直线𝑙的方程，把点𝑃(2,−3)代入所设方程求解即可求得直线𝑙的方程；（2）分直线过原点与不过

原点两种情况，当过原点时，用点斜式可求；当直线不过原点时，用截距式设出直线𝑙的方程，再把点𝑃(2,−3)代入所设方程求解即可求得直线𝑙的方程【解答过程】（1）因为直线𝑙与直线𝑥+2𝑦+3=0垂直所以，设直线𝑙的方程为2𝑥−𝑦+𝑚=0，因为直线𝑙过点𝑃(2,−3)

，所以2×2+3+𝑚=0，解得𝑚=−7，所以直线𝑙的方程为2𝑥−𝑦−7=0.（2）当直线𝑙过原点时，斜率为−32，由点斜式求得直线𝑙的方程是𝑦=−32𝑥，即3𝑥+2𝑦=0.当直线𝑙不过原点时，

设直线𝑙的方程为𝑥−𝑦=𝑎，把点𝑃(2,−3)代入方程得𝑎=5，所以直线𝑙的方程是𝑥−𝑦−5=0.综上，所求直线𝑙的方程为3𝑥+2𝑦=0或𝑥−𝑦−5=0.20．（12分）（2022·山东·高一阶段练习）已知直线𝑙1:𝑚

𝑥+4𝑦=𝑚+2和直线𝑙2:𝑥+𝑚𝑦=𝑚，试确定𝑚的值，使得：(1)𝑙1与𝑙2相交；(2)𝑙1与𝑙2平行，并求出两条直线的距离；(3)𝑙1与𝑙2垂直，并求出点𝐶(2,√3+1)关于𝑙1与𝑙2垂足的对称点D.【解题思路】（1）根据𝑚是否为0,分情况讨论即可；

（2）由两直线平行得斜率相等，再通过平行线距离公式即可求解；（3）根据𝑚是否为0,分情况讨论，得𝑚=0之后，先求出两直线垂足坐标，再根据中点公式即可求解.【解答过程】（1）当𝑚=0时，𝑙1:𝑦=

12，𝑙2:𝑥=0，此时两直线相交，符合题意；当𝑚≠0时，要使𝑙1与𝑙2相交，则有−𝑚4≠−1𝑚，解得：𝑚≠±2，综上，𝑚≠±2.（2）当𝑚=0时，由（1）知，两直线显然不平行，所以

𝑚≠0，要使𝑙1与𝑙2平行，则有𝑚1=4𝑚≠𝑚+2𝑚，解得𝑚=−2.此时：𝑙1：𝑥−2𝑦=0，𝑙2:𝑥−2𝑦+2=0，所以两直线的距离𝑑=|0−2|√1+4=2√55.（3）当𝑚=0时，𝑙1:𝑦=12，𝑙2:�

�=0，此时两直线垂直，符合题意；当𝑚≠0时，要使𝑙1与𝑙2垂直，则有(−𝑚4)×(−1𝑚)=−1，无解，综上𝑚=0.此时𝑙1与𝑙2的垂足为(0,12)，而𝐶(2,√3+1)设对称点D(𝑥,

𝑦)，根据中点公式有：{2+𝑥2=0𝑦+√3+12=12解得：{𝑥=−2𝑦=−√3所以点𝐷的坐标是(−2,−√3).21．（12分）（2022·四川·高二开学考试（文））已知以点𝐴(−1,2)为圆

心的圆与直线𝑙1:𝑥+2𝑦+7=0相切，过点𝐵(−2,0)的动直线𝑙与圆𝐴相交于𝑀､𝑁两点，𝑄是𝑀𝑁的中点.(1)求圆𝐴的方程；(2)当|𝑀𝑁|=2√19时，求直线𝑙的方程.【解题思路】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆𝐴的半径即可求解；(2)首先当直

线𝑙斜率不存在时，求出弦长|𝑀𝑁|，满足题意；当直线𝑙斜率存在时设出直线𝑙的方程，利用圆的弦长公式求出|𝐴𝑄|，然后利用点到直线的距离公式求解即可.【解答过程】（1）∵圆𝐴与直线𝑙1:𝑥+2𝑦+7=0相切，所以𝐴(−1,2)到直线

𝑙1的距离𝑑0=|−1+4+7|√5=2√5=𝑟，故圆𝐴的方程为：(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=20.（2）①当直线𝑙与𝑥轴垂直时，易知直线𝑙的方程为：𝑥=−2，此时，圆心𝐴(−1,2)到直线𝑙的距离为1，从而弦长

|𝑀𝑁|=2√20−1=2√19，满足题意；②当直线𝑙与𝑥轴不垂直时，设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘(𝑥+2)，即𝑘𝑥−𝑦+2𝑘=0，连接𝐴𝑄，则𝐴𝑄⊥𝑀𝑁，∵|𝑀𝑁|=2√19，所以|𝐴𝑄|=√𝑟2−(|𝑀𝑁|2)2

=√20−19=1，从而|𝐴𝑄|=|−𝑘−2+2𝑘|√𝑘2+12=1，得𝑘=34，故直线𝑙的方程：3𝑥−4𝑦+6=0.综上所述，直线𝑙的方程为：𝑥=−2或3𝑥−4𝑦+6=0.22．（12分

）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆𝐶1:𝑥2+(𝑦−1)2=5，圆𝐶2:𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦=0.(1)求圆𝐶1与圆𝐶2的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线2𝑥+4𝑦=1上的圆的方程.【解题思路】

（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心𝐶1到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为(𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦)+𝜆(𝑥2+𝑦2−2𝑦

−4)=0,𝜆≠−1，求出圆心坐标代入2𝑥+4𝑦=1中可求出𝜆，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(𝑎,𝑏)，然后列方程组可求出𝑎,𝑏，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【解答过程】（1）将两圆的方程作差即可得

出两圆的公共弦所在的直线方程，即(𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦)−(𝑥2+𝑦2−2𝑦−4)=0，化简得𝑥−𝑦−1=0，所以圆𝐶1的圆心(0,1)到直线𝑥−𝑦−1=0的距离为𝑑=|−1−1|√1+1=√

2，则(|𝐴𝐵|2)2=𝑟1⬚2−𝑑2=5−2=3，解得|𝐴𝐵|=2√3，所以公共弦长为2√3.（2）解法一：设过两圆的交点的圆为(𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦)+𝜆(𝑥2+𝑦2−2𝑦−4)=0,𝜆≠−1，则𝑥2+𝑦2−41+𝜆𝑥+2−2

𝜆1+𝜆𝑦−4𝜆1+𝜆=0,𝜆≠−1；由圆心(21+𝜆,−1−𝜆1+𝜆)在直线2𝑥+4𝑦=1上，则41+𝜆−4(1−𝜆)1+𝜆=1，解得𝜆=13，所求圆的方程为𝑥2+𝑦2−3𝑥+𝑦−1=0

，即(𝑥−32)2+(𝑦+12)2=72.解法二：由（1）得𝑦=𝑥−1，代入圆𝐶2:𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦=0，化简可得2𝑥2−4𝑥−1=0，解得𝑥=2±√62；当𝑥=2+√62时，𝑦=√62；当𝑥=2−√62时，𝑦=−√62；设所求圆的

圆心坐标为(𝑎,𝑏)，则{(𝑎−2+√62)2+(𝑏−√62)2=(𝑎−2−√62)2+(𝑏+√62)22𝑎+4𝑏=1，解得{𝑎=32𝑏=−12；所以𝑟2=(32−2+√62)2+(−12−√62)2=72；所以过两圆的交点且圆心在直线2𝑥+4

𝑦=1上的圆的方程为(𝑥−32)2+(𝑦+12)2=72.