【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.5 直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(9)页，439.352 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.5直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲1．点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系：(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：点在椭圆外+>1;点在椭圆内+<1;点在椭圆上+=1.2．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置

关系类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点;=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;<0直线与椭圆相离无公共点.3．弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段

叫作椭圆的弦.(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.4．“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程

根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.设，，代入椭圆方程+=1(a>b>0)，得，①-②可得+=0，设线段AB的中点为，当时，有+=0

.因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M

的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.5．椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确

分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式

以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型1判断直线与椭圆的位置关系】【方法点拨】结合具体条件，根据直线与椭圆的三种位置关系，进行判断，即可得解.【例1】1．（2022·全国·高二课

时练习）已知2𝑏=𝑎+𝑐，则直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0与椭圆𝑥26+𝑦25=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）直线𝑦

=2𝑥−1与椭圆𝑥29+𝑦24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）直线𝑦=𝑘𝑥+2与椭圆𝑥23+𝑦22=1有且只有一个交点，则𝑘

的值是()A．√63B．−√63C．±√63D．±√33【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆𝑥29+𝑦24=1的交点个数为（）A．0B．1C．2D．1或2

【题型2弦长问题】【方法点拨】①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.②涉及弦长问题，应联立直线与椭圆的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由韦达定理得到(或)，代入到弦长公式即可.【

例2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，过𝐹2且斜率为1的直线𝑙交椭圆𝐶于A、𝐵两点，则|𝐴𝐵|等于（）A．247B．127C．12√27D．8√37【变式2-1

】（2021·甘肃省高二期中（理））已知斜率为1的直线𝑙过椭圆𝑥24+𝑦2=1的右焦点，交椭圆于𝐴、𝐵两点，则弦𝐴𝐵的长为（）A．45B．65C．85D．135【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线𝑦=2𝑥+𝑚与椭圆𝐶:𝑥25+𝑦

2=1相交于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点.当△𝐴𝑂𝐵的面积取得最大值时，|𝐴𝐵|=（）A．5√4221B．√21021C．5√427D．3√427【变式2-3】（2021·江西·高安中学高

二期末（文））过椭圆𝑇:𝑥⬚⬚22+𝑦2=1上的焦点𝐹作两条相互垂直的直线𝑙1、𝑙2，𝑙1交椭圆于𝐴,𝐵两点，𝑙2交椭圆于𝐶,𝐷两点，则|𝐴𝐵|+|𝐶𝐷|的取值范围是（）A．[8√33,3√3]B．[8√23,3√3]C

．[8√23,3√2]D．[8√33,3√2]【题型3椭圆的“中点弦”问题】【方法点拨】根据“中点弦”问题的两种解题方法进行求解即可.这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类

问题也与弦中点和斜率有关.与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活.【例3】（2020·重庆高

二期末）已知椭圆𝐶:𝑥28+𝑦24=1，过点𝑃(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段𝐴𝐵中点，则|𝐴𝐵|=（）A．4√113B．2√153C．4√63D．4√33【变式3-1】（

2022·四川·高二阶段练习（文））已知椭圆C：𝑥24+𝑦22=1内一点𝑀(1,12)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（）.A．椭圆的焦点坐标为(2,0)，(−

2,0)B．椭圆C的长轴长为4C．直线𝑙的方程为2𝑥+2𝑦−3=0D．|𝐴𝐵|=2√153【变式3-2】（2022·河北·高二阶段练习（文））已知椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>�

�>0)的右焦点为𝐹(3,0)，过点𝐹的直线交椭圆𝐸于𝐴,𝐵两点，若𝐴𝐵的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（）A．5√2B．2√5C．5√22D．√10【变式3-3】（2022·内蒙古·高三期末（文））设椭圆的方程为𝑥22+𝑦24=1，斜率为k的直

线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（）A．直线AB与OM垂直；B．若直线方程为𝑦=2𝑥+2，则|𝐴𝐵|=43√2.C．若直线方程为𝑦=𝑥+1，则点M坐标为(

13，43)D．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2𝑥+𝑦−3=0；【题型4椭圆中的面积问题】【方法点拨】椭圆中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与椭圆方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三

角形面积公式求解即可；四边形面积问题可化为两个三角形面积来求解.【例4】（2022·江西·高二开学考试）已知直线𝑥+3𝑦−7=0与椭圆𝑥29+𝑦2𝑏2=1(0<𝑏<3)相交于𝐴，𝐵两点，椭圆的两个焦点分别是�

�1，𝐹2，线段𝐴𝐵的中点为𝐶(1,2)，则△𝐶𝐹1𝐹2的面积为（）A．√2B．√3C．2√3D．2√2【变式4-1】（2021·河南·高二阶段练习（文））已知椭圆𝐶:𝑥22+𝑦2=1的左､右焦点

分别是𝐹1，𝐹2，过𝐹1的直线𝑙:𝑦=𝑥+𝑚与椭圆C交于A，B两点，则△𝐴𝐵𝐹2的面积是（）A．43B．83C．169D．329【变式4-2】（2021·四川·高二期末（文））过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆𝑥22+𝑦2=1交于A、C与B、D，则四边形A

BCD面积最小值为（）A．83B．4√2C．2√2D．43【变式4-3】（2021·江苏·高二单元测试）已知A，F分别是椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35𝑏，若△𝐹𝑀�

�的周长为6，则△𝐹𝐴𝑁的面积为（）A．165√3B．85√3C．45√3D．25√3【题型5椭圆中的定点、定值、定直线问题】【例5】（2022·广东广州·一模）已知椭圆𝐶:𝑥28+𝑦24=1，直

线l：𝑦=𝑘𝑥+𝑛(𝑘>0)与椭圆𝐶交于𝑀,𝑁两点，且点𝑀位于第一象限.(1)若点𝐴是椭圆𝐶的右顶点，当𝑛=0时，证明：直线𝐴𝑀和𝐴𝑁的斜率之积为定值；(2)当直线𝑙过椭圆𝐶的右焦点�

�时，𝑥轴上是否存在定点𝑃，使点𝐹到直线𝑁𝑃的距离与点𝐹到直线𝑀𝑃的距离相等？若存在，求出点𝑃的坐标；若不存在，说明理由.【变式5-1】（2022·河南·高三开学考试（文））已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，长轴是短轴的3倍，点(1

,2√23)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点𝑄(1,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点𝑇(𝑡,0)，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【变式5-2】（2022

·高三阶段练习）已知椭圆𝐶的中心为坐标原点，对称轴为𝑥轴，𝑦轴，且过𝐴(−2,0),𝐵(1,32)两点.(1)求椭圆𝐶的方程；(2)𝐹为椭圆𝐶的右焦点，直线𝑙交椭圆𝐶于𝑃,𝑄（不与点𝐴重合）两点，记直线𝐴𝑃,𝐴𝑄,𝑙的斜率分别为𝑘1,𝑘2,𝑘，若

𝑘1+𝑘2=−3𝑘，证明：△𝐹𝑃𝑄的周长为定值，并求出定值.【变式5-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知椭圆C:𝑥25+𝑦24=1的上下顶点分别为𝐴，𝐵，过点P(0，3)且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于𝑀，𝑁两点，直线𝐵𝑀与𝐴𝑁交于

点𝐺.(1)设𝐴𝑁，𝐵𝑁的斜率分别为𝑘1，𝑘2，求𝑘1⋅𝑘2的值;(2)求证：点𝐺在定直线上.【题型6椭圆中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键

是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等

式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例6】已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左，右焦点分别为𝐹1(−√3,0),𝐹2(√3,0)且经过点𝑃(√3,2).(1)求椭圆C

的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△𝐴𝑂𝐵面积的最大值（O为坐标原点）【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直

于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．【变式6-2】（2022·浙江·高考真题）如图，已

知椭圆𝑥212+𝑦2=1．设A，B是椭圆上异于𝑃(0,1)的两点，且点𝑄(0,12)在线段𝐴𝐵上，直线𝑃𝐴,𝑃𝐵分别交直线𝑦=−12𝑥+3于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|𝐶𝐷|的最小值．【

变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√32，左，右焦点分别为𝐹1，𝐹2，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足|𝑄𝐹1|+|𝑄

𝐹2|=4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁|的最大值．