【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用） 猜题15 第17-18题 解三角形（上海精选归纳） Word版含解析.docx，共(32)页，1.677 MB，由小赞的店铺上传

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猜题15第17-18题解三角形（上海精选归纳）一、解答题1．（2021秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）在ABC中，已知3a=，2bc=．(1)若2π3A=，求ABC的面积．(2)若2sinsin1BC−=，求sin

A．【答案】(1)9314(2)()34257【分析】(1)根据余弦定理和面积公式求解；(2)利用同角三角函数的基本关系，余弦定理和正弦定理即可.【解析】（1）由余弦定理得22222159cos224bcacAbcc+−−=−==，解得297c=，所以21393sin22414ABCSbcAc

===△；（2）因为2bc=，由正弦定理得sin2sinBC=，又2sinsin1BC−=，所以1sin3C=，2sin3B=，所以sinsinCB，CB，C为锐角，所以2122cos1()33C=−=．由余弦定理得2222coscababC=+−，又3

a=，2bc=，所以229482ccc=+−，得238290cc−+=，解得4253c=．由正弦定理得sinsinacAC=，所以()3425sin3sin7425aCAc===.2．（2023·上海·统考模拟预测）在ABC

中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中2b=．(1)若120AC+=，且2ac=，求边长c；(2)若15,2sinACacA=−=，求ABC的面积ABCS．【答案】(1)233(2)33−【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得c.（2）利用正弦定理、

两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.【解析】（1）依题意，2ac=，由正弦定理得sin2sinAC=，即()sin1202sinCC−=，313cossin2sin,tan223CCCC+==，由于0120C，所以30C=，则90,60AB==，由正弦定理得1

2sin232,sinsinsin332cbbCcCBB====.（2）依题意，2sinacA=，由正弦定理得sin2sinsinACA=，由于15180A，sin0A，所以2sin2C=，由于150AC−=，所以C为锐角，所以45C=，则60

,75AB==，()62sin75sin4530sin45cos30cos45sin304+=+=+=，由正弦定理得22sin42,sinsinsin62314cbbCcCBB====++()()()()431

2313131−==−+−，所以()113sin223133222ABCSbcA==−=−△.3．（2022·上海金山·统考一模）在ABC中，设角ABC､､所对的边分别为abc､､，且()cos4cos0aBbcA+−=.(1)求cos

A；(2)若2,1BDDCAD==，求2cb+的最大值.【答案】(1)1cos4A=(2)6105【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可；（2）由coscos0

ADBADC+=得2222411199021212133acabaa+−+−+=，因为2221cos42bcaAbc+−==，两方程联立结合均值不等式即可得出答案.【解析】（1）由()cos4cos0aBbcA+−=，得()sincossin4sincos0ABB

CA+−=即()sin4sincos0ABCA+−=，从而sin4sincos0CCA−=，由sin0C，得1cos4A=.（2）由coscos0ADBADC+=得2222411199021212133acabaa+−+−+=

，从而222241121099acab+−++−=，即()2223232acb=+−又因为2221cos42bcaAbc+−==，得22212abcbc=+−所以()222213232

2bcbccb+−=+−，即2249cbcb++=，从而()2293cbbc+−=，而()()223332224bcbcbc+=，故()()2232298bccb++−解得()27225cb+，当且仅当310310,105bc==时取等号，所以2cb+的最大

值为6105.4．（2022·上海虹口·统考一模）设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知π32cos(π)sin2022AA++++=．(1)求角A；(2)若33cba−=，求证：ABC是直角三角形．【答案】(

1)π3A=(2)证明见解析．【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简π32cos(π)sin2022AA++++=，即可求得答案；（2）利用正弦定理边化角可得3sinsinsin3CBA−=，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.【解析】（1）由条件

π32cos(π)sin2022AA++++=，得32coscos202AA−++=，即212cos2cos02AA−+=，亦即21cos02A−=，故1cos2A=，因为(0,π)A，所以π3A=．（2）证明：由正弦定理及33cba−=得3sinsinsin3C

BA−=，由（1）知π3A=，故2π3BC+=，于是2π3πsinsinsin333BB−−=，则311cossin222BB−=，即π1cos62B+=，因2π03B，故ππ5π666B+，又30,

3cbaCB−=，从而ππ63B+=，所以π6B=，则π2C=，因此ABC是直角三角形．5．（2022·上海长宁·统考一模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；(1)若△ABC的面积2224ac

bS+−=，求B；(2)若3,sin3sin,6acABC===，求c；【答案】(1)4(2)1【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理，通过化简整理可求出tanB，即可求出角B的值；（2）首先由sin3sinAB=根据正弦定理得3ab=，利用角C的余弦定理得22

23cos22abcCab+−==，最后联立方程组，解方程组即可求出c的值.【解析】（1）已知2221sin24acbSacB+−==，化简得222sincos2acbBBac−+==，即得tan1B=，又()0,πB，故4B=.（2）已知sin3si

nAB=，由正弦定理可得3ab=，由余弦定理可得2223cos22abcCab+−==，由22233ababcab=+−=，得22bc=，即bc=，由33bcabac===，解得311abc===.故得1c=.6．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学

校考期末）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且coscos2bCcB+=，sin3bA=.(1)求角B的大小；(2)求ABC面积的取值范围.【答案】(1)π3(2)3,232【分析】（1）先利用余弦定理求出边a，再利用正弦定理求出sinB，最

后结合锐角三角形求解即可；（2）先利用三角形的面积公式得到32ABCSc=，再利用正弦定理得31tancA=+，最后结合角A的范围及函数的值域问题求解即可.【解析】（1）由coscos2bCcB+=,根据余弦定理可得222222222abcacbbcabac+−+−+=，化简得

2a=，由正弦定理sinsinabAB=，可知sin3sin2bABa==，因为ABC为锐角三角形，所以π3B=.（2）由13sin22ABCSacBc==.由正弦定理得()()2sin2sincoscossinsin31sinsinsintanABABABaC

cAAAA++====+，因为ABC为锐角三角形，所以π022π032ACA=−，解得ππ62A，则3tan,3A+，()311,4tancA=+，故3232ABCS

△，即ABC面积的取值范围为3,232.7．（2022·上海松江·统考一模）在三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知πsincos6bAaB=−；(1)求角B的大小；(2)若2ca=，三角形ABC的面积为23

3，求三角形ABC的周长；【答案】(1)π3B=(2)232+【分析】（1）由正弦定理得sinsinbAaB=，代入πsincos6bAaB=−化简可得π3B=.（2）利用面积公式可得233a=，4323ca=

=，再根据余弦定理求解2b=进而可得边长.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，可得sinsinbAaB=，又由πsincos6bAaB=−，得πsincos6aBa

B=−，即πsincos6BB=−，31sincossin22BBB=+，可得tan3B=．又因为()0,πB，可得π3B=．（2）由题意，123sin23acB=，故232323a=，

即233a=，故4323ca==，由余弦定理222234323431233332b=+−，解得2b=.故三角形ABC的周长为2343223233++=+8．（2022秋·上海静安·高三上海市新中高级中学校考期中）

已知ABC的周长为21+，且sinsin2sinBCA+=.(1)求BC的长;(2)若ABC的面积为1sin6A，求角A的值.【答案】(1)1(2)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化得2ACABB

C+=，又ABC的周长为21+，即可求边BC的长；（2）根据ABC的面积为11sinsin62AACABA=，可得ACAB的值，再利用余弦定理即可求A.【解析】（1）解：根据题意由正弦定理得2ACABBC+=，因为21ABBCAC++=+，

所以221BCBC+=+，解得1BC=.（2）解：因为11sinsin26ABCSACABAA==，所以13ACAB=，又2ACAB+=，由余弦定理得22222()21cos222ACABBCACABACABBCAACABACAB+−+−−===，又因为(0,π)A，所以

π3A=.9．（2023·上海·高三专题练习）ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足222bacac=+−．(1)当A为何值时，函数232sincos2CAyA−=+取到最大值，最大值是多少？(2)若ca−等于边AC上的高h，求sin2CA

−的值．【答案】(1)π3A=时，232sincos2CAyA−=+取得最大值，最大值为2；(2)12.【分析】（1）由余弦定理求出π3B=，对232sincos2CAyA−=+恒等变形得到π1sin26yA=+−，利用整体法求解出最大值；（

2）先利用三角形面积公式和正弦定理得到sinsinsinsinACCA=−，再使用和差化积等得到23sinsin242CACA−−=−，解方程求出：1sin22CA−=或32−，舍去不合要求的解，求出答案.【解析】（1）由222bacac=+−得：2221cos222acbacBacac+−

===，因为()0,πB，所以π3B=，2ππ3332sincos1cos2cos22AACAyAA−−−−=+=−+πππ1cos2cos21cos2coscos2sinsin

2333AAAAA=−+−=−++31π1sin2cos21sin2226AAA=+−=+−，因为2π0,3A，所以ππ7π2,666A−−，所以当ππ262A−=，即π3A=时，23π2sincos1sin226

CAyAA−=+=+−取得最大值，最大值为2；（2）由（1）知：π3B=，由三角形面积公式得：()111sin222acBbhbca==−，从而()sinacBbca=−，由正弦定理得：()sinsinsinsinsinsinACBBCA=−，因为3sin2B=，

所以sinsinsinsinACCA=−，由和差化积得：πsinsin2cossin2cossinsin22222CACABCACACA+−−−−−===，因为()()221cos1cossinsin2222CACACACA−+−−+−−=−()()coscoscoscoss

insincoscossinsinsinsin222CACACACACACACA−++−+=−==，所以22222π3sinsinsinsinsinsinsin222242CACABCACACA+−−−−=−=−=−，故23sinsin242CACA−−=−，解得：1sin22CA−=或

32−，因为()sin1,12CA−−，所以1sin22CA−=.10．（2022秋·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）在ABC中，角,,ABC的对边分别为π,,,3coscos2abcbCcB=−.(1)求角C；(2)若ABC的外接圆半径为2，求

ABC面积的最大值.【答案】(1)π3(2)最大值为33【分析】（1）由正弦定理化简求解，（2）由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解【解析】（1）由正弦定理得3sincossinsinBCCB=，因为(0,π)B，所以sin0B，故3co

ssinCC=.tan3C=.因为(0,π)C.所以3C=，（2）根据正弦定理得4sin32ccC==，解得23c=根据余弦定理得222222cos12cababCabab=+−=+−=.由基本不等式得222abab+，即122abab+，解得12ab，当且仅当23ab

==时等号成立，此时1sin332ABCSabC=，所以ABC面积的最大值为33.11．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知ABC中，2ABBC=，点D满足2133BDBCBA=+.(1)求BDC与ABD△面积之比；(2)若3ABD=，7DC

=，求边BC长.【答案】(1)12(2)3【分析】（1）由2133BDBCBA=+可知2ADDC=，即可求得BDC与ABD△面积之比.（2）由BDC与ABD△面积之比可求得π3CBD=，再通过余弦定理即可求得BC.【解析】（1）因为2133BD

BCBA=+，所以32BDBCBA=+，即22BDBDBCBA+=+，即2CDDA=，即2ADDC=，所以1::2ABDBDCSSDCAD==.（2）由1sin1212sin602ABDBCDBCBDCBDSSBDAB==，且2ABBC=，可得3

sin2CBD=，即π=3CBD或2π3（舍），所以2π=3ABC，因为7DC=，所以=37AC，在ABC中由余弦定理得：2222π+(37)cos=32acac−，而2ca=，解得：=3,6ac=.所以=3BC.12．

（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且()cos23cos1ABC=++.(1)求角A的值；(2)若1coscos8BC=−，且ABC的面积为23，求a.【答案】(1)3A=；(2)4a=．【分析】（1）

由诱导公式、二倍角公式，变形可求得cosA，从而得A角（2）由三角形面积公式求得bc，由两角和余弦公式求得sinsinBC，利用正弦定理求得三角形外接圆半径R，从而再由正弦定理求得a．（1）()ABC=−+，()cos23cos13cos

()1ABCA=++=−+，22cos13cos1AA−=−+，(cos2)(2cos1)0AA+−=，1cos2A=，(0,)A，所以3A=；（2）由题意11sinsin23223ABCSbcAbc===△，8bc=，由（1）3A=，1cos()cos2BCA+=−=−，即1c

oscossinsin2BCBC−=−，又1coscos8BC=−，所以3sinsin8BC=，由2sinsinsinabcRABC===（R是ABC外接圆半径），得2843sinsin8bcRBC==，433R=，所以由2sinaR

A=，得83sin433a==．13．（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知ABC中，三个内角,,ABC的对边分别为()()22,,,22sinsinsinabcACabB−=−，外接圆半径2R=

，(1)求C的大小；(2)求ABC面积S的最大值.【答案】(1)3(2)332【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边，整理等式，结合余弦定理，可得答案；（2）由（1），根据正弦定理，可得边c的长，结合余弦定理以及基本不等式，可得ab的最值，根据三角形面积公式，可得答案.（1）由正弦定理，

可得sin,sin,sin222222222aabbccABCRRR======，代入()()2222sinsinsinACabB−=−，可得()22228822acbab−=−，222acabb−=−，222abcab+−=，由余弦定理，22

21cos222abcabCabab+−===，由()0,C，则3C=.（2）由（1）可得2sincRC=，则22sin63c==，由余弦定理，可得2222coscababC=+−，则226abab=+−，由基本不等式，则222ababababab+−−=，

当且仅当=ab时，等号成立，即6ab，ABC的面积1333sin242SabCab==，故ABC的面积S的最大值为332.14．（2022秋·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）在ABC中，已知()()

sinsincABbAC−=−.其中,,ABC为内角，它们的对边分别为,,abc.(1)判断ABC的形状(2)若125,cos13==aA，求ABC的面积.【答案】(1)等腰三角形(2)1254【分析】

（1）由正弦定理与三角恒等变换求解即可；（2）由余弦定理与三角形面积公式求解即可（1）因为()()sinsincABbAC−=−，所以()()sinsinsinsinCABBAC−=−，所以()()sinsincoscossinsinsincosc

ossinCABABBACAC−=−，所以sinsincossincossinsinsincossincossinCABCABBACBAC−=−，即sinsincossinsincosCABBAC=，因为sin0A，所以sincossincosCB

BC=，即sincoscossin0BCBC−=，所以()sin0BC−=，所以0BC−=，即BC=，所以ABC是等腰三角形；（2）由（1）可知bc=，又2222cosabcbcA=+−，所以2221225213bbb=+−，所以225

132b=，因为12cos13A=，0πA，所以5sin13A=，所以21115125sinsin25222113234ABCSbcAbA´´===?15．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c

，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB−+==．(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC=，求b．【答案】(1)28(2)12【分析】（1）先表示

出123,,SSS，再由12332SSS−+=求得2222acb+−=，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC=，即可求解.【解析】（1）由题意得2222123

13333,,22444SaaSbSc====，则22212333334442SSSabc−+=−+=，即2222acb+−=，由余弦定理得222cos2acbBac+−=，整理得cos1acB=，则cos0B，又1sin3B=，则2122cos133B=−=，1

32cos4acB==，则12sin28ABCSacB==；（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC==，则223294sinsinsinsinsin423bacacBACAC====，则3sin2bB=，31sin

22bB==.16．（2023·上海·高三专题练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2sin30bAa−=，且B为锐角.(1)求角B的大小；(2)若333cab=+，证明：ABC是直角三角形.【答案】(1)3(2)证明见解析

【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得3sin2B=，再由B为锐角即可求解（2）利用正弦定理边化角之后再消元，可得1sin32C−=，再结合C的范围即可得证【解析】（1）由正弦定理可知，sinsinabAB=，2sin30,2sinsin3sinbAaBAA

−==又在ABC中，sin0,2sin3AB=，即3sin2B=，B为锐角，3B=.（2）333cab=+所以由正弦定理得：31sinsinsinsin32CABA=+=+，又()1311,sinsi

ncossin32222ABCCCCC=−+=++=++，即1311sincos,sin22232CCC−=−=，20,,,3333CC−−，故可得36C−=，即2C=ABC为直角三角形.17．（2

022·上海长宁·统考二模）在ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、．(1)若222sinsinsinsinsinABCBC=++，求A(2)若60C=，ABC的面积3S=，求ABC外接圆半径R的最小值．【答案】(1)23A=(2)233【分析】（1）

根据正弦定理与余弦定理化简即可（2）根据三角形的面积公式可得4ab=，再根据基本不等式可得2c，再根据正弦定理求解即可【解析】（1）因为222sinsinsinsinsinABCBC=++，由正弦定理，222abcbc=++，所以2221cos22bca

Abc+−==−，因为()0,A，所以23A=（2）由已知1sin32abC=，60C=，所以4ab=，所以222222coscababCabab=+−=+−因为222abab+所以24cab=（当ab=时取

等号）所以23432sin33cRcC==所以R的最小值为233（当2abc===时取得）18．（2023·上海·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()coscos2BCaCbc+=+．(1)求角A；

(2)若1b=，27cos7C=，求a，c．【答案】(1)23A=；(2)7a=，2c=.【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解；（2）求出sin,B再利用正弦定理得解.（1）解：因为()coscos2BCaCbc+=+，

所以coscos2AaCbc−=+．由正弦定理得cossincos2sinsinAACBC−=+，所以2sincossincoscossinBACACA+=−，所以()2sincoscossinsincosBACACA=−+，即()2sincossinsinBAACB=−+=−．因为sin0B

，所以1cos2A=−，因为()0,A，所以23A=．（2）解：若27cos7C=，()0,C，则22721sin177C=−=．则()32712121sinsinsincoscossin272714BACACAC=+=+=+−

=．由正弦定理sinsinsinbacBAC==，得1213211427ac==，解得7a=，2c=．19．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）在平面四边形ABCD中，已知23ABC=，6ADC=，AC平分

BAD.(1)若3BAD=，2AC=，求四边形ABCD的面积；(2)若23CDAB=，求tanBAC的值.【答案】(1)433(2)32【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解【解析

】（1）126DACBACBAD===，则22,3DCACACD===，在ABC中，由正弦定理可知sinsinABACACBABC=，则23AB=，则1211343222222233ABCDABCACDSSS=+=+=.（

2）设BACDAC==，在ABC中，由正弦定理可知sinsinABACACBABC=，即3sin32ABAC=−，即2sin33ABAC=−，在ACD中，由正

弦定理可知，即sinsinCDACDACADC=，即231sin2ABAC=，即232sinABAC=，则2sinsin3−=，解得3tan2=.20．（2022秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知等腰三角形AB

C的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin23sinbAB=，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．(1)求A和b；(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有3EAF=，求△EA

F面积的最小值．【答案】(1);23(2)33【分析】（1）利用正弦定理结论，结合sin23sinbAB=，可求得a；利用余弦定理结合()()()ccbabab＋＝＋－即可求得A,从而求得b.（2）利用（1）中的结论，分别在三角形ABE和三角形ABF△中利用正弦定理，结合三角

形面积公式，即可解出答案.（1）由正弦定理得：sin23sinbAB=即：2322abbRR=(R为三角形ABC的外接圆半径)，故23a=，由()()()ccbabab＋＝＋－得：222cbabc+−=−，则1cos2A=−，因为(0,)A

，故23A=；由等腰三角形ABC可得6B=，故23sin622sin3b==；（2）由（1）知：23,2abc===，由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有3EAF=，知点E在点F的左边,如图：设EAB=，3EAF

=不变，可知[0,]3,在ABE中，由正弦定理可得5sinsin(6)6AEAB=−，5sin()16AE=−，在ABF△中，由正弦定理可得6sinsin()2AFAB=−，1cosAF=，故1||||sin3524cos

s1136in()AEFSAEAF==−1cos23sin212sin(2)336==++++，[0,]3，16sin(2)[,1]2+，三角形AEF△的面积的最小值为33，此时6=．21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC，角,,ABC所对的

边分别为,,abc，已知sin:sin:sin2:1:2ABC=，2b=．（I）求a的值；（II）求cosC的值；（III）求sin26C−的值．【答案】（I）22；（II）34；（III）321116−【分析】（I）由正弦定

理可得::2:1:2abc=，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【解析】（I）因为sin:sin:sin2:1:2ABC=，由

正弦定理可得::2:1:2abc=，2b=，22,2ac==；（II）由余弦定理可得2228243cos242222abcCab+−+−===；（III）3cos4C=，27sin1cos4CC=−=，7337sin22sincos2448CCC==

=，291cos22cos121168CC=−=−=，所以sin2sin2coscos2sin666CCC−=−373113211828216−=−=.22．（2020秋·上海徐汇·高三位育中学校考阶段练习）在AB

C中，232coscossin()sincos()25ABBABBAC−−−++=−．（1）求cosA的值：（2）若42a=，5b=，求BA在AC方向上的投影．【答案】（1）3cos5A=−；（2）35．【分析】（1）利用二

倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cosA的值；（2）先利用余弦定理求出c，也即是BA，再根据投影的定义，求BA在AC方向上的投影，其中需要注意的是BA和AC的夹角是A的补角.【解析】解：（1）由232coscossin()sincos()25ABBABBAC−−−++=−可

得3cos()cossin()sin5ABBABB−−−=−，即3cos()5ABB−+=−，即3cos5A=−，（2）由余弦定理可知2223(42)525()5cc=+−−，解得1c=，7c=−（舍去）．向量BA在AC方向上的投影：3||cos()c

os5BAAcA−=−=．23．（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且coscoscos3sincosBACaBCb+=．（1）求角C的大小；（2）若6c=，且AB边上

的中线4CD=，求ABC的面积．【答案】（1）3C=；（2）732.【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tanC的值，进而求得C的大小.（2）利用coscos0BDCADC+=得到2250ab+=，利用余弦定理求得ab，由此求得三角形ABC的面积.【解析】（1）因为coscosco

s3sincosBACaBCb+=，由正弦定理，得coscoscos3sinsincossinBACABCB+=，所以cos()coscos3sinsincossinACACABCB−++=．所以sinsi

n3sincosACAC=．又因为sin0A，所以tan3C=．因为(0,)C，所以3C=（2）因为coscos0BDCADC+=，所以22222234340234234ab+−+−+=，得22

50ab+=；又因为22262cos3ababab+−==，所以14ab=，所以1137sin1432222SabC===．24．（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考开学考试）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知

sinsin()sinsin()CABBCA−=−．(1)证明：2222abc=+；(2)若255,cos31aA==，求ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦

定理求出bc，从而可求得bc+，即可得解.【解析】（1）证明：因为()()sinsinsinsinCABBCA−=−，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC−=−，所以22222

22222222acbbcaabcacbcabacbcab+−+−+−−=−，即()22222222222acbabcbca+−+−−+−=−，所以2222abc=+；（2）解：因为255,cos31aA==，由（1）得2250bc+

=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，则50502531bc−=，所以312bc=，故()2222503181bcbcbc+=++=+=，所以9bc+=，所以ABC的周长为14abc++=.25．（2022春·上海虹口·高三上

海市复兴高级中学校考阶段练习）已知以角B为钝角的ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(,2)mab=，(3,sin)nA=−，且mn⊥.(1)求角B的大小；(2)求coscosAC+的取值范围.【答案】(1)23B=(2

)3,32【分析】（1）利用0mn=，结合正弦定理，求出3sin2B=，B为钝角，所以23B=.（2）化简coscos3sins3ACA+=+，由（1）知，0,3A，2,333A+

，即可确定coscosAC+的取值范围，（1）因为mn⊥，所以0mn=，得：32sin0abA−=，由正弦定理化简得：3sin2sinsin0,sin0ABAA−=，所以3sin2B=，B为钝角，所以2

3B=.（2）因为13coscoscoscoscoscossin3sin3223ACAAAAAA+=+−=++=+，由（1）知，0,3A，2,333A+，3sin,132A+

，故coscosAC+的取值范围是3,32.26．（2022春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）已知ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若ABC，π3B=，ABC的外接圆半径为R，()22R12coscosacAC

=−，求A的大小；(2)若3a=，2b=，2AB=，求c边的长.【答案】(1)π6A=(2)2c=或52c=【分析】（1）结合正弦定理化简已知条件，从而求得A的大小.（2）结合正弦定理、余弦定理求得c边的长.（1）依题意()22R12coscosacAC=−，由正弦定理得()22Rsi

n2Rsin2R12coscosACAC=−，2sinsin12coscosACAC=−，1sinsincoscos2ACAC+=，()1cos2CA−=，由于ABC，2ππ2π0,0,0323CACA−−−，所以πππ32,π2π363CACCAACA−==−=

=+=.（2）由正弦定理得,,sinsinsin2sin2sincossinabababABBBBBB===，0π,sin0BB3,cos2cos24aabBBb===，由余弦定理得2222

cosbacacB=+−，29502cc−+=，解得2c=或52c=.27．（2021秋·上海浦东新·高三校考开学考试）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tancostansinABAB=+.（Ⅰ）若8ac+=，ABC的面积为6，求sinB；（Ⅱ）若2252ba

=，求sin23B−.【答案】（1）3sin4B=；（2）731516−【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得ac=，进而可求4ac==，利用三角形的面积公式即可求得si

nB的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ac=，结合已知由余弦定理可得cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解．【解析】解：（Ⅰ）tancostansinABAB=+，sins

incossincossin()sinAABBAABC=+=+=，由正弦定理可得ac=，又8ac+=，4ac==，ABC的面积为116sin44sin22acBB==，解得：3sin4B=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ac=，又2252ba=，

由余弦定理可得2222222512cos224aaaacbBaca+−+−===−，(0,)B，215sin1cos4BB=−=，15sin22sincos8BBB==−，27cos22cos18BB=−=−，15

1737315sin(2)sin2coscos2sin()()333828216BBB−−=−=−−−=．28．（2022·上海·高三专题练习）在ABC中，已知12tan5A=.（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，

求BC的取值范围．【答案】（1）6；（2）1254,5．【解析】由三角形内角求得sin,cosAA，（1）由正弦定理2sinaRA=可得；（2）由三角形面积得13=bc，利用正弦定理可把sinaA用,BC表示为sinsinsinabcABC=

，这样只要求得sinsinBC的范围即可．sinsinsinsin()sinsin()BCBABBAB=−−=+，展开后应用二倍角公式，辅助角公式化为sin()Axkwj++形式，然后结合正弦函数性质可得范围，其中可求得,22BA

−．【解析】（1）由已知12tan5A=，又(0,)A，∴0,2A，sin0,cos0AA，由22sin12cos13sincos1AAAA=+=解得12sin13

A=，5cos13A=，由正弦定理得132sin2BCRA==，∴131312sin62213BCA===．（2）由（1）12sin13A=，5cos13A=，则1sin62ABCSbcA==，∴1

3=bc．由正弦定理sinsinsinabcABC==得sinsinsinabcABC=，2πB，2C，,22BA−，1313sinsinsinsinsin()sinsin()abcABCBABBAB===−−+213125sincossin1313BBB=+1365s

in2(1cos2)1326BB=+−1315sin(2)226B=−+，其中2A+=且为锐角，2,22BAA−−+，∴2BA=−时，131355sin513aA==，1255a=，22AB=−时，1313

9sin313aA==，4a=，∴a的范围是1254,5．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换．关键是由正弦定理用角表示出边sinsinsinabcABC=，再利用三角函数性质得出边

的范围．29．（2022·上海·高三专题练习）在ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，点M是边BC的中点，且33cossinbaCcA=+．（1）求A的值；（2）若7a=，5c=，求ABM的面积．【答案】（1）3A

=；（2）53．【解析】（1）根据题意和正弦定理化简得sinsin3cossinACAC=，进而得到()0,C，即可求解；（2）由余弦定理列出方程，求得8b=，进而求得103ABCS=，再结合点M是边BC的中点，即可求解.【解析】（1）因为3cossin3aCcAb+=，由正弦定理得

3sincossinsin3sinACCAB+=，又因为()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，所以sinsin3cossinACAC=，因为()0,C，所以sin0C，所以tan3A=，又()

0,A，所以3A=.（2）由余弦定理得222225491cos2102bcabAbcb+−+−===，解得8b=，所以11sin85sin103223ABCSbcA===△，因为点M是边BC的中点，所以1532ABMABCSS==△△．【点睛】对于解三角

形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求解，同时注意利用三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.30．（2021秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）如图，四边形OA

CB中，,,abc为ABC的内角,,ABC的对边，且满足sinsintan2coscosABCBC=−−+（1）证明：2bca+=；（2）若22OAOB==，且bc=，设()0AOB=，当变化

时，求四边形OACB面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）5324+.【解析】（1）由已知条件化简可得sinsin2sinCBA+=，再由正弦定理可得2bca+=；（2）由条件和（1）的结论可得ABC为等边三角形，利用213sin2

4OACBOABABCSSSOAOBθAB=+=+，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值．【解析】（1）因为sinsinsintancos2coscosABCAABC+==−−，所以sincossincos2sinco

ssincossinBACAABACA+=−−，所以sincoscossinsincoscossin2sinBABACACAA+++=，所以sin()sin()2sinABACA+++=，即sinsin2sinCBA+=，由正弦定理得2bca+=；（2）因

为2,bcabc+==，所以abc==，所以ABC为等边三角形，由余弦定理得214212cos54cosABθθ=+−=−，所以213sin24OACBOABABCSSSOAOBθAB=+=+5353sin3cos2sin434

=−+=−+，因为(0,)，所以2,333−−，所以当32−=即56=时，四边形OACB面积取得最大值5324+.【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形

的应用，解答本题的关键是由余弦定理得到254cosABθ=−，从而可得213sin24OACBOABABCSSSOAOBθAB=+=+53sin3cos4=−+，将四边形的面积表示成角的三角函数，属于中档题.31．（2021·

上海·统考模拟预测）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sincos6bAaB=−．（1）求角B的大小；（2）若a，b，c依次成等比数列，求11tantanAC+的值．【答案】（1）3；（2）233．【分析】（1）利用正弦定理进行边化角

，再利用两角差的余弦公式进一步化简可求得tanB，从而求得角B；（2）由等比数列的性质可得2bac=，再利用正弦定理进行边化角，带入11tantanAC+通分后的式子即可得解.【解析】（1）由正弦定理得sins

insincos6BAAB=−，又ABC中，sin0A，故31sincoscossin622BBBB=−=+，即sin3cosBB=，化简得tan3B=，又(0,)B，所以角B的大小为3．（2）由a，b，c依次成等比数列得2bac=，由正弦定理得2si

nsinsinBAC=，故11coscossin()sin123tantansinsinsinsinsinsinsin3ACACBACACACACB++=+====．【点睛】本题考查正弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题.32．（2018春·上海·高三上

海市七宝中学校考开学考试）已知ABC的顶点分别为(,4)Aa，(0,)Bb，(,0)Cc．(1)若3a=，0b=，5c=，求sinA的值；(2)若虚数2i(0)xaa=+是实系数方程250xcx−+=的根，且A是钝角，求b的取值范围．【答案】(1)255(

2)134b且163b．【分析】（1）根据坐标，可作图，利用方格图，在构造的直角三角形中，利用三角函数定义，可得答案；（2）根据一元二次方程的根的性质，以及余弦定理，可得答案.【解析】（1）（1）因为3a=，0b=，5c=，

所以(3,4)A，(0,0)B，(5,0)C．所以22||345AB=+=，22||(53)425AC=−+=，||5BC=，如图，因为||||ABBC=，所以425sinsin525AC===．（2）将2ixa=+代入250xcx−+=得2(2i)(2i)50a

ca+−++=，展开得292(4)i0acaac−−+−=，即292040acaac−−=−=，解得092ac==（舍去）或14ac=−=（舍去）或14ac==，所以(1,4)A，(0,)B

b，(4,0)C，则(1,4)ABb=−−，(3,4)AC=−．因为A是钝角，所以0ABAC且A，B，C三点不共线，即(1,4)(3,4)34(4)0ABACbb=−−−=−−−uuuruuur且1434

b−−−，解得134b且163b．33．（2020·上海·高三专题练习）在ABC中，满足222sincos2sinsincosABABC−+=−．（1）求C；（2）设()()2coscos322coscos5cos5ABAB++==，，求tan的值.【答案】（1）3

4（2）1或4【分析】（1）先利用平方关系将余弦化为正弦，再结合正余弦定理化简可得C.（2）由（1）结合两角和与差的余弦公式及同角基本关系式将已知化简整理成关于正切的二次方程，解之即可.【解析】（1）∵221cosBsi

nB=−，221cosCsinC=−，∴2222sinAcosBsinAsinBcosC−+=−变形为222121sinAsinBsinAsinBsinC−−+=−−（）（），即2222sinAsinBsinAsinBsinC++=，利用正弦

定理可得：2222ababc++=，由余弦定理可得cosC=22−，即C=34.（2）由（1）可得cos（A+B）=22，A+B=4，又cosAcosB=cos()cos3225ABAB++−=（），可得72cos(AB)10−=，同时cos（αA+）cos（αB+）=72cos(2α)co

s(2αAB)cosAB41022+++++−=（），∴22272272cos(2α)cos2αsin2αcos(αA)cos(αB)410210222coscoscos++−+++===222222722sinαcosα2102cossincossinco

s−−++（）=2226222sinαcosα552cossincos+−=2322510tan+-22tan=25，∴2tan5tan62−+=，∴1tan=或4.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了两角和差的余弦公式的应用，考查了利用

同角基本关系式处理齐次式的技巧，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，属于难题.34．（2022·上海·高三专题练习）已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若sin2,2cos1cos22AAmA=+，sin1cos2,32cos2

AAnA++=−+，且12mn=．（1）求角A的值；（2）若ABC的周长为4a+，面积为3，求a的值．【答案】（1）23；（2）23；【分析】（1）三角

恒等变换、诱导公式可得tan,2cos2AmA=，cot,cos2AnA=−，再利用向量数量积公式运算可得1cos2A=−，得解；（2）由三角形周长及三角形面积可得4bc+=，

4bc=，再利用余弦定理运算即可得解.【解析】解：（1）因为2sin22sincostan1cos22cosAAAAAA==+，sin()cos2cot3sincos()2AAAAA+==+，1coscoscos222AAA+−=−=−，则1t

ancot(2cos)(cos)cos222AAmnAAA=+−=−=，即1cos2A=−,又()0,A，故23A=；（2）因为23A=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−得，222abcbc=++，又ABC的周长为4a+，

所以4bc+=，由三角形面积为3，所以1sin32bcA=即4bc=，所以22()12,abcbc=+−=故23a=.【点睛】本题考查了三角恒等变换、诱导公式，向量数量积的运算，重点考查了余弦定理及三角形面积公式，属中档题.35．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二

中校考期中）已知函数()sin3cosfxxx=+.(1)求函数()fx在区间0,2上的最大值和最小值；(2)设方程1()2fx=在)0,2上的两个解为和（），求()cos−的

值；(3)在ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c.若3c=，()0fC=，且sinsin22sinsinABAB+=，求ABC的面积.【答案】(1)()fx最大值2，()fx最小值1(2)78−(3)338【分析

】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；（2）由题得1sin34x+=，可解得51arcsin34=+，21arcsin34=−，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求；（3）由题可求23C=，再结合正余弦定理及面积公式即求.(1)由题意知()2sin3fx

x=+，又0,,265[,]33xx+，故当且仅当6x=时，()fx取最大值2；当且仅当2x=时，()fx取最小值1.(2)令1()2fx=，化简得1sin34x+=，解得12arcsin()34xkk++=Z或1

2arcsin()34xkk=++−Z．由于[0,2)x，故51arcsin34=+，21arcsin34=−．于是11)cos(2arcsin)cos(2arcsin)cos4(4−=+=−．令1arcsin4=，则2712sin8cos2=−=，因此7

cos()8−=−．(3)由题意知sin0)23(fCC+==，由于(0,)C，解得23C=．在△ABC中，由正弦定理知2sinsinsinabcABC===，故1sin2Aa=，sin12Bb=，代入题目

条件得2abab+=在△ABC中，由余弦定理知223abab++=，将上式代入得22223()abbaabab−=−+=，解得32ab=，因此△ABC的面积133sin28bCSa==．