【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练6　函数的单调性与最大（小）值 Word版含解析.docx，共(4)页，44.921 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练6函数的单调性与最大(小)值一、基础巩固1.(2021北京,3)已知f(x)是定义在区间[0,1]上的函数,那么“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的()A.充分不必

要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),比如f(x)=(

𝑥-13)2,但f(x)=(𝑥-13)2在区间[0,13]上单调递减,在区间[13,1]上单调递增,故f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在区间[0,1]上单调递增,故“函数f(x)在区间[0,1]上单

调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.2.若函数y=ax与y=-𝑏𝑥在区间(0,+∞)内都单调递减,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内()A.单调递增B.单调递减C.先单调递

增后单调递减D.先单调递减后单调递增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-𝑏𝑥在区间(0,+∞)内都单调递减,所以a<0,b<0.所以y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎<0.故y=ax2+bx在区间(0,

+∞)内单调递减,选B.3.设函数f(x)={1,𝑥>0,0,𝑥=0,-1,𝑥<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是()A.(-∞,0]B.[0,1)C.[1,+∞)D.[-1,0]答案:B解析:由题知,g(x)={�

�2,𝑥>1,0,𝑥=1,-𝑥2,𝑥<1,可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1).4.(多选)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是()A.𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1

-𝑥2>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)>f(x2)答案:AB解析:由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B

正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.5.若函数f(x)=𝑘𝑥在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为()A.10B.10或20C.20D.无法确定答案:

C解析:当k=0时,不符合题意;当k>0时,f(x)=𝑘𝑥在区间[2,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)=𝑘4=5,∴k=20,符合题意;当k<0时,f(x)=𝑘𝑥在区间[2,4]上单调递增,∴f(x)min=f

(2)=𝑘2=5,∴k=10.又k<0,∴k=10舍去.故k的值为20.6.函数f(x)={1𝑥,𝑥≥1,-𝑥2+2,𝑥<1的最大值为.答案:2解析:当x≥1时,函数f(x)=1𝑥单调递减,即f(x)在

x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.7.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是.答案:[1,2]解析:由题意知,f(x)={𝑥2-2𝑥,𝑥≥

2,-𝑥2+2𝑥,𝑥<2.作出f(x)的图象,由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].8.写出一个值域为(-∞,1),在R上单调递增的函数f(x)=.答案:1-(12)𝑥(答案不唯一)解析:f(x)=1-(12)𝑥,理由如下:∵y=(12)𝑥为R上

的减函数,且(12)𝑥>0,∴f(x)=1-(12)𝑥为R上的增函数,且f(x)=1-(12)𝑥<1,∴f(x)=1-(12)𝑥的值域为(-∞,1).9.若f(x)={(3𝑎-1)𝑥+4𝑎,𝑥<1,-𝑎𝑥,𝑥≥1是定义在R上的减函数,

则实数a的取值范围为.答案:[18,13)解析:由题意知,{3𝑎-1<0,(3𝑎-1)×1+4𝑎≥-𝑎,𝑎>0,解得{𝑎<13,𝑎≥18,𝑎>0,故a的取值范围为18,13.10.已知函数f(x)=2𝑥-1𝑥+1,x∈[3,5].(1)判断

函数f(x)在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数在区间[3,5]上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.因为f(x

1)-f(x2)=2𝑥1-1𝑥1+1−2𝑥2-1𝑥2+1=(2𝑥1-1)(𝑥2+1)-(2𝑥2-1)(𝑥1+1)(𝑥1+1)(𝑥2+1)=3(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+1)(𝑥2+1),又3≤x1

<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=2𝑥-1𝑥+1在区间[3,5]上单调递增.(2)由(1)可知f(x)min=f(3)=2×3-13+1=54,f(x)max=f(5)=2×5

-15+1=32.二、综合应用11.(多选)下列说法正确的是()A.函数y=2x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增B.函数y=1𝑥+1在区间(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调递减C.函数y=√5+4𝑥-𝑥2的单调区间是[-2,+∞)D

.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)答案:AD解析:由函数y=2x2+x+1=2(𝑥+14)2+78在区间[-14,+∞)内单调递增知,函数y=2x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增,故A正确;函数y=1𝑥+1在

区间(-∞,-1)和(-1,+∞)内均单调递减,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)内不单调递减,如-2<0,但1-2+1<10+1,故B错误;函数y=√5+4𝑥-𝑥2在区间[-2,-1)和(5,+∞)内无意义,从而在区间[-2,+∞)内不是单调函数,

故C错误;由a+b>0得a>-b,因为f(x)在R上单调递增,所以f(a)>f(-b),同理f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故D正确.12.已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在区间

[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-12,2]D.(-12,2]答案:D解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减

,∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.∴{𝑎2≤1,12-𝑎·1+3𝑎>0,解得-12<a≤2.故实数a的取值范围是(-12,2].13.已知函数f(x)=(12)-𝑥2+2�

�𝑥-𝑚2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为()A.-2B.2C.-1D.1答案:B解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴(12)-𝑥2+2𝑚𝑥-𝑚2-1≥2.∴f(x)的值域为[2,+∞).∵y1=(12)𝑥在R上

单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.14.已知函数f(x)=2𝑥+𝑚𝑥+1,x∈[0,1],若f(x)的最小值为52,则实数m的值为()A.32B.52C.3D.52或3答案:C解析:函数f(x)=2𝑥

+𝑚𝑥+1,即f(x)=2+𝑚-2𝑥+1,x∈[0,1],当m=2时,f(x)=2,不成立;当m-2>0,即m>2时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,可得当x=1时,f(x)取得最小值,且2+𝑚2=

52,解得m=3,成立;当m-2<0,即m<2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,可得当x=0时,f(x)取得最小值,且m=52,不成立.综上可得,m=3.15.已知函数f(x)={e-𝑥,𝑥≤0,-𝑥3,𝑥>0,若f(a-

1)≥f(-a),则实数a的取值范围是.答案:(-∞,12]解析:因为f(x)={e-𝑥,𝑥≤0,-𝑥3,𝑥>0,当x≤0时,f(x)=e-x单调递减,且f(x)≥1,当x>0时,f(x)=-x3单调递减,且f(x)

<0,所以函数f(x)={e-𝑥,𝑥≤0,-𝑥3,𝑥>0在定义域R上为减函数.因为f(a-1)≥f(-a),所以a-1≤-a,解得a≤12,即不等式的解集为(-∞,12].16.函数f(x)=(13)𝑥-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.答案:3解析:因为

y=(13)𝑥在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.三、探究创新17.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增,且函数y=𝑓(𝑥)𝑥

在区间I上单调递减,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为()A.[1,+∞)B.[0,√3]C.[0,1]D.[1,√3]答案:

D解析:因为函数f(x)=12x2-x+32图象的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.又当x≥1时,𝑓(𝑥)𝑥=12x-1+32𝑥,令g(x)=12x-1+32𝑥(x≥1),则g'(x)=12−32𝑥2=𝑥2-32𝑥2.由g'(x

)≤0得1≤x≤√3,即函数𝑓(𝑥)𝑥=12x-1+32𝑥在区间[1,√3]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,√3].18.已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数.如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()A.m

-n<0B.m-n>0C.m+n<0D.m+n>0答案:A解析:设F(x)=f(x)-f(-x),因为f(x)是R上的减函数,所以f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数,即F(x)是R上的减函数,则当m<n时,有F(m)>F(n),即f(m)-f(-m)>f(n)-

f(-n)成立.因此,当f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n<0一定成立,故选A.