【文档说明】江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.012 MB，由小赞的店铺上传

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南昌一中2023-2024学年度上学期高二期中考试数学试卷试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.椭圆2211625+=xy的焦点坐标是（）A

.(0,3),(0,3)−B.(3,0),(3,0)−C.(0,5),(0,5)−D.(4,0),(4,0)−【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.【详解】因为椭圆2211625+=xy，225a=，216b=，焦点在y轴，所以25163c=−=，焦点坐标为(0,3)

,(0,3)−.故选：A2.已知向量2,,()35=−a与向量153,,2b=平行，则等于（）A.23B.92C.92−D.23−【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示列方程，化简求得的值.【

详解】由于//abrr，所以153922332===−−.故选：C3.已知直线1:310laxy++=，2:(2)0lxaya+−+=，则“1a=−”是“12ll//”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先根据两直线平行，解得a的值，再利用充分不必要条件、必要不充分条件的去判断.【详解】由12ll//，可得3112aaa=−，解得3a=．故选：D.【点睛】本题主要考查充分不必要条件、必要不充分条件的判断，还考查

了运算求解的能力，属于基础题.4.已知、是空间中两个不同的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若//mn，n，则//mB.若//m，//m，则//C.若⊥，m，则m⊥D.若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】利用空间

中线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项，若//mn，n，则//m或m，A错；对于B选项，若//m，//m，则//或、相交，B错；对于C选项，若

⊥，m，则//m或m或m、相交（不一定垂直），C错；对于D选项，设直线m、n的方向向量分别为a、b，若m⊥，n⊥，mn⊥，则平面、的一个法向量分别为a、b，且ab⊥，故⊥，D对.故选

：D.5.圆22(3)(3)9xy−+−=上到直线34110xy+−=的距离等于1的点有A.1个B.3个C.2个D.4个【答案】B【解析】【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣A

D＝DE，即3﹣2＝1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．【详解】由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3，则圆心（3，3）到直线3x+4y

﹣11＝0的距离为d3343115+−==2，即AD＝2，∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个．故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及

点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．6.已知椭圆C的标准方程为()222210xyabab+=，点()2,0F是椭圆C的右焦点，过F的直线与椭圆C相交于,AB两点，且线段AB的中点为11,3D，则椭圆C的离心率e为（）A.23

B.33C.63D.223【答案】D【解析】【分析】利用点差法可表示出2122123AByybkxxa−==−−，由ABFDkk=可求得2219ba=，根据椭圆,,abc关系可求得离心率.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，则

2211221xyab+=，2222221xyab+=，两式作差整理可得：222121222212122323yyxxbbbxxayyaa−+=−=−=−−+，ABFDkk=，2210313123ba−−==−−，即

2219ba=，22222222213cabbeaaa−===−=.故选：D.【点睛】结论点睛：求解圆锥曲线中的中点弦问题时，常采用点差法，针对不同曲线，弦中点()00,xy与弦所在直线斜率k的关系如下：（1）椭圆()22

2210xyabab+=中，2020xbkay=−；（2）双曲线()222210,0xyabab−=中，2020xbkay=；（3）抛物线()220ypxp=中，0pky=.7.在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，且PAD是边长为2的正三角形，ABCD是正方形

，则四棱锥PABCD−外接球的表面积为（）A.293B.643C.263D.283【答案】D【解析】【分析】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F,取AD的中点E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的体积.

【详解】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取AD的中点E,在截面PEF中，连结PO，如图，在等边PAD中，AD的中点为E，所以PEAD⊥,又平面PAD⊥平面ABCD,AD是交线，所以PE⊥平面ABCD,且3232PE==，设OFx=，外接球半径为R,则在正方

形ABCD中，1EF=，2AF=在RtOAF中，22222OAOFAFx=+=+，而在截面PEF中，221(3)xOP=+−，由OPOAR==可得：2221(3)xx+=+−解得33x=，所以2273ROA==,所以27284433SR===.故选：D8.点P在椭圆2

21:12xCy+=上，1C的右焦点为F，点Q在圆222:108390Cxyxy++−+=上，则PQPF−的最小值为（）A.23B.22C.3D.2【答案】D【解析】【分析】首先根据椭圆的定义转化为122PQPF+−，即求1PQPF+的最小值，即为圆心与1F的距离减

半径即可.【详解】设椭圆的左焦点为()11,0F−，则()122PQPFPQPF−=−−122PQPF=+−求PQPF−的最小值即求1PQPF+的最小值，圆2C的半径为2圆心为()5,4−所以1PQPF+的最小值为()()222125140232CF−=−++−−=所以PQPF−的最

小值为32222−=故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义，以及圆上一动点与圆外一定点的距离的最值问题，解决问题时需要对题.中的目标进行转化，将多个动点转化为少（单）动点的问题，从而解决问题.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有

多项符合题目要求）9.已知圆221:)1(Cxya+−=与圆222:9Cxy+=有四条公共切线，则实数a的取值可以是（）A.5−B.3−C.2D.5【答案】AD【解析】【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.【详解】解：圆1C的圆心()10,Ca，半径11r=,圆2

C的圆心()20,0C，半径23r=，两圆有四条公切线，两圆外离，又两圆圆心距da=，31a+，解得4a<-或4a，故选：AD.10.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（）A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C

.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1【答案】AD【解析】【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.

【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；因为BC⊥平面A1ABB

1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.故选：AD11.已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（）A.1B.13C.﹣2D.

﹣1【答案】BCD【解析】【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为12−，所以直线12,ll一定相交，交点

坐标是方程组3125xyxy−=+=的解，解得交点坐标为：(1,2).当0a=时，直线3l与横轴垂直，方程为：3x=不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当0a时，直线3l的斜率为：1a.当直线l1与直线l3的斜率相

等时，即1133aa==，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即1122aa=−=−，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线12,ll交点(1,2)时，三条

直线不能构成三角形，即有12301aa−−==−，故选：BCD【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.12.已知椭圆22:1259xyC+=，12,FF分别为它的左、右焦点，,AB分别为

它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点（点P不与点,AB重合），则下列结论中正确的有（）A.离心率45e=B.12FPF△的周长为15C.若1290FPF=，则12FPF△的面积为9D.直线PA与直线PB斜率的乘

积为定值925−【答案】ACD【解析】【分析】由椭圆方程知,ac，即可求离心率判断A，利用椭圆定义求周长判断B，利用勾股定理及椭圆定义求得12PFPF，进一步求出面积判断C，利用斜率公式及点在椭圆上化简求解判断D.【详解】由221259x

y+=，可知5,3,4abc===.对于A：45cea==，故A正确；对于B：记12,PFmPFn==，则10mn+=，12FPF△的周长为1212210818PFPFFFmnc++=++=+=，故B错误；对于C：记1

2,PFmPFn==，由题意221064mnmn+=+=，所以()()2221182mnmnmn=+−+=，所以12192FPFSmn==，故C正确；对于D：设()(),5Pxyx，()()5,

0,5,0AB−，则5PAykx=+，5PBykx=−，于是22229125955252525PAPBxyyykkxxxx−====−+−−−，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.与双

曲线22145yx−=有公共的渐近线且过点()1,2的双曲线方程是______.【答案】2251164yx−=【解析】【分析】根据题意结合共渐近线的双曲线可设()22045yx−=，代入点()1,2运

算求解即可.【详解】设所求双曲线的方程为()22045yx−=，因为点()1,2在双曲线上，可得4145−=，即4=5，所以双曲线的方程是2251164yx−=.故答案为：2251164yx−

=.14.若直线yxb=+与曲线21xy=−恰有一个公共点，则实数b的取值范围为________．【答案】(1,1]{2}−−【解析】【分析】曲线21xy=−表示以原点()0,0O为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线y

xb=+与曲线21xy=−恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．【详解】曲线21xy=−，即221(0)xyx+=，表示以原点(0,0)O为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，当直线经过点(0,1)A−时，1b=-；当直线经过点(

0,1)C时，1b=；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得0012b−+=，求得2b=（舍去），或2b=−，观察图象，得当直线yxb=+与曲线21xy=−恰有一个公共点，实数b的取值范围为(1,1]{2}−−.故答案为：

(1,1]{2}−−【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．15.如图，在长方体1111

ABCDABCD−中，若11,2ABADAA===，且面对角线11BD上存在一点P使得1APPB+最短，则1APPB+的最小值为______.【答案】5【解析】【分析】把111Rt△DAB沿11BD翻折，使矩形11BDDB和111Rt△DAB在一个平面上，可知1AP

PB+的最小值为1AB，利用余弦定理运算求解.【详解】把111Rt△DAB沿11BD翻折，使矩形11BDDB和111Rt△DAB在一个平面上，连接1AB，则1APPB+的最小值为1AB，在11ABB△中，可知11111111

11ππ3π,1,2424=+=+===ABBABDDBBABBB，由余弦定理得()2213π12212cos54=+−=AB，所以1APPB+的最小值为5.故答案为：5.16.设1F，2F是椭圆()2

21112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，曲线1C，2C在第一象限内交于点M，1290FMF=，若椭圆的离心率16,13e，则双曲

线的离心率2e的范围是______.【答案】(1,2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得1e与2e关系，进而得解.【详解】由椭圆及双曲线定义得：1212MFMFa+=，1222MFMFa−=，即112MFaa=+，212MFaa=−，因为1290FMF=，所以()()2

2212124aaaac++−=，即222122aac+=，所以2212112ee+=，因为16,13e，所以12221112,12ee=−，即(21,2e，故答案为：(1,2.四、解

答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知两条直线1:3420lxy+−=与2:220lxy++=的交点P，求：（1）过点P且过原点的直线l的方程；（2）在（1）条件下，若直线m与l平行，且点P到

直线m的距离为3，求直线m的方程.【答案】（1）yx=−（2）320xy++=或320xy+-=【解析】【分析】（1）根据题意联立直线方程求点P的坐标，进而可得直线方程；（2）根据题意可设直线m的方程为0xyC++=，结合点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】由

3420220xyxy+−=++=，解得22xy=−=，的即直线l过点P()2,2−和原点，所求直线方程为yx=−.【小问2详解】因为直线m与直线l平行，可设直线m的方程为0xyC++=，由点到直线的距离公式得2222

311C−++=+，解得32C=，故所求直线方程为320xy++=或320xy+-=.18.已知四棱锥PABCD−，底面ABCD是菱形，60,BADPD=⊥底面ABCD，且2PDCD==，点,MN分别是棱AB和PC的中点.（1）求证：//MN

平面PAD；（2）求三棱锥DPBN−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）取PD的中点E，借助平行四边形的性质，利用线面平行的判定推理得解.（2）利用三棱锥体积公式，结合割补法计算即可.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，取PD的中点

E，连接,AENE.的由,EN分别为,PDPC的中点，得1//,2ENDCENDC=，又M是AB的中点，则1//,2AMDCAMDC=，于是//,AMENAMEN=，因此四边形AMNE为平行四边形，即有//MNAE，而MN平面,PADAE平面PAD，所以//MN平面PA

D.【小问2详解】由PD⊥底面ABCD，且2PD=，N为PC中点，得N点到底面ABCD的距离为1，菱形ABCD中，2,60CDBCD==，则1s3in602BCDSBCCD==，因此1312331,323333NBCDPB

CDVV−−====，所以33DPBNPBCDNBCDVVV−−−=−=，即三棱锥DPBN−的体积为33.19.已知圆C经过()2,0A−，()1,3B两点，且圆心C在直线1:lyx=上.（1）求圆C的方程；（2）已知过点()1,2P直线2l与圆C相交截得的弦长为23，求直线2l的方程.

【答案】（1）224xy+=；（2）1x=或3450xy−+=.【解析】【分析】（1）结合线段AB的垂直平分线以及yx=求得圆心，再求得半径，由此求得圆C的方程.（2）根据2l的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合

弦长求得直线2l的方程.【详解】（1）线段AB的中点为13,22−，直线AB的斜率为33，的所以线段AB的垂直平分线为313,322yxyx−=−+=−，由3yxyx=−=解得00xy=

=，所以圆心为()0,0C，半径为()222AC=−=，所以圆C的方程为224xy+=.（2）当直线2l的斜率不存在时，由22134xyxy==+=，即直线1x=与圆C相交所得弦长为()3323−−=符合题意.当直线2l的斜率存在

时，设直线2l的方程为()21ykx−=−，即20kxyk−+−=，由于2223212−=，所以223141kkk+==+，所以3320,345044xyxy−+−=−+=.综上所述，直线2l的方程为1x

=或3450xy−+=.20.如图,在四棱锥PABCD−中,四边形ABCD是直角梯形,222DCADAB===，DAB=90ADC=,2PB=，PDC为等边三角形.（1）证明：PDBC⊥；（2）求二面角APDC−−的余弦值.【答案】(1)略；(2)13−【解析】【分析】（1）推导出,BDB

CPBBC⊥⊥，从而得到BC⊥平面PBD，由此可证得PDBC⊥；（2）推导出PBBD⊥，以B为原点BC为x轴，BD为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是直角梯形，222DCADAB=

==，DAB=90ADC=,2PB=，PDC为等边三角形，所以22112BCBD==+=，所以222BDBCCD+=，222PBBCPC+=,所以,BDBCPBBC⊥⊥，又由BDPBB=，所以BC⊥平面PBD，又因为BD平面PBD，所以PDBC

⊥；（2）因为222BDPBPD+=，所以PBBD⊥，以B为原点BC为x轴，BD为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，则22(,,0),(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0)22APDC−，所以22(,,2),(0,2,2),

(2,0,2)22PAPDPC=−−=−=−，设平面PAD的法向量为(,,)nxyz=，则222022220nPAxyznPDyz=−+−==−=，取1x=，得(1,1,1)n=−，设平面PCD的法向量为(,,)mxyz=，则220220mPCxznPDyz

=−==−=，取1x=，得(1,1,1)n=，由图形可知二面角APDC−−的平面角是钝角，设二面角APDC−−平面角为，所以11cos333mnmn=−=−=−，即二面角APDC−−的余弦值为13−.【

点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关的键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法

，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.已知双曲线C与椭圆22184xy+=有相同的焦点，实半轴长为3．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线:2=+lykx与双曲线C有两个不同的交点A和B,且2OAOB（其中O为原点）

,求k的取值范围．【答案】（1）2213xy−=（2）33(1,)(,1)33k−−【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为22221xyab−=（a＞0，b＞0），由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；（2）设A()11,x

y，B()22,xy，则由2OAOB，可得()21212121xxyykxx+=+()12222kxx+++，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围.【详

解】（1）解：设双曲线的方程为22221xyab−=（a＞0，b＞0）,3,2,1.acb===故双曲线方程为2213xy−=．（2）解：将:2=+lykx代入2213xy−=得()22136290,kxkx−

−−=由21300k−得213k且21k设A()11,xy，B()22,xy,则由2OAOB得12121212(2)(2)xxyyxxkxkx+=+++21212(1)2()2kxxk

xx=++++222962(1)2221313kkkkk−=+++−−，213k又21k，2113k,即33(1,)(,1)33k−−22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左，右焦点分别为()12,0F−，()22,0F，且经过点()2,1

M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆C交于,AB两点，求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【答案】（1）22142xy+=；（2）2．【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求得a，由此求得b，从而求得椭圆C的标准

方程；（2）设出直线AB的方程2yxm=+，联立直线AB的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，求出弦长AB，表示出AOB的面积，利用不等式求出最值即可．【详解】（1）由椭圆的定义，可知2122(22)114aMFMF

=+=++=．解得2a=．又()22222ba=−=．所以椭圆C的标准方程为22142xy+=．（2）设直线l的方程为2yxm=+，联立椭圆方程，得2298240xmxm++−=，2264721440mm=−+，得3232m−．设()11,Axy，()22,Bxy，1289mxx+=−

，212249mxx−=，()2121212554ABxxxxxx=−=+−()222218648165258199mmm−−=−=，点()0,0O到直线:20lxym−+=的距离||5md=()221811||||252295AOBmmSABd−==

△()222221822182299mmmm−+−==，当2218mm−=即29m=，3m=时取等；所以AOB面积的最大值为2．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和计算能力，直线ykxb=+上两

点()()1122,,,AxyBxy间的距离公式为：1.2121ABkxx=+−；2.12211AykBy=+−；3.若AB过焦点，也可以使用焦半径公式．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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