【文档说明】宁夏银川市六盘山高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.943 MB，由小赞的店铺上传

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宁夏六盘山高级中学2023-2024学年第一学期高二月考测试卷学科：数学测试时间：120分钟满分：150分命题一､单选题（每小题5分，共40分）1.直线31yx=−的倾斜角是（）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解

析】【分析】求出直线斜率，即可得出倾斜角.【详解】因为直线31yx=−的斜率为3，所以倾斜角为60.故选：B2.已知点(7,4),(4,)ABa，且,AB两点的距离为5，则=a（）A.0B.8C.0或8D.4【答

案】C【解析】【分析】根据两点距离公式即可求解.【详解】由题意可得()223450ABaa=+−==或8a=，故选：C3.已知空间向量a，b，1a=，2b=，且ab−与a垂直，则a与b的夹角为（）A.60B.30C.135D.45【答案】D【解析】【分析】根据

已知可得()0aab−=，根据数量积的运算律即可求出2cos,2ab=，进而求出结果.【详解】因ab−与a垂直，所以()0aab−=，即22cos,12cos,0aabaababab−=−=−=rrrrrr

rrrr，.为所以2cos,2ab=.又0,180ab，所以,45ab=orr.故选：D.4.如图，在长方体OABCOABC−中，1,3,2OAOCOO===，下列说法错误的是（）A.点B的坐标为()1,3,2B.点

B关于x轴的对称点坐标为(132)−−,,C.点B关于坐标平面Oyz的对称点坐标为(132)−−,,D.点B关于原点O的对称点坐标为(1,3,2)−−−【答案】C【解析】【分析】根据空间中的点对称的特征即可结

合选项逐一求解.【详解】点B的坐标为()1,3,2,故A正确，点B关于x轴的对称点坐标为(132)−−,,，B正确，点B关于坐标平面Oyz的对称点坐标为(132)−,,，C错误，点B关于原点O的对称点坐标为(1,3,2)−−−

，D正确，故选：C5.如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc===，点M在OA上，且2OMMA=，点N为BC中点，则MN=（）A.121232abc−+B.211322abc−++C.111222abc+−D.2132ab

c+−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】因为2OMMA=，所以2OMMA=，所以23OMOA=，又点N为BC中点，所以()12ONOBOC=+，所以()12211233

22MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++.故选：B.6.过点()1,6，且平行于直线20xy−=的直线方程是（）A.280xy+−=B.280xy−−=C.2110xy−+=D.2110xy++=【答案】C【解析】【分析】

根据平行直线系即可求解.【详解】与直线20xy−=平行的直线可设为20xyc−+=，将()1,6代入20xyc−+=可得11c=，故直线方程为2110xy−+=，故选：C7.若向量(2,2,3),(1,0

,1),(0,1,1)abc==−=，则()abc+=（）A.6B.8C.10D.12【答案】A【解析】【分析】先利用空间向量的线性运算得到bc+的坐标，再利用数量积运算求解.【详解】解：因为(1,0,1),(0,1,1)bc=−=，所以(1,1,2)bc+=−，又(

2,2,3)a=，所以()()2121326abc+=−++=，故选：A8.如图，已知直三棱柱111ABCABC-的所有棱长都相等，M为11AC的中点，则AM与1BC所成角的余弦值为（）A.153B.155C.6

4D.104【答案】D【解析】【分析】取AC的中点D，连接1DC、BD，可得1AMDC∥，从而异面直线AM与1BC所成角就是直线1DC与直线1BC所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图，

取AC的中点D，连接1DC、BD，易知1AMDC∥，所以异面直线AM与1BC所成角就是直线1DC与直线1BC所成的角，即1BCD，因为直三棱柱111ABCABC-的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则15DC=，3BD=，122BC=，则在1BDC中，由余弦定

理可得：()()()2221522310cos42522BCD+−==即异面直线AM与1BC所成角的余弦值为：104.故选：D.二､多选题（每小题5分，共20分）9.下列命题正确的是（）A.任何直线方程都能表示为一般式B.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等C.直线240xy+−=

与直线220xy−+=的交点坐标是()0,2D.直线方程(1)(1)axayaa++=+可化为截距式为11xyaa+=+【答案】AC【解析】【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.【详解】对A：直线的一般是方程为：0AxByC++=，当0,0AB=

时，方程表示水平线，垂直y轴；当0,0AB=时，方程表示铅锤线，垂直x轴；当0,0AB时，方程表示任意一条不垂直于x轴和y轴的直线；故A正确.对B：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等且不重合，故B错.对C：联立240220xyxy+−=−+=，解得02xy=

=，故C正确对D：若0a=或1a=−时，式子11xyaa+=+显然无意义，故D错.故选：AC.10.下列直线中，与3210xy−+=垂直的是（）.A.2340xy+−=B.3250xy−+=C.213yx=−+D.132yx+=【答案】

ACD【解析】【分析】根据垂直满足的斜率关系即可求解.【详解】直线3210xy−+=的斜率为32k=，故与其垂直的直线斜率为23−，对于ACD,斜率为23−,符合，对于B，斜率为32，不符合，故选：ACD11.下列说法中正确的是（）A.若向量,ab共

线，则向量,ab所在的直线平行B.已知,,abc不共面，则,,abbcca+++一定能构成空间的一个基底C.,,ABC三点不共线，对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC=++，则,,,PABC四点共面D.若,,,PAB

C为空间四点，且有PAPBPC=+（,PBPC不共线），则1+=是,,ABC三点共线的充要条件【答案】BCD【解析】【分析】利用共线向量定义可知，当向量,ab共线时，向量,ab所在的直线不一定平行，即A错误；根据不共面的空间向量可构成一组基底可利用反

证法证明B正确；由空间向量证明点共面可知C正确；由共线定理可证明1+=是,,ABC三点共线的充要条件，可得D正确.【详解】对于A，若向量,ab共线，则向量,ab所在的直线可能平行，也可能重合，故A错误；对于B，假设向量,,

abbcca+++共面，则存在实数,xy满足()()abxbcyca+=+++，所以可得()()()11yaxbxyc−=−++，若1y=，则()()01xbxyc=−++，可得,bc两向量共线，这与,,abc不共面

矛盾；若1y，则111xxyabcyy−+=+−−，可得,,abc共面，与已知矛盾，所以假设不成立，即可得向量,,abbcca+++不共面，所以,,abbcca+++一定能构成空间的一个基底，即B正确；对

于C，因为,,ABC三点不共线，对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC=++，因为3111488++=，所以可知,,,PABC四点共面，即C正确；对于D，若,,,PABC为空间四点，且有PAPBP

C=+（,PBPC不共线），当1+=，即1=−时，可得()PAPCPBCP−=+，即CACB=，所以,,ABC三点共线；当,,ABC三点共线时，根据共线定理可知可知对于空间中任意一点P，存在实数,满足PAPBPC=+（,PBPC不共线），且1+=，即

D正确.故选：BCD.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1DD的中点，则下列说法正确的是（）A.四面体111AEBD的体积为112B.向量1DB在DC方向上的投影向量为DCC.直线1AE与直

线1BD垂直D.点1A到直线1BE的距离53【答案】ABD【解析】【分析】以D为原点，1,,DADCDD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，利用体积公式判断A；利用空间向量法判断BCD.【详解】解：

以D为原点，1,,DADCDD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，如图所示：则(0,0,0)D，(0,1,0)C，1(0,0,1)D，(1,1,0)B，1(1,0,1)A，1(0,0,)2E，1(1,1,1)B，对于A，因为1111111111

1113221213EABDABDVSED−===，故正确；对于B，因为1(1,1,1)DB=−，(0,1,0)DC=，所以11DDBC=，1||1,||3DCDB==，所以1DB在DC方向上

的投影向量为：1||DCDCDDDBCC=，故正确；对于C，因为11(1,0,)2AE=−−，1(1,1,1)BD=−−，11102AEBD=，所以1BD与1AE不垂直，即直线1AE与直线1BD不

垂直，故错误；对于D，因为11(1,0,)2AE=−−，11(1,1,)2BE=−−−，所以1111111154cos,3||||1111144EAEBAEEBEAEB+===+++，所以21152sin,1()3

3AEEB=−=，所以点1A到直线1BE的距离111525||sin,233dAEAEEB===，故正确.故选：ABD.三､填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线l过点(2,4),(1,6)AB，则直线l的斜率

为___________.【答案】2−【解析】【分析】根据斜率公式即可求解.【详解】由斜率公式可得46221k−==−−，故答案为：2−14.两条平行直线1:3460lxy−+=与2:3410lxy−+=间的距离为_______．【答案】1【解

析】【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】依题意可知，两直线的距离为2261134−=+.故答案为：115.如图，已知线段,ABBD在平面内，,BDABAC⊥⊥，且4,3,5ABBDAC===，则CD=___________.【答案】52【解析】【分析】根据空间

向量的线性表示，结合模长公式，即可求解.【详解】由于AC⊥，,ABBD在平面内，所以,ACABACBD⊥⊥,又,BDAB⊥所以0,0,0ACABACBDBDAB===,由于CDCAABBD=++,所以22222222516950CDCAABBDCAABAB

BDCABD=+++++=++=,所以52CD=，故答案为：5216.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别是棱,ABBC上的动点，且||AMCN=∣∣，则当平面1BMN与平面ABCD所成角

的余弦值为13时，三棱锥1MBBN−的体积为___________.【答案】124【解析】【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合面面角求出AM，再根据锥体的体积公式即可得解.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设||

,0,1AMCNaa==∣∣，则()()()11,,0,,1,0,1,1,1MaNaB，故()()11,1,0,0,1,1MNaaMBa=−−=−，设平面1BMN的法向量为(),,nxyz=，则有()()()111010nMNaxaynMBayz=−+−==−

+=，令1x=，则1,1yza==−，所以()1,1,1na=−，因为z轴⊥平面ABCD，则可取平面ABCD的法向量为()0,0,1m=，则()211cos,31111mnamnmna−===++−，解得12a=或32a=（舍去），所以

1||2AMCN==∣∣，故11111111322224BMMNBBBNVV−−===.故答案为：124.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对

应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，

判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.四､解答题（17题10分，其余各题每小题12分，共70分）17.已知ABC的顶点坐标分别是(0,5),(1,3),(3,6)ABC−.（1）求直线AB的方程（答案用一般式方程表示）；（2）

求AB边上的高线的长.【答案】（1）250xy+−=（2）5【解析】【分析】（1）由点(0,5)A，()1,3B，结合直线的点斜式方程，即可求得AB的方程；（2）过点作CDAB⊥，结合点到直线的距离公式，即可求解.【小问1详解】解：由点(0,5)A，()1,3B，可得直线AB

的斜率为35210ABk−==−−，所以直线AB的方程为52(0)yx−=−−，即250xy+−=.【小问2详解】解：如图所示，过点作CDAB⊥，即设ABC的边AB上的高线为CD，由直线AB的方程为250xy+−=，又由(3,6)C

−，根据点到直线的距离公式，可得222(3)65521CD−+−==+，即AB边上的高线的长5.18.已知向量()1,0,1a=，()1,2,0b=.（1）求a与ab−的夹角余弦值；（2）若()()2abatb+⊥−，求t的值.【答案】（1）1010（2）57t=【解析】【分析】（

1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.【小问1详解】因为()1,0,1a=，()1,2,0b=，所以()0,2,1ab−=−，2a=，5ab−=，所以()110cos,

1025aabaabaab−−===−；【小问2详解】()()()221,0,11,2,03,2,2ab+=+=，()()()1,0,11,2,01,2,1atbttt−=−=−−因为()()2abatb+⊥

−，所以()()()231420abatbtt+−=−−+=，解得57t=.19.如图，在四面体ABCD中，90BAC=，60BADCAD==，6ABACAD===，设,,ABaACbADc=

==.（1）求BCBD的值；（2）已知F是线段CD中点，点E满足12CEEB=，求线段EF的长.【答案】（1）36（2）5【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，（2）根据空间向量的线性，结合模长公式即可求解.【小问1详解】由90BAC=，60BADCAD==，6ABAC

AD===可得16618,02ABADADACABAC====,所以()()2180183636BCBDACABADABACADACABABADAB=−−=−−+=−−+=【小问2详解】由于F是线段CD中点，点E满足12CEEB=，所以()()11

112,23333AFADACAEACCBACABACABAC=+=+=+−=+故()112111233236EFAFAEADACABACADABAC=−=+−+=−−,,所以222221111111112364936369E

FADABACADABACADABADACACAB=−−=++−−+1111113636361818094163054936369=++−−+=++−−+=,所以5EF=20.如图，长方体11111,2,4,ABCDABCDAAABBCE−===是1AD的中

点.（1）求证：1AB∥平面EAC；（2）求直线1AA与平面EAC夹角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O，再连接OE，由线面平行的判定定理证明即可；（2）以A为原点，1,,ABADAA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：连接BD交AC于O，再连接OE，由题意可知O是BD中点，又因为E是1AD的中点，所以OE∥1AB,又因为1AB平面EAC，OE平面EAC，所以1AB∥平面EAC；【小问2详解】解：以A为原点，1,,ABADAA所在的直线分别为x轴、y轴

、z轴，建立空间坐标系，如图所示：因为12,4,AAABBC===所以(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，1(0,0,2)A，1(2,0,2)B，()2,4,0C，1(0,4,2)D，(0,2,1)E，所以1(0,0,2)AA=，(0

,2,1)AE=，(2,4,0)AC=，设平面EAC的法向量为(,,)nxyz=，则有20240AEnyzACnxy=+==+=，所以22zyxy=−=−，取(2,1,2)=−n，设直线1AA与平面EAC夹角，则有111||42sin|cos,|233||||AAnAAnA

An====，所以直线1AA与平面EAC夹角的正弦值为23.21.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，2ABAC==，ABAC⊥，13AA=，点,MN分别在棱11,CCAA上，且1113CMCC=，1113ANAA=.为（1）求证：平面BCN⊥平面ABM；（2）求点1B到平面ABM

的距离.【答案】（1）证明见解析（2）322【解析】【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得平面BCN和平面ABM的法向量，可证得法向量互相垂直，由此可得结论；（2）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.【小

问1详解】三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，1AA⊥平面ABC，以A为坐标原点，1,,ACABAA正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0B，()2,0,0C，()0,0,2N，()0,

0,0A，()2,0,2M，()2,2,0BC=−，()0,2,2BN=−，()0,2,0AB=，()2,0,2AM=，设平面BCN的法向量(),,nxyz=，则220220BCnxyBNnyz=−==−+=，令1y=，

解得：1x=，1z=，()1,1,1n=；设平面ABM的法向量(),,mabc=，则20220ABmbAMmac===+=，令1a=，解得：0b=，1c=−，()1,0,1m=−；1010mn=+−=，mn⊥urr，平面BCN⊥平面ABM.【小问2详解】()0

,2,0B，()10,2,3B，()10,0,3BB=−，又平面ABM的法向量()1,0,1m=−，点1B到平面ABM的距离133222BBmdm===.22.如图，四棱锥SABCD−的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD

上的点，且SD⊥平面PAC.（1）求平面PAC与平面ABCD所成的角；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得//BE平面PAC，若存在，求出点E的位置；若不存在，试说明理由.【答案】（1）π6（2）存在，13CECS=【解析】【分析】（1）连接

,ACBD，交于点O，利用线面垂直判定可证得SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果；（2）假设()01CECS=，满足//BE平面PAC，由线面平行的向量判定方法可构造方程求得的值，由此可得结论

.【小问1详解】连接,ACBD，交于点O，连接SO，四边形ABCD为正方形，O为,ACBD中点，ACBD⊥；SASC=，SBSD=，SOAC⊥，SOBD⊥，ACBDO=，,ACBD平面ABCD，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，,,OOCOBS正方向为,,xyz轴，

可建立如图所示空间直角坐标系，设2AB=，则22SD=，122ODBD==，226SOSDOD=−=，()0,0,0O，()0,0,6S，()2,0,0D−，()0,0,6OS=，()2,0,6DS=，SO⊥平面ABCD，SD⊥平面PAC，平面ABCD的一个法向量为()0,

0,6OS=，平面PAC的一个法向量为()2,0,6DS=，63cos,2622OSDSOSDSOSDS===，即平面PAC与平面ABCD所成角的余弦值为32，平面PAC与平面ABCD所成的角为π6.【小问2详解】假设在SC上存在一点E，满足()01CECS=，使得//BE平

面PAC，()0,2,0C，()0,0,6S，()0,2,6CS=−，()0,2,6CE=−，又()2,0,0B，()2,2,0BC=−，()2,22,6BEBCCE=+=−−，平面PAC的一个法向量为()2,0,6DS=，2060BEDS=−++=，解得：

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