【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(14)页，517.298 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.5直线的方程（二）-重难点题型精讲1．求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知

条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式

或斜截式时要注意斜率不存在的情况).2．两条直线的位置关系3．直线系方程具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：4．直线方程的实际应用

利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.【题型1求直线方程】【方法点拨】(1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形

式，进行求解即可.(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（）A．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0B．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦

+1=0或4𝑥−3𝑦=0C．𝑥−𝑦−7=0或𝑥+𝑦+1=0D．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0或3𝑥−4𝑦=0【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的

直线方程即可.【解答过程】①当直线经过原点时，斜率𝑘=4−03−0=43，所以直线方程为：𝑦=43𝑥，即4𝑥−3𝑦=0；②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1，将点𝐴(3,4)代入，的3𝑎+4𝑎=1，解得𝑎=7，所以直线方程为：𝑥7+𝑦7=1，

即𝑥+𝑦−7=0；③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为𝑥𝑎+𝑦−𝑎=1，将点𝐴(3,4)代入，的3𝑎+4−𝑎=1，解得𝑎=−1，所以直线方程为：𝑥−1+𝑦1=1，即𝑥−𝑦+1=0；综上所述，直线方程为

：4𝑥−3𝑦=0或𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0.故选：B.【变式1-1】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．𝑥+4𝑦+7=0B．𝑥−4𝑦+

7=0C．4𝑥+𝑦+7=0D．4𝑥−𝑦+7=0【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可.【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为𝑦−2𝑥−1=3−25−1，即𝑥−4𝑦+7=0．故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）过点𝑃(√

3,−2√3)且倾斜角为135°的直线方程为（）A．3𝑥−𝑦−5√3=0B．𝑥−𝑦+√3=0C．𝑥+𝑦−√3=0D．𝑥+𝑦+√3=0【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率𝑘=tan135°=−1，所以直线方程为𝑦

+2√3=−(𝑥−√3)，即𝑥+𝑦+√3=0.故选：D．【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线𝑙的方程为（）A．𝑦=√3𝑥B．𝑦=√3𝑥−2C．𝑦=√3

𝑥+1D．𝑦=√3𝑥+3【解题思路】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【解答过程】由题意知：直线𝑙的斜率为√3，则直线𝑙的方程为𝑦=√3𝑥+1.故选：C.【题型2直线过定点问题】【方法点拨】(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标.(2

)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标.【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线𝑘𝑥−𝑦+1=3𝑘，当𝑘变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A．(0,0)B．(0,1)C．(3

,1)D．(2,1)【解题思路】直线恒过定点，把参数提取公因式𝑘(𝑥−3)−𝑦+1=0，使k的系数为0即可得到答案.【解答过程】把直线方程整理为𝑘(𝑥−3)−𝑦+1=0，令{𝑥−3=0−𝑦+1=0，故{𝑥=3𝑦=1，所

以定点为(3,1)，故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）直线(2𝑘−1)𝑥−𝑦−1=0所过定点的坐标为（）A．(0,12)B．(12,0)C．(−1,0)D．(0,−1)【解题思路】直线化为点斜式，可以看出直线所过的定点坐标.【解答过程】直线方程可以化

为𝑦+1=(2𝑘−1)𝑥，则此直线恒过定点(0,−1)，故选：D.【变式2-2】（2021·全国·高二专题练习）直线𝑙在𝑥轴上，𝑦轴上的截距的倒数之和为常数1𝑘，则该直线必过定点（）A．

(0,0)B．(1,1)C．(𝑘,𝑘)D．(1𝑘,1𝑘)【解题思路】设直线𝑙在𝑥轴上，𝑦轴上的截距分别为𝑎，𝑏，可得直线𝑙的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1、1𝑎+1𝑏=1𝑘，进而可得𝑘𝑎+𝑘𝑏=1即可求解.【解答过程】设直线𝑙在𝑥轴上，𝑦轴上的截距分别为�

�，𝑏，且𝑎𝑏≠0，所以直线𝑙的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1，又因为1𝑎+1𝑏=1𝑘，可得𝑘𝑎+𝑘𝑏=1，所以该直线必过定点(𝑘,𝑘)．故选：C．【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线𝑙

:𝑥+𝑚𝑦−1=0(𝑚∈𝑅)的说法中正确的是（）．A．直线𝑙的斜率为−𝑚B．直线𝑙的斜率为−1𝑚C．直线𝑙过定点(0,1)D．直线𝑙过定点(1,0)【解题思路】讨论𝑚≠0和𝑚=0两种情况可得.【解答过程】直线𝑙

:𝑥+𝑚𝑦−1=0可化为𝑚𝑦=−(𝑥−1)．当𝑚≠0时，直线𝑙的方程可化为𝑦=−1𝑚(𝑥−1)，其斜率为−1𝑚，过定点(1,0)；当𝑚=0时，直线𝑙的方程为𝑥=1，其斜率不存在，过点((1,0)，所

以A，B，C不正确，D正确．故选：D.【题型3求与已知直线垂直的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线垂直的直线方程可设为.(2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在且不为零的情

况).【例3】（2022·河南·高二阶段练习）过点𝑃(4,−2)且与直线3𝑥−4𝑦+6=0垂直的直线方程是（）A．4𝑥−3𝑦−19=0B．4𝑥+3𝑦−10=0C．3𝑥−4𝑦−16=0D．3𝑥+4𝑦−8=0【解题思路】由垂直关系确定方程斜率，再由点斜式写出直线方程.

【解答过程】由题设，与直线3𝑥−4𝑦+6=0垂直的直线斜率为−43，且过𝑃(4,−2)，所以𝑦+2=−43(𝑥−4)，整理得4𝑥+3𝑦−10=0.故选：B.【变式3-1】（2022·全国·高二

专题练习）过点𝑃(−1,2)且与直线𝑥−2𝑦+1=0垂直的直线方程为（）A．2𝑥+𝑦+4=0B．2𝑥+𝑦=0C．𝑥+2𝑦−3=0D．𝑥−2𝑦+5=0【解题思路】求出与直线𝑥−2𝑦+1=0垂直的直线的斜率，利用点斜式求出

直线方程.【解答过程】直线𝑥−2𝑦+1=0的斜率𝑘𝑙=12，因为𝑙⊥𝑙′，故𝑙′的斜率𝑘𝑙′=−2，故直线𝑙′的方程为𝑦−2=−2(𝑥+1)，即2𝑥+𝑦=0，故选：B．【变式3-2】（2022·江苏·高二课时练习）若△𝐴𝐵𝐶的三个顶点为𝐴(1,0)，𝐵(2

,1)，𝐶(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为（）．A．3𝑥+2𝑦−3=0B．2𝑥−𝑦−2=0C．2𝑥−𝑦+1=0D．2𝑥+𝑦−2=0【解题思路】根据𝐵,𝐶所在直线的斜率求得高线的斜率，

结合点斜式即可求得结果.【解答过程】因为𝐵(2,1)，𝐶(0,2)，故可得𝐵,𝐶所在直线的斜率为2−10−2=−12，则𝐵𝐶边上的高所在直线的斜率𝑘=2，又其过点𝐴(1,0)，故其方程为𝑦=2(𝑥−1)，整理得：2𝑥−𝑦−2=0.

故选：B.【变式3-3】（2021·河南·高三开学考试（文））已知点𝐴(1,2)，𝐵(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程为（）A．4𝑥+2𝑦−5=0B．4𝑥−2𝑦−5=0C．𝑥+2𝑦−5=0D．

𝑥−2𝑦−5=0【解题思路】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合𝐴𝐵中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.【解答过程】由题设，𝑘𝐴𝐵=1−23−1=−12，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又

𝐴𝐵中点为(2,32)，所以线段AB的垂直平分线方程为𝑦−32=2(𝑥−2)，整理得：4𝑥−2𝑦−5=0.故选：B.【题型4求与已知直线平行的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，方程中系数A，B决定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为()，这是常用的解题技巧.

当时，直线与重合.(2)一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为.(3)利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.【例4】（2022·江苏·高二阶段练习）过点𝐴(2,3)且与直线𝑙:

2𝑥−4𝑦+7=0平行的直线方程是（）A．𝑥−2𝑦+4=0B．𝑥−2𝑦−4=0C．2𝑥−𝑦+1=0D．𝑥+2𝑦−8=0【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【解答过程】由

题意设所求方程为2𝑥−4𝑦+𝑐=0(𝑐≠7)，因为直线经过点𝐴(2,3)，所以2×2−4×3+𝑐=0，即𝑐=8，所以所求直线为𝑥−2𝑦+4=0.故选：A.【变式4-1】（2022·全国·高二）与直线𝑥+𝑦−1=0平行，且经过点（2，3）的直线的

方程为（）A．𝑥−𝑦+1=0B．𝑥+𝑦+5=0C．𝑥+𝑦−5=0D．𝑥−𝑦−1=0【解题思路】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.【解答过程】与直线𝑥+𝑦−1=0平行，且经过点（2，3）的直线的方程为�

�−3=−(𝑥−2)，整理得𝑥+𝑦−5=0．故选：C.【变式4-2】（2021·广东·高二期中）若直线𝑙1：2𝑥−3𝑦+4=0与𝑙2互相平行，且𝑙2过点(2,1)，则直线𝑙2的方程为（）A．3𝑥−2𝑦−2

=0B．3𝑥−2𝑦+2=0C．2𝑥−3𝑦−1=0D．2𝑥−3𝑦+1=0【解题思路】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.【解答过程】由题意，𝑙1的斜率为23，则𝑙2的斜率为23，又𝑙2过点(2,1)，所以𝑙2的方程为：𝑦−1=23(𝑥−2)

⇒2𝑥−3𝑦−1=0.故选：C.【变式4-3】（2021·天津市高二阶段练习）与直线𝑦=−2𝑥+3平行，且与直线𝑦=3𝑥+4交于𝑥轴上的同一点的直线方程是（）A．𝑦=−2𝑥+4B．𝑦=12𝑥+4C

．𝑦=−2𝑥−83D．𝑦=12𝑥−83【解题思路】先求出直线𝑦=3𝑥+4交于𝑥轴交点𝑃(−43,0)，再设与直线𝑦=−2𝑥+3平行的直线方程𝑦=−2𝑥+𝑚，代入点的坐标得解.【解答过程】设直线𝑦=3𝑥+4交于𝑥轴于𝑃点，令𝑦=0，则𝑥=−43

，∴𝑃(−43,0)，所求直线与𝑦=−2𝑥+3平行，设𝑦=−2𝑥+𝑚，把𝑃(−43,0)，代入得−2×(−43)+𝑚=0∴𝑚=−83，所求直线方程为：𝑦=−2𝑥−83，故选：C.【题型5根据两直线平行或垂直求参数】【方法点

拨】(1)考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.(2)已知两直线垂直求解参数时，需要注意斜率是不是零.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙1过(0,0)、(1,−3)两点，直线𝑙2的方程为𝑎𝑥+𝑦−2=0，如果𝑙1//𝑙2，则�

�值为（）A．-3B．13C．−13D．3【解题思路】先求直线𝑙1斜率，再根据两直线平行列式求得𝑎值.【解答过程】因为直线𝑙1过(0,0)、(1,−3)两点，所以直线𝑙1斜率为−31=−3，因为直线𝑙2的方程为𝑎𝑥+𝑦−2=0

，所以直线𝑙2斜率为−𝑎，因为𝑙1//𝑙2，所以−𝑎=−3,𝑎=3故选：D.【变式5-1】（2022·重庆八中高一期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（）A．2B．12C．－2D．−12【解题思路】利用两条直线垂直的一

般式方程结论列式求解即可.【解答过程】解：∵直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，∴1×2+1⋅(−𝑚)=0，则m＝2，故选：A．【变式5-2】（2022·山东·高二阶段练习）已知条件𝑝：直线𝑥+𝑦+1=0与直线𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行，条件

𝑞:𝑎=−1，则𝑝是𝑞的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】先求出两条直线平行时对应的𝑎的值，再判断两者之间的条件关系.【解答过程】若直线𝑥+𝑦+1=0与直线

𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行，则1×𝑎2=1×1，故𝑎=±1.当𝑎=1时，𝑥+𝑎2𝑦−1=0为𝑥+𝑦−1=0，此时直线𝑥+𝑦+1=0与直线𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行.当𝑎=−1时，𝑥+𝑎2𝑦−1=0为𝑥+𝑦−1=0，此时直线𝑥

+𝑦+1=0与直线𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行.故若直线𝑥+𝑦+1=0与直线𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行，则𝑎=±1，推不出𝑎=−1，若𝑎=−1，则直线𝑥+𝑦+1=0与直线𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行.故𝑝是𝑞的必

要不充分条件.故选：C.【变式5-3】（2021·山西·高二阶段练习（文））若直线𝑎𝑥−𝑦−2=0与直线(𝑎+4)𝑥+𝑎𝑦+1=0垂直，则𝑎=（）A．0B．−3C．0或−3D．0或3【解题思路】根据𝑙1:𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,𝑙2:𝐴2𝑥+𝐵2

𝑦+𝐶2=0垂直，则𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2=0求解.【解答过程】因为直线𝑎𝑥−𝑦−2=0与直线(𝑎+4)𝑥+𝑎𝑦+1=0垂直，所以𝑎(𝑎+4)−𝑎=0，解得𝑎=0或𝑎=−3，故选：C.【题型6直线方程的实际应用】【方法点拨

】根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意结果要满足实际情境.【例6】（2021秋•徐汇区校级期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，点Q

在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐

标并求出此最大面积（精确到1m2）【解题思路】（1）推导出A（0，20），B（30，0），由此能求出线段AB所在直线的方程．（2）设Q（x，y），则直线AB的方程为𝑥30+𝑦20=1（0≤x≤30），求出RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1−𝑥30）＝20−

23𝑥，由此能求出当x＝5，y=503时，才能使草坪的占地面积最大，最大面积为6017m2，此时Q（5，503）．【解答过程】解：（1）由题意得AO＝80﹣60＝20，OB＝100﹣70＝30，∴A（0，20），B（30，

0），∴线段AB所在直线的方程为：𝑥30+𝑦20=1．（2）设Q（x，y），则直线AB的方程为𝑥30+𝑦20=1（0≤x≤30），∵RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1−𝑥30）＝20−23𝑥，∴

草坪的占地面积为：S矩形PQRC＝RQ×PQ＝（100﹣x）（80﹣y）＝（100﹣x）（80﹣20+23𝑥）＝（100﹣x）（60+23𝑥）=−23𝑥2+203𝑥+6000=−23（x﹣5）2+180503≈−23（x﹣5）

2+6017．（0≤x≤30），∴当x＝5，y=503时，才能使草坪的占地面积最大，最大面积为6017m2，此时Q（5，503）．【变式6-1】（2022•封开县校级模拟）如图，在平行四边形OABC中

，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解题思路】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直于

AB，所以CD垂直于OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答过程】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴

OC所在直线的斜率为𝑘𝑂𝐶=3−01−0=3．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为𝑘𝐶𝐷=−13．∴CD所在直线方程为𝑦−3=−13(𝑥−1)，即x+3y﹣10＝0．【变式6-2】（2021春•达州期末）图1是台

球赛实战的一个截图．白球在A点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点B，反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点C，再次反弹后直线击中桌面上点D处一球．以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系．已知A（1，1），B（0.4，0）．（1）求直线AB的方程；（2）若点

D的坐标是(𝑥0，76)，求x0.（提示：直线AB与直线BC的斜率互为相反数，DC∥AB．）【解题思路】（1）根据题意，由直线的两点式方程分析可得答案；（2）根据题意，求出直线BC的方程，进而可得C的纵坐标，又由DC//AB，求出直线CD的方程，由此分

析可得答案．【解答过程】解：（1）由A（1，1），B（0.4，0）知，直线AB的方程是𝑦−01−0=𝑥−0.41−0.4，化简得直线AB方程为5x﹣3y﹣2＝0；（2）根据条件，直线BC的斜率为𝑘𝐵𝐶=−53，则直线

BC的方程是𝑦=−53(𝑥−0.4)．在BC方程中，令x＝0得点C的纵坐标为23．由题意，DC//AB，∴直线CD的方程是𝑦=53𝑥+23，则有53𝑥0+23=76，解得x0=310．【变式6-3】（2022春•惠

州期末）t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线y=12x上．②求下图中

阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．【解题思路】对于（1）可先求直线PQ的方程再把点M，点N的坐标代入检验即可得到结论．对于（2）的①找出点C的坐标看是否适合直线y=12x．对于（2）的②阴影部分的面积即为三角形的面积减去正方形的面积，作差求最值即可．【解答过程

】解：（1）令过P、Q方程𝑦𝑦−𝑡=𝑥−(10−𝑡)𝑥−𝑡tx﹣2（t﹣5）y+t2﹣10t＝0，假设M过PQ，则t2﹣6t+10＝0，△＝36﹣40＜0，无实根，故M不过直线PQ．若假设N过直线PQ，同理得：t2﹣16t+50＝0，t1＝8−

√14，t2＝8+√14（舍去），∵t∈（0，10），当t＝8−√14时，直线PQ过点N（4，5）；（2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．①点C（2a，a），即{𝑥=2𝑎𝑦=𝑎，消去a得y=12x，故顶点C在直线y=12x

上．②令阴影面积为S，则s=12|10﹣t|•|t|﹣a2，∵t＞0，10﹣t＞0，S=12（﹣t2+10t）﹣a2，∵点C（2a，a）在直线PQ上，∴2at﹣2（t﹣5）a＝﹣t2+10t，∴a=110（10t﹣t2），S=12×10a﹣a2=−(

𝑎−52)2+254，∴当a=52时，Smax=254，此时顶点A、B、C、D的坐标为A（52，0），B（5，0），C（5，52），D（52，52）.