【文档说明】安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二第一学期开学考试数学（理）试卷含答案.doc，共(17)页，923.000 KB，由小赞的店铺上传

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高二第一期开学考数学试卷(理)一．选择题（每题5分，共12小题）1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝（）A．{1}B．（0，+∞）C．（0，1）D．（0，1]2．f（x）＝在（）A．（﹣∞

，1）∪（1，+∞）上是增函数B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数C．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是增函数D．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是减函数3．能反映一组数据的离散程度的是（）.A．众数B．平均数C．中位数D．方差4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获

胜的概率是31，则甲不输的概率为（）（A）65（B）52（C）61（D）315．如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得OCmOAnOB=+，则mn−的值为（）．A．13−B．0C．13D．236．若变量x，y满足约束条件

，则z＝3x﹣y的最小值是（）A．﹣7B．﹣9C．﹣1D．﹣57．若A，B为互斥事件，则（）A．()()1PAPB+B．()()1PAPB+C．()()1PAPB+=D．()()1PAPB+8．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委

为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，869．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数

列的概率为（）A．310B．25C.12D．3510．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）A．B．1﹣C．D．11．若直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，则点(),Pab与圆221xy+=的位置关系是（）A．在圆上B．

在圆外C．在圆内D．以上都有可能12．已知函数2()2cos3sin2fxxx=−，在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，内角A满足()1fA=−，若6a=，则ABC的面积的最大值为（）A．33B．332C．34D．23二．填空题（每题5分，共20分

）13．一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2＝128．14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5）

，y关于x的线性回归方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝15．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为③④．①至少有1个白球；都是白球．②至少有1个白球；至少有1个红球．③

恰有1个白球；恰有2个白球．④至少有1个白球；都是红球．16．三棱柱111CC−各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C120=，CC23==，14=，则这个球的表面积为．三．解答题（共6小题，计70分）

17．（10分）已知ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，()cos2cosaBbcA=−+，1AD=.（1）求A；（2）求ABC面积的最大值.18．（12分）庐江县统计局统计了该

县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：年收入（万元）24466677810年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收

入为9万元，预测其年饮食支出．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（参考数据：．）19．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量a=（-4，n），b=（Sn，n+3）垂直．

（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列()121nan+前n项和为Tn，求证：34nT．20．（12分）疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居

民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值；（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（3）求中位数的估计值．21．(12分)如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，APPB=，AP

PB⊥，E为CP的中点.（1）求证：//AP平面BDE；（2）求点D到平面ACP的距离.22．（12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使

用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：161718192021频数更换的易损零件数06

10162024记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19,求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（III）假设这10

0台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？高二第一期开学考数学试

卷一．选择题（每题5分，共12小题）1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝（）A．{1}B．（0，+∞）C．（0，1）D．（0，1]【解答】解：A＝{y|y＞0}，B＝{x|x≤1}

；∴A∩B＝（0，1]．故选：D．2．f（x）＝在（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函数B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数C．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是增函数D．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是减函数【解答】解：f（x

）＝＝﹣＝﹣1﹣，由函数y＝在x＞0，x＜0均为增函数，则将y＝的图象向右平移1个单位，可得y＝﹣的图象，再向下平移1个单位，即可得到f（x）的图象，则有f（x）在x＞1，x＜1上均为增函数，则有函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（1，+∞）．无减区间．故选：C．3

．能反映一组数据的离散程度的是（）.A．众数B．平均数C．中位数D．方差【答案】D4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（）（A）65（B）52（C）61（D）31【答案】A【解析】

甲不输的事件，包括两人下成和棋或甲获胜，且两个事件互斥，所以甲不输概率为115.236+=选A.5．如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得OCmOAnOB=+，则mn−的值

为（）．A．13−B．0C．13D．23【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出mn−的值.【详解】1111233333BCBOCOBOBOBABOOOAOAB=+=+=++=+，所以13mn−=−.故选：A6．若变量x，y满足约束条件

，则z＝3x﹣y的最小值是（）A．﹣7B．﹣9C．﹣1D．﹣5【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）

∴z＝3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1＝﹣7．故选：A．7．15．若A，B为互斥事件，则（）A．()()1PAPB+B．()()1PAPB+C．()()1PAPB+=D．()()1PAPB+【答案】B【解析】因为A,B互斥，但A,

B不一定对立，所以()()1PAPB+8．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，86【解答】

解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选：A．9．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A．31

0B．25C.12D．35【答案】B【解析】成等差的基本事件有42{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},(1,3,5}105P==，故选B10．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）A．B．1﹣C．D．【解答】解：满足条件的正方形ABCD如

下图所示：其中正方形的面积S正方形＝4×4＝16；满足到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示则S阴影＝16﹣4π，故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于1的概率是P＝＝＝1；故选：B．11．若直线1axby+=与圆221xy+=有两个

公共点，则点(),Pab与圆221xy+=的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，可得||2211ab+，即为221ab+，由此可得点与圆的位置关系

。【详解】解：因为直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，所以有||2211ab+，即221ab+，因为点P与圆心的距离为22ab+，圆的半径为1，所以点P在圆外，故选B。12．已知函数2()2cos3sin2fxxx=−，在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,

abc，内角A满足()1fA=−，若6a=，则ABC的面积的最大值为（）A．33B．332C．34D．23【答案】B【解析】2()2cos3sin2fxxx=−=cos23sin212cos213xxx−+=++()2cos211cos2133fAAA

=++=−+=−，A为三角形内角，则3A=6a=，222222cos2abcbcAbcbcbcbcbc=+−=+−−=，当且仅当bc=时取等号11333sin62222ABCSbcA==二．填空题（每题5分，共20分）13．一组样本数据x

，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2＝128．【解答】解：平均数为×（x+4+5+6+y）＝5，即x+y＝10，方差为×[（x﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（y﹣5）2]＝16，所以（x﹣5）2+（y﹣5）2＝78

，即x2+y2﹣10（x+y）＝28，所以x2+y2＝28+10（x+y）＝28+10×10＝128．故答案为：128．14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性

回归方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝5.25．【解答】解：由题意中心点为（4.5，3.5），代入回归方程为：＝x+0.35，可得3.5＝4.5+0.35，解得＝0.7，所以：＝0.7x+0.35，x＝7时，＝0.7×7+0.35＝5.25，故答案为：5.25．15．从装有大小

相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为③④．①至少有1个白球；都是白球．②至少有1个白球；至少有1个红球．③恰有1个白球；恰有2个白球．④至少有1个白球；都是红球．【解答】解：从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，在①中，至少有1个白球和都是白

球能同时发生，不是互斥事件，故①错误；在②中，至少有1个白球与至少有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故②错误．在③中，恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，是互斥事件，故③正确；在④中，至少有1个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事件，故④正确．故选：③④．16．三棱柱111

CC−各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C120=，CC23==，14=，则这个球的表面积为．【答案】64【解析】试题分析：在ACB中，CC23==，C120=，则根据余弦定理求出222(23)AB=−202(23

)cos120366AB==，设ABC与111ABC的外接圆的圆心分别为12、OO，半径分别为12、rr，则1206232sin120322ABrr====，连接12OO，线段12OO的中点O为

球心，11122OOAA==，连接2211,12+4=4OAOAAOOO=+=，球S=416=64；三．解答题（共6小题，计70分）17．（10分）已知ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，()cos2cosaBbcA=−+，1AD=.（1）求A；（2）求AB

C面积的最大值.【答案】（1）23A=（2）3【解析】（1）由正弦定理得：()sincossin2sincosABBCA=−+即：()sincoscossinsinsin2sincosABABABCCA+=+==−()0,Csin0C1cos2A=−()0,A23A

=（2）DQ为BC边的中点()12ADABAC=+()222242ADABACABABACAC=+=++，又1AD=2222242cos23cbcbbcbcbcbc=++=+−−，即4bc当且仅当bc=时取等号113sin432

22ABCSbcA==（当且仅当bc=时取等号）ABC∴面积的最大值为318．（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：年收入（万元）2446667781

0年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（参考数据：．）【解答】解：（1）（2+

4+4+6+6+6+7+7+8+10）＝6，（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）＝1.8．＝＝．．∴y关于x的线性回归方程为；（2）在为中，取x＝9，得≈2.

26．∴若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出为2.26万元．19．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量a=（-4，n），b=（Sn，n+3）垂直．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列()121

nan+前n项和为Tn，求证：34nT．【答案】（1）122nna=+（2）见解析20．（12分）疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频

率分布直方图如下：（1）求a的值；（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（3）求中位数的估计值．【解答】解：（1）由题意，得（0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003）×10＝1．解得a＝0.03．（2

）估计这100位居民锻炼时间的平均值为：＝5×0.005×10+15×0.012×10+25×0.03×10+35×0.035×10+45×0.015×10+55×0.003×10＝30.2（分钟）．（3）设中位数的估计值为x+30．由（0.005+0.0

12+0.03）×10+0.035x＝0.035（10﹣x）+（0.015+0.003）×10，得，所以中位数的估计值为．21．(12分)如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，APPB=，APPB⊥，E为CP的中点.（1）求证：//

AP平面BDE；（2）求点D到平面ACP的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，则O为AC的中点，利用中位线的性质可得出//OEPA，然后利用直线与平面平行的

判定定理可证明出//AP平面BDE；（2）取AB的中点M，连接PM，利用面面垂直的性质定理可得出PM⊥平面ABCD，由此可计算出三棱锥PACD−的体积，并计算出APC的面积，并设点D到平面ACP的距离为h，由13P

ACDACPVSh−=可计算出点D到平面ACP的距离的值.【详解】（1）如图，连接AC交BD于O，连接OE，则O为AC的中点.又E为CP上的中点，所以//OEPA.又AP平面BDE，OE平面BDE，所以//AP平面BDE

；（2）如图，取AB的中点M，连接PM，因为APPB⊥，APPB=，所以PMAB⊥，112PMAB==，2APPB==，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PM平面PAB，所以PM⊥平面ABCD.同

理可得BC⊥平面PAB，AP、BP平面PAB，BCAP⊥，BCBP⊥.又因为APBP⊥，BCBPB=，所以AP⊥平面BCP，PC平面BCP，则APPC⊥，所以226PCPBBC=+=，所以1126322APCSAPPC

===，又12222ACDS==，设点D到平面ACP的距离为h，由DAPCPACDVV−−=，得1133APCACDShPMS=，所以212333h==，即点D到平面ACP的距离为233.【点睛】本题考查直线与

平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算，同时也可以作出垂线，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．（12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一

易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：161718192021频数更换的易损零件数06

10162024记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19,求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值

；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】（I）)(,1

9,5700500,19,3800Nxxxxy−=（II）19（III）19