【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题7.8 二项分布与超几何分布（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(15)页，78.814 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.8二项分布与超几何分布（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量𝑋服从超几何分布的

是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为𝑋B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为𝑋C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为𝑋D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸

出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为𝑋【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项.【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量𝑋服从超几何分布.故选：B.2．（3分）（2022春·山西·高二期末）已知随机变量𝑋∼𝐵(𝑛,𝑝)，若�

�(𝑋)=1,𝐷(𝑋)=45，则𝑃(𝑋=3)=（）A．643125B．128625C．125D．32625【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.【解答过程】由𝐸(𝑋)=1,𝐷(𝑋)=45，得𝑛𝑝=1,𝑛𝑝(1−𝑝)=

45，解得𝑛=5,𝑝=15,所以𝑃(𝑋=3)=C53(15)3(1−15)2=32625.故选：D.3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量𝑋，𝑌满足：𝑌=3𝑋−1，𝑋∼𝐵(2,𝑝)，若𝑃(𝑋≥1)=5

9，则𝐷(𝑌)=（）A．3B．13C．4D．43【解题思路】由𝑋~𝐵(2,𝑝)，𝑃(𝑋⩾1)=59，求出𝑝值，利用二项分布的方差公式求出𝐷(𝑋)，再利用方差的线性性质，即可得到答案．【解答过程】由于随机变量𝑋满足：𝑋~𝐵(2,𝑝)，𝑃(𝑋⩾1)=59，∴𝑃

(𝑥=0)=1−𝑃(𝑋⩾1)=C20(1−𝑝)2=49，解得：𝑝=13，即𝑋~𝐵(2,13)，∴𝐷(𝑋)=𝑛𝑝(1−𝑝)=2×13×23=49，又∵随机变量𝑋，𝑌满足：𝑌=3

𝑋−1，∴𝐷(𝑌)=32𝐷(𝑋)=4，故选：C.4．（3分）（2023·全国·高二专题练习）若X～B(6,12)，则使P(X＝k)最大的k的值是（）A．2B．3C．2或3D．4【解题思路】求使𝑃(𝑋=𝑘)取最大值的𝑘的值可通过比较𝑃(𝑋=𝑘)

和𝑃(𝑋=𝑘+1)的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案.【解答过程】解：𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶6𝑘⋅(12)𝑘⋅(1−12)6−𝑘=𝐶6𝑘⋅(12)6，则𝑃(𝑋=𝑘+1)𝑃(𝑋=�

�)=𝐶6𝑘+1·(12)6𝐶6𝑘·(12)6=6−𝑘𝑘+1⩾1，得𝑘⩽2.5，所以当𝑘=2时，𝑃(𝑋=2)=1564，当𝑘=3时，𝑃(𝑋=3)=2064，从而𝑋=3时，𝑃(𝑋=𝑘)取得最大值．故选：B．5．（3分）（2022春·广东广州

·高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）A．𝑃(𝑋=1)=25B．随机变量𝑋服从二项分布C．随机变量𝑋服从几何分布D．𝐸(𝑋)=8

3【解题思路】由题意知随机变量𝑋服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．【解答过程】解：由题意知随机变量𝑋服从超几何分布，故B错误，C正确；𝑋的取值分别为0，1，2，3，4，则𝑃(𝑋=0)=C64C104=114，𝑃(𝑋=1)=C41C63C1

04=821，𝑃(𝑋=2)=C42C62C104=37，𝑃(𝑋=3)=C43C61C104=435，𝑃(𝑋=4)=C44C104=1210，∴𝐸(𝑋)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85，故A，D错误．故选：C．6．（3分）（2023

·山西·统考一模）已知随机变量𝜉𝑖的分布列如下：𝜉𝑖012𝑃(1−𝑝𝑖)22𝑝𝑖(1−𝑝𝑖)𝑝𝑖2其中𝑖=1，2，若12<𝑝1<𝑝2<1，则（）A．𝐸(𝜉1)<𝐸(𝜉2)，𝐷(3𝜉1+1)<𝐷(3𝜉2+1)B．𝐸(𝜉1)<𝐸

(𝜉2)，𝐷(3𝜉1+1)>𝐷(3𝜉2+1)C．𝐸(𝜉1)>𝐸(𝜉2)，𝐷(3𝜉1+1)<𝐷(3𝜉2+1)D．𝐸(𝜉1)>𝐸(𝜉2)，𝐷(3𝜉1+1)>𝐷(3𝜉2+1)【解题思路】由题知𝜉

𝑖∼𝐵(2,𝑝𝑖)，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答案.【解答过程】解：由表中数据可知𝜉𝑖∼𝐵(2,𝑝𝑖)，∴𝐸(𝜉𝑖)=2𝑝𝑖，𝐷(𝜉𝑖)=2𝑝𝑖(1−𝑝𝑖)，又∵12

<𝑝1<𝑝2<1，∴𝐸(𝜉1)<𝐸(𝜉2)，𝐷(𝜉1)−𝐷(𝜉2)=2(𝑝1−𝑝2)−2(𝑝12−𝑝22)=2(𝑝1−𝑝2)(1−𝑝1−𝑝2)>0，∴𝐷(𝜉1)>𝐷(𝜉2)

，𝐷(3𝜉1+1)=9𝐷(𝜉1)>9𝐷(𝜉2)=𝐷(3𝜉2+1).故选：B.7．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品

第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则𝑃(𝑋≥−80)等于

（）A．96625B．256625C．608625D．209625【解题思路】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出𝑋的取值，设𝜉表示一箱产品中可以销售的件数，则𝜉服从二项分布，分别求出𝑋的取值对

于得概率，从而可得答案.【解答过程】由题意得该产品能销售的概率为(1−19)(1−110)=45，易知𝑋的取值范围为{−320,−200,−80,40,160}，设𝜉表示一箱产品中可以销售的件数，则𝜉~𝐵(4,45)，所

以𝑃(𝜉=𝑘)=C4𝑘⋅(45)𝑘⋅(15)4−𝑘，𝑘=0,1,2,3,4，所以𝑃(𝑋=−80)=𝑃(𝜉=2)=C42(45)2(15)2=96625，𝑃(𝑋=40)=𝑃(𝜉=3)=C43(45)3(15)1=256625，𝑃(𝑋=

160)=𝑃(𝜉=4)=C44(45)4(15)0=256625，故𝑃(𝑋≥−80)=𝑃(𝑋=−80)+𝑃(𝑋=40)+𝑃(𝑋=160)=608625.故选：C.8．（3分）（2023·

全国·高二专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出𝑛(1≤𝑛≤6,𝑛∈𝑁∗)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为𝜉个，则随着𝑛(1≤𝑛≤6,𝑛∈𝑁∗)的增加，下列说法正确的是（）

A．𝐸𝜉增加，𝐷𝜉增加B．𝐸𝜉增加，𝐷𝜉减小C．𝐸𝜉减小，𝐷𝜉增加D．𝐸𝜉减小，𝐷𝜉减小【解题思路】由题意可知，从乙盒子里随机取出𝑛个球，含有红球个数𝑋服从超几何分布，即𝑋∼𝐻

(6,3,𝑛)，可得出𝐸𝑋=𝑛2，再从甲盒子里随机取一球，则𝜉服从两点分布，所以𝐸𝜉=𝑃(𝜉=1)=12+12𝑛+2，𝐷𝜉=1−𝑃(𝜉=1)=12−12𝑛+2，从而可判断出𝐸𝜉和�

�𝜉的增减性.【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出𝑛个球，含有红球个数𝑋服从超几何分布，即𝑋∼𝐻(6,3,𝑛)，其中𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶3𝑘𝐶3𝑛−𝑘𝐶6𝑛，其中𝑘∈𝑁，𝑘≤3且𝑘≤𝑛，�

�𝑋=3𝑛6=𝑛2.故从甲盒中取球，相当于从含有𝑛2+1个红球的𝑛+1个球中取一球，取到红球个数为𝜉.故𝑃(𝜉=1)=𝑛2+1𝑛+1=12+12𝑛+2，随机变量𝜉服从两点分布，所以𝐸𝜉=𝑃(𝜉=1)=𝑛2+1𝑛+1=12

+12𝑛+2，随着𝑛的增大，𝐸𝜉减小；𝐷𝜉=[1−𝑃(𝜉=1)]𝑃(𝜉=1)=14−1(2𝑛+2)2，随着𝑛的增大，𝐷𝜉增大.故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·

高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次

品数量为Y，𝑘=0，1，2，3．则下列判断正确的是（）A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布C．𝑃(𝑋=𝑘)<𝑃(𝑌=𝑘)D．𝐸(𝑋)=𝐸(𝑌)【解题思路】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”

是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.【解答过程】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则𝐸(𝑋)=3⋅5𝑀=15𝑀，�

�(𝑌)=∑𝑘𝐶𝑀−53−𝑘𝐶5𝑘𝐶𝑀33𝑘=0=∑𝑘𝐶𝑀−53−𝑘𝐶5𝑘𝐶𝑀33𝑘=1=15(𝑀−1)(𝑀−2)𝑀(𝑀−1)(𝑀−2)=15𝑀，因此D正确；对于C选项，假若C正确可得𝐸(𝑋)<𝐸(𝑌)，则D

错误，矛盾！故C错误．故选：ABD.10．（4分）（2023春·河北石家庄·高三开学考试）某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数𝐴=𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4⋯𝑎𝑛，其中ai(𝑖=1,2,3,⋯,𝑛)∈{0,1}，若在A的各数

位上出现0和1的概率均为12，记𝑋=𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛，则当程序运行一次时（）A．𝑃(𝑋=0)=12𝑛B．𝑃(𝑋=𝑘)=𝑃(𝑋=𝑛−𝑘)(0≤𝑘≤𝑛,𝑘∈N

∗)C．X的数学期望𝐸(𝑋)=𝑛2D．X的方差𝐷(𝑋)=𝑛24【解题思路】确定𝑋∼𝐵(𝑛,12)，计算得到AB正确，根据数学期望和方差的公式计算得到C正确，D错误，得到答案.【解答过程】由二进制数A的特点知每一个

数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，所以𝑋∼𝐵(𝑛,12)，所以𝑃(𝑋=0)=C𝑛0(12)0(1−12)𝑛=12𝑛，故A正确；𝑃(𝑋=𝑘)=C𝑛𝑘(12)𝑘(1−12)𝑛−𝑘=C𝑛𝑛−𝑘(12)𝑛−

𝑘(1−12)𝑘=𝑃(𝑋=𝑛−𝑘)，故B正确；因为𝑋∼𝐵(𝑛,12)，所以𝐸(𝑋)=𝑛×12=𝑛2，𝐷(𝑋)=𝑛×12×(1−12)=𝑛4，故C正确，D错误.故选：ABC.11．（4分）（2022春·山西吕梁·高二期中）已知10件产品中存在次

品，从中抽取2件，记次品数为𝜉，𝑃(𝜉=1)=1645，𝑃(𝜉=2)=145，则下列说法正确的是（）A．这10件产品的次品率为20%B．次品数为8件C．𝐸(𝜉)=0.4D．𝐷(𝜉)=64225【解题思路】假设次品为𝑛件，由𝑃(𝜉=1)=1645求得次品𝑛及次

品率，再分别求的𝐸(𝜉)，𝐷(𝜉)即可得出结果.【解答过程】假设10件产品中存在次品为𝑛件，从中抽取2件，{𝑃(𝜉=1)=1645𝑃(𝜉=2)=145⇒{𝑃(𝜉=1)=C𝑛1C10−𝑛1C102=1645

𝑃(𝜉=2)=C𝑛2C10−𝑛0C102=145⇒𝑛=2，则次品数为2件，B错误；这10件产品的次品率为210×100%=20%，A正确；10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为𝜉，则𝜉

的可能取值为0，1，2，𝑃(𝜉=0)=1−𝑃(𝜉=1)−𝑃(𝜉=2)=1−1645−145=2845；则𝐸(𝜉)=0×2845+1×1645+2×145=0.4，C正确；𝐷(𝜉)=(0−0.4)2

×2845+(1−0.4)2×1645+(2−0.4)2×145=64225，D正确.故选：ACD.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供𝐴,𝐵两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一

天选择𝐴套餐的概率为23，选择𝐵套餐的概率为13.而前一天选择了𝐴套餐的学生第二天诜择𝐴套餐的概率为14，选择𝐵套餐的概率为34；前一天选择𝐵套餐的学生第一天选择𝐴套餐的概率为12，选择𝐵套餐的概率也是12，如此往复.记某同学第𝑛天选择𝐴套餐的概

率为𝐴𝑛，选择𝐵套餐的概率为𝐵𝑛.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择𝐵套餐的人数为𝑋，则下列说法正确的是（）A．𝐴𝑛+𝐵𝑛=1B．数列{𝐴𝑛−25}是等比数列C．𝑃(𝑋=1)≈0

.288D．𝐸(𝑋)=1.5【解题思路】对于A选项，由于每人每次只能选择𝐴,𝐵两种套餐中的一种，则𝐴𝑛+𝐵𝑛=1，所以A正确；对于B选项，依题意𝐴𝑛+1=𝐴𝑛×14+(1−𝐴𝑛)×12，利用等比数列的定义即可判断数列{𝐴𝑛−25

}是等比数列；对于C，D选项，利用B选项的结论可解得𝐴𝑛=25−1615⋅(−14)𝑛,𝐵𝑛=1−𝐴𝑛=35+1615⋅(−14)𝑛，则当𝑛>30时，𝐵𝑛≈35，所以𝑋∼𝐵(3,35),𝑃(𝑋=1)=C31(35)(1−35)2=36125=0.2

88,𝐸(𝑋)=3×35=95=1.8，所以C正确，D错误.【解答过程】由于每人每次只能选择𝐴,𝐵两种套餐中的一种，所以𝐴𝑛+𝐵𝑛=1，故A正确；依题意，𝐴𝑛+1=𝐴𝑛×14+(1−𝐴𝑛

)×12，则𝐴𝑛+1−25=−14(𝐴𝑛−25)(𝑛⩾1,𝑛∈𝑁).又𝑛=1时，𝐴1−25=23−25=415，所以数列{𝐴𝑛−25}是首项为415，公比为−14的等比数列，故B正确所以𝐴𝑛−25=415⋅(−14)𝑛−1,𝐴𝑛

=25−1615⋅(−14)𝑛,𝐵𝑛=1−𝐴𝑛=35+1615⋅(−14)𝑛，当𝑛>30时，𝐵𝑛≈35，所以𝑋∼𝐵(3,35),𝑃(𝑋=1)=C31(35)(1−35)2=36125=0.288,𝐸(𝑋)=3×35=95=1.8，所以C正确，D

错误.故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·重庆沙坪坝·重庆模拟预测）已知随机变量𝜉∼𝐵(5,𝑝)，且𝐸(𝜉)=109，则𝐷(𝜉)=7081.【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.【解答过程】解：因为随机变量𝜉∼𝐵(5,

𝑝)，所以𝐸(𝜉)=5𝑝=109，所以𝑝=29，所以𝐷(𝜉)=5×29×(1−29)=7081.故答案为：7081.14．（4分）（2023·高三课时练习）设随机变量𝜉~𝐵(2,𝑝),𝜂~𝐵(3,𝑝)，若𝑃(𝜉

≥1)=59，则𝑃(𝜂≥2)=727．【解题思路】由题意可得𝑃(𝜉≥1)=1−𝑃(𝜉=0)=59,由此解出𝑝值,根据𝜂~𝐵(3,𝑝),代入所求的概率的值,根据𝑃(𝜂≥2)=1−𝑃(𝜂=0)−𝑝(𝜂=1)得到结果.【解答过程】∵

随机变量𝜉~𝐵(2,𝑝),且𝑃(𝜉≥1)=59，∴𝑃(𝜉≥1)=1−𝑃(𝜉=0)=1−C20⋅(1−𝑝)2=59,解得𝑝=13,∴𝜂~𝐵(3,13)，∴𝑃(𝜂≥2)=1−𝑃(𝜂=0)−

𝑃(𝜂=1)=1−C30(13)0(23)3−C31(13)1(23)2=1−827−49=727，故答案为：727.15．（4分）（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7

9．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)=32．【解题思路】根据题意结合古典概型求得𝑚=5，进而求X的分布列和期望.【解答过程】设袋中有𝑚个黑球，则白球有10−𝑚，由题意可得：C

𝑚2C102=𝑚(𝑚−1)90=1−79，解得𝑚=5或𝑚=−4（舍去），故X的可能取值有0,1,2,3，则有：𝑃(𝑋=0)=C53C103=112,𝑃(𝑋=1)=C52C51C103=512,𝑃(𝑋=2)=C51C52C103=512,𝑃(𝑋=3)=C53C1

03=112，可得X的分布列为：X0123P112512512112故𝐸(𝑋)=0×112+1×512+2×512+3×112=32.故答案为：32.16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5

次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为𝑝(0<𝑝<1)，若当𝑝=𝑝0时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则𝑝0=1−√155．【解题思路】由题设至

少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得𝑓(𝑝)=(1−𝑝)3(2𝑝−𝑝2)，利用导数研究函数在(0,1)上的最值，根据最值成立的条件即得𝑝0.【解答过程】至少射击4次合格通过的概率为𝑓(𝑝)=(1−𝑝)3𝑝+(1−𝑝)4𝑝=(1−𝑝)3(2𝑝−

𝑝2)，所以𝑓′(𝑝)=(1−𝑝)2(5𝑝2−10𝑝+2)，令𝑓′(𝑝)=0，解得𝑝=1−√155，故𝑓(𝑝)在(0,1−√155)上单调递增，在(1−√155,1)上单调递减，当𝑝=1−√155

时𝑓(𝑝)得最大值，故𝑝0=1−√155．故答案为：1−√155.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷

1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，

出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．【解题思路】（1）由条件可知𝑋1∼𝐵(𝑛,13)，写出二项分布列；（2）根据古典概型求概率；（3）因为是有放回，所以每此抽取，抽出次品的概率是𝑀𝑁，𝑋3∼(𝑛,𝑀𝑁)，写出二项分布列；（4）X4服从超几何

分布，根据超几何分布求概率分布.【解答过程】【解】（1）X1的分布列为X1012…nP𝐶𝑛0(13)0(23)𝑛𝐶𝑛1(13)1(23)𝑛−1𝐶𝑛2(13)2(23)𝑛−2…𝐶𝑛𝑛(13)𝑛X1服从二项分布，

即X1～𝐵(𝑛,13)．（2）X2的分布列为X223456789101112P136236336436536636536436336236136（3）X3的分布列为X3012…nP(1−𝑀𝑁)𝑛𝐶𝑛1⋅𝑀𝑁⋅(1−𝑀𝑁)𝑛−1𝐶𝑛2⋅(𝑀𝑁)2

⋅(1−𝑀𝑁)𝑛−2…(𝑀𝑁)𝑛X3服从二项分布，即X3～𝐵(𝑛,𝑀𝑁).(4)X4的分布列为X401…k…nP𝐶𝑁−𝑀𝑛𝐶𝑁𝑛𝐶𝑀1𝐶𝑁−𝑀𝑛−1𝐶𝑁

𝑛…𝐶𝑀𝑘𝐶𝑁−𝑀𝑛−𝑘𝐶𝑁𝑛…𝐶𝑀𝑛𝐶𝑁𝑛X4服从超几何分布．18．（6分）（2023秋·河北唐山·高三期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三

次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为12，13，14，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.(1)求顾客获得两个奖品的概率；(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为𝑋，求𝑋的分布列与数学期望.【解题思路】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.（2）根据二项分布

的知识求得分布列并求得数学期望.【解答过程】（1）顾客获得两个奖品的概率为：12×(12×13×34+12×23×14+12×13×14)=18.（2）1个顾客没有获奖的概率为12×(12×23×34)+12=58，所以𝑋∼𝐵(3,58)，则𝑋的可能取值为0,1,2,3，𝑃(𝑋=0)=C

30×(58)0×(38)3=27512，𝑃(𝑋=1)=C31×(58)1×(38)2=135512，𝑃(𝑋=2)=C32×(58)2×(38)1=225512，𝑃(𝑋=3)=C33×(58)3×(

38)0=125512，所以𝑋的分布列为：𝑋0123𝑃27512135512225512125512所以𝐸(𝑋)=3×58=158.19．（8分）（2023·全国·模拟预测）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机

抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频率0.080.240.360.200.12(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知样本中竞赛成绩在[50,60

)的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[50,60)的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为𝑋，求𝑋的分布列及期望.【解题思路】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2

）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在[50,60)的总人数，进而确定𝑋所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【解答过程】（1）平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.36+85×0.20+95×0.12=7

5.4.（2）由题意知：样本中竞赛成绩在[50,60)的共有100×0.08=8人，其中有男生2人，则𝑋所有可能的取值为0,1,2，∴𝑃(𝑋=0)=C63C83=2056=514；𝑃(𝑋=1)=C62C21C83=3056=1528；𝑃(𝑋=2)=C61C22C83=

656=328；∴𝑋的分布列为𝑋012𝑃5141528328∴数学期望𝐸(𝑋)=0×514+1×1528+2×328=34.20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学

阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间（𝑥小时/周）00<𝑥≤0.50.5<𝑥≤1𝑥>1人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，

采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取

10名学生，用𝑃(𝑋=𝑘)表示这10名学生中恰有𝑘(𝑘∈𝑁,0≤𝑘≤10)名学生数学阅读时间在(0,0.5]小时的概率，求𝑃(𝑋=𝑘)取最大值时对应的𝑘的值．【解题思路】(1)根据表中数据，即可知1

0人有4人阅读时间大于0.5，由组合即可求解概率；(2)将频率视为概率则𝑘~𝐵(10,25)，利用二项分布概率公式及不等式法求𝑃(𝑋=𝑘)取得最大时对应的𝑘值．【解答过程】（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人

每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为C41C61C102=815（2）周阅读时间在(0,0.5]小时的频率为25，故概率为25，则𝑘~𝐵(10,25)，所以𝑃(𝑘)=C10𝑘(25)𝑘(35)10−𝑘，由{𝑃(𝑘)≥𝑃(𝑘+1)𝑃(𝑘)≥𝑃(𝑘−1)得

：{C10𝑘(25)𝑘(35)10−𝑘≥C10𝑘+1(25)𝑘+1(35)9−𝑘C10𝑘(25)𝑘(35)10−𝑘≥C10𝑘−1(25)𝑘−1(35)11−𝑘，化简得{C10𝑘(35)≥C10

𝑘+1(25)C10𝑘(25)≥C10𝑘−1(35)解得175≤𝑘≤225，又𝑘∈𝑍，故𝑘=4.21．（8分）（2022·全国·高二专题练习）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小

区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5

户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在[3,4)（单位：kg）的概率是多少？②若抽取的5户中购买量在[3,6]（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6]（单位：kg）的户数为𝜉，求𝜉的分布列和

期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.【解题思路】（1）事件“从小区超

市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在[3，4)”发生的概率为𝑝=14．①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在[3，4)”为𝐴，利用独立重复实验的概率求解即可．②

随机变量𝜉所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为𝑝=0.35，判断𝑋~𝐵(10,0.35)，通过若𝑘户的

可能性最大，列出不等式组，求解𝑘即可．【解答过程】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在[3,4)”发生的概率为𝑝=14.①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两

户购买量在[3,4)”为A，则𝑃(𝐴)=1−𝐶5114(1−14)4−(1−14)5=47128.②随机变量𝜉所有可能的取值为0，1，2.则𝑃(𝜉=0)=𝐶33𝐶53=110，𝑃(𝜉=1)=𝐶32𝐶21𝐶53=35，�

�(𝜉=2)=𝐶31𝐶22𝐶53=310，𝜉012𝑃(𝜉)11035310所以𝐸(𝜉)=1×35+2×310=65（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为1.5×0.10+2.5×0.30+3.5×0.25+

4.5×0.20+5.5×0.15=3.5（kg）则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[4,6]，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为𝑝=0.35，若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，𝑋~𝐵(10,0.35)，若k户的可能性最大，则

𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶10𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)10−𝑘，𝑘=0,1,⋅⋅⋅,10{𝑃(𝑋=𝑘)≥𝑃(𝑋=𝑘−1)𝑃(𝑋=𝑘)≥𝑃(𝑋=𝑘+1)，得{𝐶10𝑘(0.35)𝑘(0.65)10−𝑘≥

𝐶10𝑘−1(0.35)𝑘−1(0.65)11−𝑘𝐶10𝑘(0.35)𝑘(0.65)10−𝑘≥𝐶10𝑘+1(0.35)𝑘+1(0.65)9−𝑘，解得2.85≤𝑘≤3.85，由于𝑘∈𝑁∗，故𝑘=3.22．（8分）（2022春·广东佛山·高二阶段练习）某酒业销售公司从2

022年元旦起对本公司经销的甲、乙两个系列的酒开展限量促销活动，每位顾客每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中的一瓶.统计发现：第一次购买酒的顾客购买一瓶甲系列酒的概率为15，购买一瓶乙系列酒的概率为45；而前一次购买甲系列酒的消费者下一次购买甲系列酒的概率为14，购买乙系列酒的概率

为34：前一次购买乙系列酒的顾客下一次购买甲系列酒的概率为12，购买乙系列酒的概率为12；如此往复.(1)设某人第n次购买甲系列酒的概率为𝑃𝑛，求𝑃𝑛+1与𝑃𝑛之间的等量关系，并求𝑃𝑛的表达式；(2)若该公司每卖出一瓶甲系列的酒可获利30元，卖出一瓶乙系列的

酒可获利20元，由样本估计总体，若该公司每天可卖出甲、乙系列的酒共1000瓶，且买酒的人都是老顾客，他们之前都已多次购买过这两个系列的酒，试估计该公司每天销售甲、乙系列酒获得的利润约为多少元?【解题思路】（1）由题意可得𝑃𝑛+1=12−14𝑃

𝑛，由递推关系式可构造等比数列即可得到表达式.（2）假设用𝜉表示该公司一天中销售甲系列酒的瓶数，由二项分布期望公式以及利润公式可得答案.【解答过程】（1）由题意可知：𝑃1=15，𝑃𝑛+1=14𝑃𝑛+12(1−𝑃𝑛)=12−14𝑃𝑛，即𝑃

𝑛+1=12−14𝑃𝑛，所以𝑃𝑛+1−25=−14(𝑃𝑛−25).又𝑃1−25=−15，所以{𝑃𝑛−25}是以−15为首项，−14为公比的等比数列.所以𝑃𝑛−25=−15×(−14)𝑛−1，所以𝑃𝑛=25−15×(−14)𝑛−1.（2）由于每天购

买甲、乙系列酒的人都已购买过很多次，所以，对于顾客来说，某天来购买酒时，可以将n看成是比较大的数，那么𝑃𝑛=25−15×(−14)𝑛−1就非常接近于25，由样本估计总体可知：顾客购买甲系列酒的概率约为25.假设用𝜉表示该

公司一天中销售甲系列酒的瓶数，则𝜉~𝐵(1000,25)，所以𝐸(𝜉)=1000×25=400，即购买甲系列酒的瓶数的期望为400，所以该公司每天能卖出甲系列酒400瓶，乙系列酒600瓶.因此，估计该公司销售甲、乙系列酒每天获

得的利润约为400×30+600×20=24000（元）.