【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练25　数列的概念 Word版含解析.docx，共(3)页，34.862 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练25数列的概念一、基础巩固1.已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项答案:C解析:数列√5,√11,√17,√23,√29,…

中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,即该数列的通项公式an=√5+6(𝑛-1)=√6𝑛-1,令√6𝑛-1=5√5,得n=21.2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=𝑛𝑛+1,

则1𝑎5等于()A.56B.65C.130D.30答案:D解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=𝑛𝑛+1−𝑛-1𝑛=1𝑛(𝑛+1),则1𝑎5=5×(5+1)=30.3.已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2等于()A.

4B.3C.2D.1答案:D解析:由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,若bn=(n-10)an

,则数列{bn}的最小项为()A.第10项B.第11项C.第6项D.第5项答案:D解析:由Sn=n2,得当n=1时,a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时显然适合上式,所以an=2n-1

,所以bn=(n-10)an=(n-10)(2n-1).令f(x)=(x-10)(2x-1),易知其图象的对称轴为直线x=214,所以数列{bn}的最小项为第5项.5.已知数列{an}满足a1=-12,an+1=11-𝑎𝑛,则a2024等

于()A.-12B.23C.32D.3答案:B解析:因为数列{an}满足a1=-12,an+1=11-𝑎𝑛,所以a2=11-(-12)=23,a3=11-𝑎2=3,a4=11-𝑎3=-12=a1,……故数列{an}是周期为3的数列,且前3项依次为-12,23,3,所以a2024=a674×

3+2=a2=23.6.已知数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,则a5等于()A.132B.116C.14D.12答案:A解析:∵数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,∴a2=a1·a1=14,a3=a1·a2=18,

∴a5=a3·a2=132.7.已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,则数列{an}的通项公式an=.答案:3n解析:当n=1时a1=3.当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1

=(n-2)·3n+3,故an=3n.又a1=3符合上式,故an=3n.8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)(78)𝑛,则当an取得最大值时,n=.答案:5或6解析:由题意令{𝑎𝑛≥𝑎𝑛-1(𝑛≥2),𝑎𝑛≥𝑎𝑛+1,得{(𝑛+2)(78)𝑛≥(𝑛+1

)(78)𝑛-1,(𝑛+2)(78)𝑛≥(𝑛+3)(78)𝑛+1,解得{𝑛≤6,𝑛≥5.故n=5或n=6.9.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=.答案:2n-1解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-

1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1).又S1=2a1-1,∴a1=1,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.10.已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若

Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.解:(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).又a1=1也适合此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=

6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①因为a1=6不适合①式,所以an={6,𝑛=1,2·3𝑛-1+2,𝑛≥2.二、综合应用11.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(

n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2024的值为()A.2024n-mB.nC.mD.m+n答案:D解析:∵an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,……,∴an+6=an

,a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.∴S2024=S337×6+2=337×(a1+a2+…+a6)+a1+a2=337×0+m+n=m+n.12.意大利数学家莱昂纳多·斐波那契提出的“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,在现代生物及化

学等领域有着广泛的应用,它可以表述为数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn},则{bn}的前2024项和为()A.2272B.2274C.2270D.2277答案:D解析:∵数列{an}为1,1,2,3

,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,被3除后的余数构成一个新数列{bn},∴数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列,∵2024=253×8,且b1+b2+…+b

8=9,∴{bn}的前2024项和为253×9=2277.13.设数列{an}的首项为1且各项均为正数,若(n+1)·𝑎𝑛+12-n𝑎𝑛2+an+1·an=0,则它的通项公式an=.答案:1𝑛解析:∵(n+

1)𝑎𝑛+12-n𝑎𝑛2+an+1·an=0,∴[(𝑛+1)𝑎𝑛+1-𝑛𝑎𝑛](𝑎𝑛+1+𝑎𝑛)=0.∵数列{an}的首项为1,且各项均为正数,∴(n+1)an+1=nan,即𝑎�

�+1𝑎𝑛=𝑛𝑛+1,则an=𝑎𝑛𝑎𝑛-1·𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2·…·𝑎2𝑎1·a1=𝑛-1𝑛·𝑛-2𝑛-1·…·12·1=1𝑛.14.已知数列{an}满足an+1=an+2n,且a1=32,则𝑎𝑛𝑛的最小值为.答案:313解析:∵an+1=

an+2n,即an+1-an=2n,∴an=(𝑎𝑛-𝑎𝑛-1)+(an-1-an-2)+…+(𝑎2-𝑎1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+32=2×(1+𝑛-1)(𝑛-1)2+32=n2-n+32.∴𝑎𝑛𝑛=n+32𝑛-1.令f(

x)=x+32𝑥-1(x≥1),则f'(x)=1-32𝑥2=𝑥2-32𝑥2.∴f(x)在区间[1,4√2)内单调递减,在区间(4√2,+∞)内单调递增.又f(5)=5+325-1=525,f(6)=6+326-1=

313<f(5),∴当n=6时,𝑎𝑛𝑛取最小值为313.15.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,bn=Sn-3n.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,求a的取值范围.解:(1)因为an+1=Sn+3n

,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故数列{bn}的通项公式为bn=(a-3)·2n-1.(2)由题

意可知,a2>a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)·2n-1.于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)·2n-1-3n-1-(a-3)·2n-2=2×3n-1+(a-3)·2n-2,故

an+1-an=4×3n-1+(a-3)·2n-2=2n-2[12(32)𝑛-2+a-3].当n≥2时,由an+1≥an,可知12(32)𝑛-2+a-3≥0,即a≥-9.又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).三、探究创新16.已知函数f(x)是定义在区间(0,

+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.(32)𝑛-1答案:D解析:由题意

知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),则Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减,得2an=3an-1(n≥2),又an>0,所以𝑎𝑛𝑎𝑛-1=32(n≥2).又当n=1时,S

1+2=3a1=a1+2,所以a1=1,故an=(32)𝑛-1.