【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练27　等比数列及其前n项和 Word版含解析.docx，共(5)页，61.715 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练27等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14B.12C.6D.3答案:D解析:设公比为q(q≠0),则a1+a2+a3=a1

(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q-a1q4=a1q(1-q)(1+q+q2)=42,∴q(1-q)=14,解得q=12,∴a1=96,∴a6=a1q5=96×(12)5=3.故选D.2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的

两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A.212B.9√3C.±9√3D.35答案:B解析:∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48=𝑎252=3,且a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49=𝑎255=9√3.

故选B.3.(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-120答案:C解析:若q=1,则S6=6a1,S2=2a1,不满足S

6=21S2,所以q≠1.由S6=21S2得𝑎1(1-𝑞6)1-𝑞=21·𝑎1(1-𝑞2)1-𝑞,所以1-q6=(1-q2)(1+q2+q4)=21(1-q2),则q4+q2-20=0,解得q2=4或q2=-5(舍去).由已知S4=𝑎1(1-𝑞4)1

-𝑞=-5,则S8=𝑎1(1-𝑞8)1-𝑞=𝑎1(1-𝑞4)(1+𝑞4)1-𝑞=-85.故选C.4.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则

log2(a3·a5)的值为()A.8B.10C.12D.16答案:C解析:根据题意可知,最下层的“浮雕像”的数量为a1,且数列{an}为公比q=2的等比数列.由题意知数列{an}的前7项和S7=𝑎1(1-27)1-2=1016,

解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7),于是a3=25,a5=27,从而a3·a5=25×27=212,可得log2(a3·a5)=log2212=12,故选C.5.(多选)已知数列{an}是

等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是()A.{1𝑎𝑛}B.{log2𝑎𝑛2}C.{an+an+1}D.{an+an+1+an+2}答案:AD解析:当an=1时,log2𝑎𝑛2=0,数列{log2𝑎𝑛2

}不一定是等比数列;当公比q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不一定是等比数列;由等比数列的定义知数列{1𝑎𝑛}和{an+an+1+an+2}都是等比数列.6.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=

8,则𝑎2𝑏2=.答案:1解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即{-1+3𝑑=8,-𝑞3=8,解得{𝑑=3,𝑞=-2.故𝑎2𝑏2=-1+3-1×(-2)=1.7.在等比数列{an}中,a

1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=;若an>1,则n的最大值为.答案:-123解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=𝑎2+𝑎4𝑎1+𝑎3=-510=-12,所以a1+a3=a1+a1q2=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×(-12)𝑛-

1.所以当n为偶数时,an<0;当n为奇数时,an=8×(-12)𝑛-1=8×(12)𝑛-1=24-n>0.要使an>1,需4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3.8.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=𝑎𝑛𝑛.(

1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列{an}的通项公式.解:(1)由题意可得an+1=2(𝑛+1)𝑛an.将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,得a2=4.将n=2代入,得a3=3a2,得a3=12.由于bn=𝑎𝑛𝑛,则b1=1

,b2=2,b3=4.(2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由题意可得𝑎𝑛+1𝑛+1=2𝑎𝑛𝑛,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得𝑎𝑛𝑛=2n-1,故

an=n·2n-1.9.已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.求:(1)数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和.解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b

1=1,b2=13,得a1=2.即数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=𝑏𝑛3,因此数列{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.设数列{bn}的前n项和为S

n,则Sn=1-(13)𝑛1-13=32−12×3𝑛-1.二、综合应用10.(多选)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.连接嵌套的各个正方形的顶点就可得到近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正

方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD

的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2……),则下列结论正确的有()A.数列{an}是公比为

23的等比数列B.S1=112C.数列{Sn}是公比为49的等比数列D.数列{Sn}的前n项和Tn<14答案:BD解析:如图,由图知an=an+1(sin15°+cos15°)=an+1×√2sin(15°+45°)=√62an+1.对于A,因为an=√62an+1,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=√

63,即数列{an}是公比为√63的等比数列,故A不正确;对于B和C,因为an=1×(√63)𝑛-1=(√63)𝑛-1,所以Sn=𝑎𝑛2-𝑎𝑛+124=14[(23)n-1-(23)n]=18×(23)𝑛,所以

数列{Sn}是首项为112,公比为23的等比数列,故B正确,C不正确;对于D,因为Tn=112[1-(23)𝑛]1-23=14[1-(23)n],所以Tn<14,故D正确.11.(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列说法中正确的是()A.数列{

𝑎𝑛2}是等比数列B.若a3=2,a7=32,则a5=±8C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1答案:AC解析:由于数列{an}是等比数列,则𝑎𝑛2=𝑎12q2n-2,可得𝑎𝑛

+12𝑎𝑛2=𝑎12𝑞2𝑛𝑎12𝑞2𝑛-2=q2是常数,即数列{𝑎𝑛2}是等比数列,故A正确;若a3=2,a7=32,则a5=√2×32=8,故B错误;若0<a1<a2<a3,则q>1,数列{an}是递增数

列;若a1<a2<a3<0,则0<q<1,数列{an}是递增数列,故C正确;若数列{an}的前n和Sn=3n-1+r,则a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,由

于a1,a2,a3成等比数列,则𝑎22=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-13,故D错误.12.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=,a4的最大值为.答案:552解析:因为{an}是等比数列,

a2a4+2a3a5+a4a6=25,所以𝑎32+2a3a5+𝑎52=25,即(𝑎3+𝑎5)2=25,因为an>0,所以a3+a5=5,故a3+a5≥2√𝑎3𝑎5=2a4,即a4≤52.13.已知等比数列{an}与等差数列{b

n}满足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.解:(

1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,则{2𝑞=2+2𝑑,𝑞2=1+3𝑑,解得{𝑑=0,𝑞=1(舍)或{𝑑=1,𝑞=2,故an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn=1-2𝑛1-2=2n-1,Tn=𝑛(𝑛+1)2.由

Sn+Tn>100,得2n+𝑛(𝑛+1)2>101.由于{2𝑛+𝑛(𝑛+1)2}是递增数列,且26+6×72=85<101,27+7×82=156>101,故n的最小值为7.三、探究创新14.若a

,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案:D解析:∵

a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.又a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,∴{2𝑏=𝑎-2,𝑎𝑏=4①或

{2𝑎=𝑏-2,𝑎𝑏=4.②解①得{𝑎=4,𝑏=1;解②得{𝑎=1,𝑏=4.∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.15.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=

5,则a1a2…an的最大值为.答案:64解析:设等比数列{an}的公比为q.由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得𝑎1+𝑎3𝑞(𝑎1+𝑎3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2…an=8n·(12)1+2+…+(𝑛-1)=2-12𝑛2+

7𝑛2,由于抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为直线n=-722×(-12)=3.5,又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为2-12×32+7×32=26=64.16.已知数列{an

}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则𝑆1𝑎1+𝑆2𝑎2+…+𝑆8𝑎8=.答案:502解析:数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则当n≥2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,可得

an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n≥2).令n=1,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.所以数列{an}是以12为首项,12为公比的等比数列,所以an=(12)𝑛.所以Sn=12[1-(12)𝑛]1-12=1-(12)𝑛,从而

𝑆𝑛𝑎𝑛=1-(12)𝑛(12)𝑛=2n-1.所以𝑆1𝑎1+𝑆2𝑎2+𝑆3𝑎3+…+𝑆8𝑎8=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=2×(1-28)1-2-8=29-10=502.