【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.4 直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(12)页，113.568 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.4直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·广西·高二阶段练习）直线2𝑥−𝑦+2=0在𝑥轴上的截距是（）A．−1B．1C．−2D．2【解题思路】根据截距的概念运算求解.【解答过程】

令𝑦=0，则2𝑥−0+2=0，解得𝑥=−1∴直线2𝑥−𝑦+2=0在𝑥轴上的截距是−1故选：A.2．（3分）（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．𝑥+4𝑦+7=0B

．𝑥−4𝑦+7=0C．4𝑥+𝑦+7=0D．4𝑥−𝑦+7=0【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可.【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为𝑦−2𝑥−1=3−25−1，即𝑥−4𝑦+7=0．故选：B.3．（3分

）（2022·全国·高二专题练习）过点𝑃(√3,−2√3)且倾斜角为135°的直线方程为（）A．3𝑥−𝑦−5√3=0B．𝑥−𝑦+√3=0C．𝑥+𝑦−√3=0D．𝑥+𝑦+√3=0【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答

案.【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率𝑘=tan135°=−1，所以直线方程为𝑦+2√3=−(𝑥−√3)，即𝑥+𝑦+√3=0.故选：D．4．（3分）（2021·安徽·高二期中）过点𝑃(−1,2)且方向向量为

𝑎⃑=(−1,2)的直线方程为（）A．2𝑥+𝑦=0B．𝑥−2𝑦+5=0C．𝑥−2𝑦=0D．𝑥+2𝑦−5=0【解题思路】根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据点斜式即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的方向向量为𝑎⃑=(−1,

2)，所以直线的斜率为2−1=−2，所以过点𝑃(−1,2)且方向向量为𝑎⃑=(−1,2)的直线方程为𝑦−2=−2(𝑥+1)，即2𝑥+𝑦=0.故选：A.5．（3分）（2022·山东·高一阶段练习）直线𝑙:𝑚�

�+2(2𝑚−1)𝑦−6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（）A．2B．−23C．3D．32【解题思路】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解.【解答过程】很显然，直线𝑙与𝑥轴和𝑦轴既不平行也不垂直，当𝑥=0时，𝑦=32𝑚−1，当𝑦

=0时，𝑥=6𝑚，所以直线𝑙与𝑥轴和𝑦轴的交点分别为(6𝑚,0)和(0,32𝑚−1)，因为直线𝑙与坐标轴所围成的三角形的面积为3，所以有12×|6𝑚|×|32𝑚−1|=3，解得：𝑚=−1或32.故选：D.6．（3分）（2022·

江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（）A．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0B．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0或4𝑥−3𝑦=0C．𝑥−𝑦−7=0或𝑥+𝑦+1=0

D．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0或3𝑥−4𝑦=0【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.【解答过程】①当直线经过原点时，斜率𝑘=

4−03−0=43，所以直线方程为：𝑦=43𝑥，即4𝑥−3𝑦=0；②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1，将点𝐴(3,4)代入，的3𝑎+4𝑎=1，解得𝑎=7，所以直线方程为：𝑥7+𝑦7=1，即𝑥+𝑦−7=0；③当直线在两坐标轴

上的截距互为相反数时，设直线方程为𝑥𝑎+𝑦−𝑎=1，将点𝐴(3,4)代入，的3𝑎+4−𝑎=1，解得𝑎=−1，所以直线方程为：𝑥−1+𝑦1=1，即𝑥−𝑦+1=0；综上所述，直线方程为：4𝑥−3�

�=0或𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0.故选：B.7．（3分）（2022·福建·高二阶段练习）直线𝑙1:𝑎𝑥−𝑦+𝑏=0，𝑙2:𝑏𝑥+𝑦−𝑎=0（𝑎𝑏≠0，a、𝑏∈𝑅）的图象可能是（）A．B．C．D

．【解题思路】首先假定每个选项中的𝑙1图象正确，则可得𝑎,𝑏正负，由此可确定𝑙2图象所经过的象限，对比选项中的图象即可得到结果.【解答过程】将𝑙1:𝑎𝑥−𝑦+𝑏=0化为𝑦=𝑎𝑥+𝑏，将𝑙2:𝑏𝑥+𝑦−𝑎=0化为

𝑦=−𝑏𝑥+𝑎.对于A，若𝑙1图象正确，则𝑎>0，𝑏>0，∴𝑙2图象经过第一、二、四象限，A不正确；对于B，若𝑙1图象正确，则𝑎>0，𝑏<0，∴𝑙2图象经过第一、二、三象限，B不正确；对于C，若𝑙1

图象正确，则，则𝑎>0，𝑏>0，∴𝑙2图象经过第一、二、四象限，C不正确；对于D，若𝑙1图象正确，则𝑎<0，𝑏>0，∴𝑙2图象经过第二、三、四象限，D正确.故选：D.8．（3分）（2022·全国·高二单元测试）对于直线𝑙：

𝑎𝑥+𝑎𝑦−1𝑎=0（𝑎≠0），现有下列说法：①无论𝑎如何变化，直线l的倾斜角大小不变；②无论𝑎如何变化，直线l一定不经过第三象限；③无论𝑎如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；④当𝑎取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（）A．1B．

2C．3D．4【解题思路】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【解答过程】直线𝑙：𝑎𝑥+𝑎𝑦−1𝑎=0（𝑎≠0），可化简为：𝑥+�

�−1𝑎2=0，即𝑦=−𝑥+1𝑎2，则直线的斜率为−1，倾斜角为135°，故①正确；直线在𝑦轴上的截距为1𝑎2>0，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当𝑎取不同数值时，可得到一组斜率为−1的平

行直线，故④正确；故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021·广东肇庆·高二期末）对于直线𝑙:𝑥+𝑦−1=0，下列说法正确的有（）A．直线l过点(0,1)B．直线l与直线𝑦=𝑥垂直C．直线l的一个方向向量为(1,1)D．直线l的倾斜角为45°

【解题思路】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂直两直线的性质逐一判断即可.【解答过程】解析：直线𝑙:𝑥+𝑦−1=0化成斜截式为𝑦=−𝑥+1，所以当𝑥=0时，𝑦=

1，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线𝑦=𝑥的斜率为1，(−1)×1=−1，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为(1,−1)，C错．故选：AB．10．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）下列说法正确的是（）A．在两坐标轴

上截距相等的直线都可以用方程𝑥+𝑦=𝑎(𝑎∈𝐑)表示B．方程𝑚𝑥+𝑦−2=0(𝑚∈𝐑)表示的直线的斜率一定存在C．直线的倾斜角为𝛼，则此直线的斜率为tan𝛼D．经过两点𝑃1(𝑥1,𝑦1)，𝑃2(𝑥2,𝑦2)

(𝑥1≠𝑥2)的直线方程为𝑦−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥1)【解题思路】举例说明可判断A选项错误；由直线方程求得直线的斜率判断B选项；由倾斜角𝛼=90°的直线的斜率不存在判断C选项；由两点求斜率，再由点斜式写出直线方程判断

D选项.【解答过程】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如𝑦=2𝑥但不能用𝑥+𝑦=𝑎(𝑎∈𝑅)表示，故A选项错误；对于B选项，方程𝑚𝑥+𝑦−2=0(𝑚∈𝑅)表示的直线的斜

率为－m，故B选项正确；对于C选项，若𝛼=90°，则直线斜率不存在，故C选项错误；对于D选项，经过两点𝑃1(𝑥1,𝑦1)，𝑃2(𝑥2,𝑦2)(𝑥1≠𝑥2)的直线斜率𝑘=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥

1，而𝑥1≠𝑥2，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D选项正确.故选：BD.11．（4分）（2021·福建·高二阶段练习）下列说法正确的是（）A．截距相等的直线都可以用方程𝑥𝑎+𝑦𝑏=1表示B．方程𝑥+𝑚𝑦−2

=0(𝑚∈𝑅)能表示平行𝑦轴的直线C．经过点(1,1)，倾斜角为𝜃的直线方程为𝑦−1=tan𝜃(𝑥−1)D．经过两点𝑃1(𝑥1,𝑦1)，𝑃2(𝑥2,𝑦2)的直线方程(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)−(𝑥2−𝑥1)(𝑦−𝑦1)=0【解题思路】对于A，根据截距

式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于𝑦轴的直线，斜率不存在，令𝑚=0，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.【解答过

程】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程𝑥𝑎+𝑦𝑏=1，当截距都是零时，不可用，故A错误；对于B，当𝑚=0时，方程为𝑥−2=0，此时所表示的直线与𝑦轴平行，故B正确；对于C，当𝜃=90∘时，tan𝜃不存在，此时直线方程为𝑥=1，故C错误；对于D，当𝑥1≠𝑥2时

，由斜率公式，可得𝑦−𝑦1𝑥−𝑥1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1，可整理为(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)−(𝑥2−𝑥1)(𝑦−𝑦1)=0；当𝑥1=𝑥2时，方程(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)−(𝑥2−�

�1)(𝑦−𝑦1)=0可整理为𝑥=𝑥1；故D正确.故选：BD.12．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）关于直线𝑙:𝑚𝑥−𝑦−4=0，下列说法正确的是（）A．直线𝑙在𝑦轴上的截距为4B．当𝑚=0时，直线𝑙的倾斜角为0C．当𝑚≥0时，直线

𝑙不经过第二象限D．当𝑚=1时，直线𝑙与两坐标轴围成的三角形的面积是8【解题思路】利用直线方程的斜截式的性质，逐项分析即可.【解答过程】对于A，直线𝑙:𝑚𝑥−𝑦−4=0可化为𝑦=𝑚𝑥−4，由斜截式可知直线𝑙在𝑦轴上的截距为−4，故A错误；对于

B，当𝑚=0时，直线𝑙为𝑦=−4，即𝑘=0，故直线𝑙的倾斜角为0，故B正确；对于C，当𝑚≥0时，𝑙:𝑦=𝑚𝑥−4有𝑘>0，在𝑦轴上的截距为−4，如图易得直线𝑙不经过第二象限，故C正确；对于D，当𝑚=1时，直线𝑙为𝑦=�

�−4，如图，易知直线𝑙与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为4，故𝑆=12×4×4=8，故D正确；故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海市·高二阶段练习）过两点𝐴

(1,3),𝐵(−3,2)的直线的一般式方程是𝑥−4𝑦+11=0.【解题思路】利用两点式即可写出直线，再化简为一般方程即可.【解答过程】由题意知直线为：𝑦−23−2=𝑥+31+3，化简得：𝑥−4𝑦+11=0.故答案为：𝑥−4𝑦+11=0.

14．（4分）（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.【解题思路】直线的斜率存在且不为0，设出直线截距式方程，利用已知条件求出截距就能得到直线方程.【解答过程】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为�

�𝑎+𝑦𝑏=1，则有{𝑎+𝑏=62𝑎+1𝑏=1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.15．（4分）（2021·广东·高二阶段练习）已知直线𝑙的一个方向向量𝑑⃑=(3,4

)，且过点(−1,2)，则直线𝑙的点斜式方程为𝑦−2=43(𝑥+1)或𝑦−2=43[𝑥−(−1)].【解题思路】根据直线的方向向量可得直线𝑙的斜率，再写出点斜式方程即可.【解答过程】因为直线𝑙的一个方

向向量𝑑⃑=(3,4)，所以直线𝑙的斜率为43所以直线方程为𝑦−2=43(𝑥+1)，故答案为：𝑦−2=43(𝑥+1).16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45∘和30∘角，过点𝑃(1,0

)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线𝑦=12𝑥上时，则直线AB的方程是(3+√3)𝑥−2𝑦−3−√3=0.【解题思路】由题意求出直线𝑂𝐴,𝑂𝐵的方程，设𝐴(𝑚,𝑚)

,𝐵(−√3𝑛,𝑛)得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点共线求出𝑚，得到直线𝐴𝐵的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案.【解答过程】由题意可得𝑘𝑂𝐴=tan45∘=1，𝑘𝑂𝐵=tan(1

80∘−30∘)=tan150∘=−√33，所以直线𝑙𝑂𝐴:𝑦=𝑥,𝑙𝑂𝐵:𝑦=−√33𝑥，设𝐴(𝑚,𝑚),𝐵(−√3𝑛,𝑛)，所以AB的中点C(𝑚−√3𝑛2,𝑚+𝑛2).由点C在直线𝑦=12𝑥上，且A

，P，B三点共线得{𝑚+𝑛2=12𝑚−√3𝑛2(𝑚−0)(−√3𝑛−1)=(𝑛−0)(𝑚−1)解得𝑚=√3，所以𝐴(√3,√3),又𝑃(1,0)，所以𝑘𝐴𝐵=𝑘𝐴𝑃=√3

√3−1＝3+√32，所以𝑙𝐴𝐵:𝑦=3+√32(𝑥−1)，即直线AB的方程为(3+√3)𝑥−2𝑦−3−√3=0.故答案为：(3+√3)𝑥−2𝑦−3−√3=0.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·江苏·高二专题练习）过点𝑃

(1,4)作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．【解题思路】由题意设直线的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(𝑎>0,𝑏>0)，则可得1𝑎+4𝑏=1，所以𝑎+𝑏=(�

�+𝑏)(1𝑎+4𝑏)，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出𝑎,𝑏的值，进而可求出直线方程.【解答过程】解：设直线的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(𝑎>0,𝑏>0)．把点𝑃(1,4

)代入可得1𝑎+4𝑏=1．∴𝑎+𝑏=(𝑎+𝑏)(1𝑎+4𝑏)=5+𝑏𝑎+4𝑎𝑏⩾5+2√𝑏𝑎·4𝑎𝑏=9，当且仅当𝑏=2𝑎=6时取等号，𝑎+𝑏的最小值为9，此时直

线的方程为𝑥3+𝑦6=1⇔2𝑥+𝑦−6=0．18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知P是直线l上一点，且𝑛⃑⃑是直线l的一个方向向量，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)𝑃(3,−5),𝑛⃑⃑=(1,2)；(2)𝑃(0,5),𝑛⃑⃑=(3,−4)．【解题思路】设𝑀

(𝑥,𝑦)是直线l上另一点，表达出𝑃𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用𝑃𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥𝑛⃑⃑得到等量关系，整理得直线l的方程.【解答过程】解：(1)设点𝑀(𝑥,𝑦)是直线l上另一点，则𝑃𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑥−3,𝑦+5)，由𝑃𝑀

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥𝑛⃑⃑，则𝑦+5−2(𝑥−3)=0，即2𝑥−𝑦−11=0；(2)设点𝑀(𝑥,𝑦)是直线l上另一点，则𝑃𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑥,𝑦−5)，由𝑃𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥𝑛⃑⃑，则3(𝑦−5)+4𝑥=0

，即4𝑥+3𝑦−15=0.19．（8分）（2022·河南省高二阶段练习）求符合下列条件的直线𝑙的方程：(1)过点𝐴(2,1)，且斜率为−12；(2)过点𝐴(1,4)，𝐵(2,3)；(3)过点𝑃(2,1)且在两坐标轴上的

截距相等．【解题思路】（1）利用点斜式写直线方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.【解答过程】解：（1）∵所求直线过点𝐴(2,1)，且斜率为−12，∴𝑦−1=−12(𝑥−2

)，即𝑥+2𝑦−4=0；（2）∵所求直线过𝐴(1,4)，𝐵(2,3)，∴𝑘𝐴𝐵=4−31−2=−1，∴𝑦−4=−(𝑥−1)，即𝑥+𝑦−5=0；（3）当直线过原点时，设直线方程为𝑦=𝑘𝑥，∵直线过�

�点(2,1)，∴𝑘=1−02−0=12，直线方程为𝑦=12𝑥，即𝑥−2𝑦=0；当直线不过原点时，设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1，将点𝑃(2,1)代入上式，得2𝑎+1𝑎=1，解得𝑎=3，故直线的方程为𝑥+𝑦−3=0，综上，

直线方程为𝑥−2𝑦=0或𝑥+𝑦−3=0．20．（8分）（2022·辽宁·高二开学考试）已知直线𝑙:𝑎𝑥+(1−2𝑎)𝑦+1−𝑎=0.(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：(2)当直线l不通过第四

象限时，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）先求出𝑎≠0且𝑎≠12，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

【解答过程】解：（1）由条件知，𝑎≠0且𝑎≠12，在直线l的方程中，令𝑦=0得𝑥=𝑎−1𝑎，令𝑥=0得𝑦=𝑎−11−2𝑎∴𝑎−1𝑎=𝑎−11−2𝑎×3，解得：𝑎=1，或𝑎=15，经检验，𝑎=1，15均符合要求.（2）当𝑎=

12时，l的方程为：12𝑥+12=0.即𝑥=−1，此时l不通过第四象限；当𝑎≠12时，直线/的方程为：𝑦=−𝑎1−2𝑎𝑥+𝑎−11−2𝑎.l不通过第四象限，即{−𝑎1−2𝑎≥0𝑎−11−2𝑎≥0，解得12<𝑎≤1，综上所述，当直线不通过第

四象限时，a的取值范围为[12,1].21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点𝑃(−1,2)．(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；(2)设l的斜率𝑘>0，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当△𝐴𝑂𝐵的面积

最小时，求l的斜截式方程．【解题思路】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到−1−2𝑘+𝑘+2=0，解方程即可求出结果；（2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果.【解答过程】解：（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则l的点斜式方程为𝑦−2=

𝑘(𝑥+1)，则它在两坐标轴上截距分别为−1−2𝑘和𝑘+2，所以−1−2𝑘+𝑘+2=0，解得𝑘=−2或𝑘=1，所以l的点斜式方程为𝑦−2=−2(𝑥+1)或𝑦−2=𝑥+1．（2）由（

1）知，𝐴(−2𝑘−1,0)、𝐵(0,𝑘+2)，所以△𝐴𝑂𝐵的面积𝑆=12|−2𝑘−1|⋅|𝑘+2|=(𝑘+2)22𝑘=𝑘2+2+2𝑘≥2√𝑘2⋅2𝑘+2=4，当且仅当𝑘=2时，等号成立，所以l的斜截式方程为𝑦=2𝑥+4．

22．（8分）（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线𝑙：𝑘𝑥−𝑦+2+𝑘=0(𝑘∈R).(1)若直线不经过第四象限，求𝑘的取值范围；(2)若直线𝑙交𝑥轴负半轴于𝐴，交𝑦轴正半轴于𝐵，△𝐴𝑂𝐵的面积为𝑆（O为坐标原点），求𝑆的最小值和

此时直线𝑙的方程.【解题思路】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.(2)先求直线在𝑥轴和𝑦轴上的截距，表示△𝐴𝑂𝐵的面积，利用基本不等式求其最小值.【解答过程】解：（1）方程𝑘𝑥−𝑦+2+𝑘=0可化为𝑦=𝑘𝑥+2+𝑘

，要使直线不经过第四象限，则{𝑘≥02+𝑘≥0，解得𝑘≥0，所以k的取值范围为[0,+∞).（2）由题意可得𝑘>0，由𝑘𝑥−𝑦+2+𝑘=0取𝑦=0得𝑥=−𝑘+2𝑘，取𝑥=0得𝑦=2+𝑘，所以𝑆=12|𝑂�

�||𝑂𝐵|=12·𝑘+2𝑘·(2+𝑘)=12(𝑘+4+4𝑘)≥12(2√𝑘·4𝑘+4)=4，当且仅当𝑘=4𝑘时，即𝑘=2时取等号，此时𝑆min=4，直线𝑙的方程为2𝑥−𝑦+4=0.