【文档说明】吉林省长春外国语学校2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含答案.docx，共(5)页，729.564 KB，由小赞的店铺上传

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长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级期初考试数学试卷出题人：康乐审题人：郭奇本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择

题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5

.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知

复数211i1iz=+−+（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.若平面向量a与b的夹角为60°，()2,0,1ab==，则2ab+等于（）A．10B．12C．3D．233.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，

则该组数据的70%分位数是（）A．4B．5C．6D．6.54.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中（）A．最长的是AB，最短的是ACB．最长

的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD5.在ABC中，45A=，4a=，3b=满足条件的ABC（）A．有一解B．有两解C．无解D．不能确定6.自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究

所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（）A．2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加B．2017年销售量的同比增长率最低C．与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有

增长D．有连续三年的销售增长率超过30%7.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）

.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）A．2:3B．2:1C．1:1D．3:28.已知正方体1111ABCDABCD−，点P，Q，R分别是线段1BB，AB和1AC上的动点

，观察直线CP与1DQ，CP与1DR给出下列结论：其中正确的结论是()①对于任意给定的点Q，存在点P，使得1CPDQ⊥；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得1DQCP⊥；③对于任意给定的点R，存在点P，使得1CPDR⊥；④对于任意给定的

点P，存在点R，使得1DRCP⊥．A．①B．②③C．①④D．②④二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量a，b，c满足()31,3ab+=

−，()3,1ab−=−，()2,2c=−，则下列说法正确的是（）A．2ba=B．ac∥C．ca⊥D．向量a，b的夹角为π410.下列说法正确的是（）A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为1136B．甲乙两人独

立地解题，已知各人能解出的概率分别是12，14，则题被解出的概率是18C．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是1211.ABC的

内角,,ABC的对边分别为,,abc，下列结论正确的是（）A．若5,15,30abA===，则ABC的面积为235B．若222sinsinsinsinsinABCBC=+−，则角π3A=C．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰或直角三角形D

．不存在,,ABC，使tantantantantantanABCABC++成立第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1x，2x，3x，…，nx的中位数与方差分别为2，1，则121

x−，221x−，321x−，…，21nx−的中位数与方差的和为．13.若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则该圆台的体积．14.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物

质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足2PC=，PC⊥平面ABC，

ABAC⊥，若ABC的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知复数21(i)za=+，243iz−＝，其中a是正实数．(1)若12izz＝，求实数a的值；(2)若12zz是纯虚数

，求a的值．16.（本小题15分）已知向量()1,1a=，()1,bk=−(1)若()2aab⊥+，求实数k的值；(2)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围.17.（本小题15分）2022年2月4日，第

24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组)20,25，第二组)2

5,30，第三组)30,35，第四组)35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(2

)若有甲（年龄38)，乙（年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42

和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差．18.（本小题17分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin2ACabA+=．（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求

ABC面积的取值范围．19.（本小题17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，ADBC//，ADCD⊥，1==CDAD，2=BC．(1)求证：PAB平面⊥AC；(2)若平面PAB与平面PCD夹角等于3，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．长春外国语学

校2024-2025学年第一学期期初考试高二年级数学试卷答案1.D2.D3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.AB10.AD11.BCD12.713.7314.12π15.(1)2(2)2【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算

法则构建关于a的方程组，求解a的值；（2）根据复数的除法运算求解12zz，利用复数的定义，构建关于a的方程组，求解a的值；【详解】（1）解：∵21(i)za=+，243iz−＝，12izz＝，∴22i12i34iaaa+++−（）＝＝，

从而21324aa−==，解得2a＝，所以实数a的值为2．（2）依题意得：()()()()2222122i143i464383i(i)43i2525aaaaaazaz+−+−−++−+===−，因为12zz是纯虚数，所以：2246403830aaaa−−=+−，解得：2a＝或12

a=−；又因为a是正实数，所以a＝2．16.(1)0(2)()(),11,1−−−【详解】（1）因为()1,1a=，()1,bk=−，所以()()()21,121,1,21abkk+=+−=−+，因

为()2aab⊥+，所以()()()2111210aabk+=−++=，解得0k=；（2）因为a与b的夹角是钝角，()1,1a=，()1,bk=−，所以()11110abkk=−+=−，解得1k，又当()111k=−，即1k=−时，ab=−，此时

a与b的夹角为180，故1k−，综上可得()(),11,1k−−−.17.【答案】(1)31.75(2)35(3)10【详解】（1）解：设这m人的平均年龄为x，则22.50.127.50.3532.50.2537.50.

242.50.131.75x=++++=（岁)；（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为2:7:5:4:2，第四组应抽取420427542=++++人，记为A，B，C，甲，第五组抽取220227542=++++人，记为D

，乙，对应的样本空间为{(,)AB=，(A,C)，(A，甲），(A，乙），(,)AD，(,)BC，(B，甲），(B，乙），(,)BD，(C，甲）(C，乙），(,)CD，（甲，乙），（甲，)D，（乙，)}D，共15个样本点．分设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则

{(MA=，甲），(A，乙），(B，甲），(B，乙），(C，甲），(C，乙），（甲，乙），（甲，)D，（乙，)}D，共有9个样本点，所以()93()()155nMPMn===；（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x，5x，方差分别为24s，25s，则436x=，5

42x=，2452s=，251s=，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为2s；则45424362423866xxz+===，()()()()22222224455115424363821423810662ssxzsxz=+−++−=

+−++−=因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为1018.(1)3B=;(2)33(,)82.【详解】(1)由三角形的内角和定理得222ACB+=−，此时sinsi

n2ACabA+=就变为sinsin22BabA−=．由诱导公式得sincos222BB−=，所以cossin2BabA=．在ABC中，由正弦定理知2sin,2sinaRAbRB==，此时就有sincossinsin2BAAB=，即cos

sin2BB=，再由二倍角的正弦公式得cos2sincos222BBB=，解得3B=．(2)因为ABC是锐角三角形，又3B=，所以,6262AC，则1sin2ABCSacB==V22sin1

3sin33sin24sin4sinCaAcBcCC−===22sincoscossin333334sin8tan8CCCC−=+．因为,62C，所以3tan,3C+，则1(0,3)tanC，从而33,8

2ABCS，故ABC面积的取值范围是33,82．19.1）设𝐵𝐶中点为E，连接𝐴𝐸，易知𝐴𝐷𝐶𝐸为正方形，且𝐴𝐶=√2,𝐴𝐸=1,𝐴𝐵=√2所以𝐵�

�2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2，所以𝐴𝐵⊥𝐴𝐶因为𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐶⊂底面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐴⊥𝐴𝐶又𝑃𝐴⊂面𝑃𝐴𝐵,𝐴𝐵⊂面𝑃𝐴𝐵，𝑃𝐴∩𝐴𝐵=𝐴所以𝐴𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵（2）因为𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷

，在正方形𝐴𝐷𝐶𝐸中𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，所以𝐴𝐸,𝐴𝐷,𝑃𝐴两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧设𝑃𝐴=𝑎(𝑎>0)则𝐶(1,1,0),𝐷(0,1,0),𝐵(1,−1,0),𝑃(0,0,𝑎)，所以𝑃𝐷̀=(0,1,−𝑎),𝐷𝐶

̀=(1,0,0)，设平面𝑃𝐶𝐷的法向量为𝑛̀=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0即{𝑦−𝑎𝑧=0𝑥=0，取𝑧=1，则𝑛̀=(0,𝑎,1)由（1）知，平面𝑃𝐴𝐵的法向量为𝐴𝐶̀=(1,1

,0)因为平面𝑃𝐴𝐵与平面𝑃𝐶𝐷的夹角为π3，所以cosπ3=|cos⟨𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛⃗⟩|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗|=|(1,1,0)⋅(0,𝑎,1)|√2⋅√02+12+(−𝑎)2=|𝑎|√2⋅√1+𝑎2=12，解得

𝑎=1，𝑃𝐵̀=(1,−1,−1),𝐷𝐶̀=(1,0,0)设异面直线PB与CD所成角为𝜃，则cos𝜃=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|(1,−1,−1)⋅(1,0,0)|√3×1=√33，