【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练46　抛物线 Word版含解析.docx，共(7)页，74.195 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练46抛物线一、基础巩固1.已知抛物线C:y=mx2(m>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4,则m=()A.14B.8C.18D.42.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有一个相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A.y2=±2√2xB.y2=±2xC.y2=±

4xD.y2=±4√2x3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A.1B.2C.3D.44.过点F(0,3),且和直线y+3=0相

切的动圆圆心轨迹方程是()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-12yD.x2=12y5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为√33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF

的面积是()A.4B.3√3C.4√3D.86.已知直线l:y=kx-k(k∈R)与抛物线C:y2=4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线C的焦点,若2𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则实数k等于()A.±√33B.±1C.±√3D

.±27.(多选)(2022新高考Ⅱ,10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2√6B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OB

M<180°8.(2021北京,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为.9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点P为准线l上一点,且不在x轴上,直线PF交抛物线C于A,B两点,且𝑃𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,则|AB|=;设坐标原点为O,则△AOB的面积为.10.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求l的方程;(2)若点A关于x轴的对称点为D,求证:直

线BD过定点,并求出该点的坐标.二、综合应用11.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.20312.已知直线l:y=kx+1与抛

物线C:x2=4y交于A,B两点,直线m:y=2kx+2与抛物线D:x2=8y交于M,N两点,若对于任意k∈R,λ|AB|-|MN|为定值,则实数λ的值为()A.12B.8C.4D.213.(多选)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A(x1,y

1),B(x2,y2)是抛物线上两点,则下列说法正确的是()A.点F的坐标为(1,0)B.若A,F,B三点共线,则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-3C.若直线OA与OB的斜率之积为-14,则直线AB过点FD.若|AB|=6,则AB

的中点到x轴的距离的最小值为214.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是.15.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1

,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求λ的值.16

.已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,过点F且倾斜角为π6的直线l1与抛物线E相交于A,B两点,且|AB|=12,过点F且斜率为√3的直线l2与抛物线E相交于C,D两点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点A和C均在第一象限,求证:抛物线E的准线、直线AC和直线

BD三线共点.三、探究创新17.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过直线y=x-2上任一点引抛物线的两条切线,切点为A,B,则点F到直线AB的距离()A.无最小值B.无最大值C.有最小值,最小值为1D.有最大值,最大值为√5考点规

范练46抛物线1.C抛物线C的方程可化为x2=1𝑚y(m>0),因为点A(a,2)到抛物线C的准线的距离为4,所以14𝑚+2=4,解得m=18.2.D由已知得双曲线的焦点为(-√2,0),(√2,0).设抛物线C的

方程为y2=±2px(p>0),则𝑝2=√2,所以p=2√2,所以抛物线C的方程为y2=±4√2x.故选D.3.C依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点为F(12,0),F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA

|+|FB|+|FC|=(𝑥1+12)+(𝑥2+12)+(𝑥3+12)=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.4.D过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,

直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.5.C由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,∵AF的斜率为√33,∴AF的倾斜角为30°.∵AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.设A(𝑚,𝑚24),m>0,过F作FM⊥AH于点M,

则在△FAM中,|AM|=12|AF|,∴𝑚24-1=12(𝑚24+1),解得m=2√3,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,∴△AHF的面积是12×4×4sin60°=4√3.故选C.6.C抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,

0),直线l:y=kx-k过抛物线C的焦点F.当k>0时,如图所示,过点M作MM'垂直于准线x=-1,垂足为M',由抛物线的定义,得|MM'|=|MF|,易知∠M'MN与直线l的倾斜角相等,由2𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀

𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得cos∠M'MN=|𝑀𝑀'||𝑀𝑁|=12,则tan∠M'MN=√3,故直线l的斜率k=√3.当k<0时,可得直线l的斜率k=-√3.故选C.7.ACD选项A,由题意知,点A在线段MF的垂直平分线上,则xA=𝑝2+𝑝2=34p,所以𝑦𝐴2=2px

A=2p·34p=32p2(yA>0).所以yA=√62p,故kAB=√62𝑝-034𝑝-𝑝2=2√6,故选项A正确;选项B,直线AB的方程为y=2√6x-𝑝2,联立{𝑦=2√6(𝑥-𝑝2),𝑦2=2𝑝𝑥,消去y得

24x-𝑝22=2px,整理得12x2-13px+3p2=0,即(4x-3p)(3x-p)=0,解得x=3𝑝4或x=𝑝3.因为点A的横坐标为3𝑝4,所以点B的横坐标为𝑝3,从而其纵坐标为2√6𝑝3−𝑝2=-√6𝑝3,所以|OB|=√(𝑝3)2+(

-√6𝑝3)2=√7𝑝3,所以|OF|=𝑝2≠|OB|.故选项B错误;选项C,|AB|=34p+𝑝3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A34p,√62p,B𝑝3,-√6

3p,所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=34p,√62p·𝑝3,-√63p=𝑝24-p2=-34p2<0,所以∠AOB为钝角.又𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑝4,√62p·-2𝑝3,

-√63p=𝑝26-p2=-56p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.8.54√5因为抛物线的方程为y2=4x,所以准线方程为x=-1,点F(1,0).因为|MF|=6,所以xM+1=6,解得xM=5.

所以yM=±2√5.因为MN⊥x轴,所以点N(5,0),所以|FN|=5-1=4.所以S△MNF=12|FN|·|yM|=12×4×2√5=4√5.9.96√2抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为l:x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),过点A作AD⊥

l于点D(图略),由抛物线的定义可知|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4.∵𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,∴|PA|=3|AD|,∴|PD|=2√2|AD|,∴直线PF的斜率为

±2√2.∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=±2√2(x-2).将y=±2√2(x-2)代入方程y2=8x,得8(x-2)2=8x,化简得x2-5x+4=0,∴x1+x2=5,于是|AB|=x1+x2+4=9.点O到直线PF的距离d=4√23,∴S△AOB=12|A

B|·d=12×9×4√23=6√2.10.解(1)易知点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.由题意知k≠0,且Δ=

[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16(k2+1)>0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2𝑘2+4𝑘2,x1x2=1.由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,∴2𝑘2+4𝑘2=6,∴k2=1,即k=±1,∴直线l的方程为y=±(x

-1).(2)由题意知点D的坐标为(x1,-y1),直线BD的斜率kBD=𝑦2+𝑦1𝑥2-𝑥1=𝑦2+𝑦1𝑦224-𝑦124=4𝑦2-𝑦1,∴直线BD的方程为y+y1=4𝑦2-𝑦1(x-x1),即

(y2-y1)y+y2y1-𝑦12=4x-4x1.∵𝑦12=4x1,𝑦22=4x2,x1x2=1,∴(y1y2)2=16x1x2=16,即y1y2=-4(y1,y2异号),∴直线BD的方程为4(x+1)+(y1-y2)y=0,故直线BD恒过点(-1,0).11.C如图所示

,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

|AF|=x1+𝑝2=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2=𝑝24=1,所以x2=13,所以|AB|=x1+x2+p=163.故选C.12.B设A(x1,y1),B(x2,y2),由{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥2=4𝑦,消去y得x2-4kx-4=0,∴x1

+x2=4k,x1x2=-4,∴|AB|=√1+𝑘2·√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√1+𝑘2·√16𝑘2+16=4(1+k2).设M(x3,y3),N(x4,y4),由{𝑦=2𝑘𝑥+2,𝑥2=8𝑦,消去y得x2-16kx-16=0,∴x3+x4=16k

,x3x4=-16,∴|MN|=√1+4𝑘2·√(𝑥3+𝑥4)2-4𝑥3𝑥4=√1+4𝑘2·√(16𝑘)2+64=8(1+4k2).∵λ|AB|-|MN|=4λ(1+k2)-8(1+4k2)=4[λ-2+(λ-8)k2]为定值,∴λ-8=0,即λ=8.13.BC

D由已知得焦点F的坐标为(0,1),故A错误.设直线AB的方程为y=kx+1,由{𝑥2=4𝑦,𝑦=𝑘𝑥+1,消去y,得x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4,∴y1y2=k2x1x2

+k(x1+x2)+1=1,∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故B正确.设直线AB的方程为y=kx+m,由{𝑥2=4𝑦,𝑦=𝑘𝑥+𝑚,消去y,得x2-4kx-4m=0,∴x1+

x2=4k,x1x2=-4m,∴y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-4k2m+4mk2+m2=m2.∵直线OA与OB的斜率之积为-14,∴𝑦1𝑥1·𝑦2𝑥2=-14,即𝑚2-4𝑚=-14,

解得m=1,∴直线AB的方程为y=kx+1,即直线AB过点F,故C正确.∵|AB|=√1+𝑘2·√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√1+𝑘2·√16𝑘2+16𝑚=6,∴4(1+k2)(k2+m)=9,∴m=94(1+𝑘2)-

k2.∵y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m,∴AB的中点到x轴的距离为d=2k2+m=2k2+94(1+𝑘2)-k2=k2+94(1+𝑘2)=k2+1+94(1+𝑘2)-1≥2√(𝑘2+1)·94(1+�

�2)-1=3-1=2,当且仅当k2=12时取等号,故AB的中点到x轴的距离的最小值为2,故D正确.14.(-∞,-3)∪(0,+∞)由题意知k≠0.因为直线l与圆相切,所以|𝑡+1|√1+𝑘2=1,即k2=t2+2t.由k2>0,得t>0或t<-2

.把直线l的方程代入抛物线方程,整理得x2-4kx-4t=0,于是由Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,得t>0或t<-3.综上,实数t的取值范围是(-∞,-3)∪(0,+∞).15.解(1)直线AB的方程为y=2√2(𝑥-𝑝2)

,与y2=2px(p>0)联立,从而有4x2-5px+p2=0.由题意知,Δ=25p2-16p2=9p2>0,方程有两个不等实根,所以x1+x2=5𝑝4.由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=5𝑝4+p=9,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)由于p=4,则4x2-5px+

p2=0可化为x2-5x+4=0,则有x1=1,x2=4,于是y1=-2√2,y2=4√2,则有A(1,-2√2),B(4,4√2).设C(x3,y3),则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(x3,y3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2

)=(4λ+1,4√2𝜆-2√2).又𝑦32=8x3,即[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.16.(1)解抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(𝑝2,0),直线l1的方程为y=√33(𝑥-𝑝2),

设点A(x1,y1),B(x2,y2),由{𝑦=√33(𝑥-𝑝2),𝑦2=2𝑝𝑥,整理得x2-7px+𝑝24=0,所以x1+x2=7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p=12,所以p=32,所以抛物线E的方程为y2=3x.(2)证明由(1)可

知抛物线E的准线方程为x=-34,焦点F(34,0),所以直线l1的方程为y=√33(𝑥-34),代入抛物线的方程,得13x2-72x+316=0,可得x1x2=916,则𝑦123·𝑦223=916,即y1y2=-94.直线l2的方程为y=√3(𝑥-34),设

点C(x3,y3),D(x4,y4),由{𝑦=√3(𝑥-34),𝑦2=3𝑥,整理得16x2-40x+9=0,x3x4=916,可得y3y4=-94.所以直线AC的斜率为𝑦1-𝑦3𝑦123-𝑦323=3𝑦1+𝑦3,可得直线AC的方程为y-y1=3𝑦1+𝑦3(𝑥-𝑦1

23),同理可得直线BD的方程为y-y2=3𝑦2+𝑦4(𝑥-𝑦223),准线方程为x=-34.将准线方程代入直线AC的方程,得y=𝑦1𝑦3-94𝑦1+𝑦3,将准线方程代入直线BD的方程可得y=𝑦2𝑦4-94𝑦2+𝑦4.由𝑦1𝑦3-94𝑦1+𝑦3−𝑦2𝑦

4-94𝑦2+𝑦4=(𝑦1𝑦3-94)(𝑦2+𝑦4)-(𝑦2𝑦4-94)(𝑦1+𝑦3)(𝑦1+𝑦3)(𝑦2+𝑦4),上式的分子为y1y2y3+y1y3y4-94y2-94y4-(y1y2y4+y2y3y4-94y1-94y3)=-94y3

-94y1-94y2-94y4-(-94y2-94y4-94y1-94y3)=0,得直线AC,直线BD与准线交于同一点,即抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.17.D设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B两点在抛物线上,所以𝑥12=4y1,𝑥22=4y2.以

A为切点的切线方程为y-y1=𝑥12(x-x1),即y=𝑥12x-y1.①同理,以B为切点的切线方程为y=𝑥22x-y2.②设直线y=x-2上任一点P(x0,y0),将P(x0,y0)的坐标代入①②,得{𝑦0=𝑥12𝑥0-𝑦1,𝑦0=𝑥22𝑥0

-𝑦2,所以直线AB的方程为y0=𝑥2x0-y,即y=𝑥02x-y0.又y0=x0-2,所以y=x0(𝑥2-1)+2.因为直线AB过定点C(2,2),所以当CF⊥AB时,F(0,1)到直线AB

的距离的最大值为√(2-0)2+(2-1)2=√5,当直线AB过点F时,距离的最小值为0.