【文档说明】吉林省长春外国语学校2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含答案.docx，共(5)页，729.564 KB，由小赞的店铺上传

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长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级期初考试数学试卷出题人：康乐审题人：郭奇本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、

弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数211i1iz=+−+（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限

D．第四象限2.若平面向量a与b的夹角为60°，()2,0,1ab==，则2ab+等于（）A．10B．12C．3D．233.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的70%分位数是（）A．4B．5C．6D．6.54.如图所示是水平放置三角形

的直观图，点D是ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中（）A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD5.在ABC中，45

A=，4a=，3b=满足条件的ABC（）A．有一解B．有两解C．无解D．不能确定6.自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，

下列说法中不正确的是（）A．2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加B．2017年销售量的同比增长率最低C．与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长D．有连续三年的销售增长率超过30%

7.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需

用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）A．2:3B．2:1C．1:1D．3:28.已知正方体1111ABCDABCD−，点P，Q，R分别是线段1BB，A

B和1AC上的动点，观察直线CP与1DQ，CP与1DR给出下列结论：其中正确的结论是()①对于任意给定的点Q，存在点P，使得1CPDQ⊥；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得1DQCP⊥；③对于任意给定的点R，存在点P，使得1CPDR⊥；④对于任意给定的点P，存在点R，使得

1DRCP⊥．A．①B．②③C．①④D．②④二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量a，b，c满足()31,3ab+=−，()3,1ab−=−，()2,

2c=−，则下列说法正确的是（）A．2ba=B．ac∥C．ca⊥D．向量a，b的夹角为π410.下列说法正确的是（）A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为1136B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是12，14，则题被解出的概率是18C．某小组由5

名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是1211.ABC的内角,,ABC

的对边分别为,,abc，下列结论正确的是（）A．若5,15,30abA===，则ABC的面积为235B．若222sinsinsinsinsinABCBC=+−，则角π3A=C．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰或直角三角形D．不存在,,ABC，使tantant

antantantanABCABC++成立第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1x，2x，3x，…，nx的中位数与方差分别为2，1，则121x−，221x−，321x−，…，21nx−的中位数与方差的和为．13.若圆台的上下底

面半径分别为1，2，母线长为2，则该圆台的体积．14.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴

、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足2PC=，PC⊥平面ABC，ABAC⊥，若ABC的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小

值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知复数21(i)za=+，243iz−＝，其中a是正实数．(1)若12izz＝，求实数a的值；(2)若12zz是纯虚数

，求a的值．16.（本小题15分）已知向量()1,1a=，()1,bk=−(1)若()2aab⊥+，求实数k的值；(2)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围.17.（本小题15分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会

开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一

组)20,25，第二组)25,30，第三组)30,35，第四组)35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(2)若有甲

（年龄38)，乙（年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平

均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差．18.（本小题17分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin2ACabA+=．（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c

=，求ABC面积的取值范围．19.（本小题17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，ADBC//，ADCD⊥，1==CDAD，2=BC．(1)求证：PAB平面⊥AC；(2)若平面PAB与

平面PCD夹角等于3，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．长春外国语学校2024-2025学年第一学期期初考试高二年级数学试卷答案1.D2.D3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.AB10.AD11.BCD12.713.7314.12π15.(1)2(2)2【分析】（1）根据

复数的定义及复数的运算法则构建关于a的方程组，求解a的值；（2）根据复数的除法运算求解12zz，利用复数的定义，构建关于a的方程组，求解a的值；【详解】（1）解：∵21(i)za=+，243iz−＝，12izz＝，∴22i

12i34iaaa+++−（）＝＝，从而21324aa−==，解得2a＝，所以实数a的值为2．（2）依题意得：()()()()2222122i143i464383i(i)43i2525aaaaaazaz+−+−−++−+===−，因为12zz是纯虚数，所以：2246403

830aaaa−−=+−，解得：2a＝或12a=−；又因为a是正实数，所以a＝2．16.(1)0(2)()(),11,1−−−【详解】（1）因为()1,1a=，()1,bk=−，所以()()()21,121,1,21abkk+=+−=−+，因为()2aab⊥

+，所以()()()2111210aabk+=−++=，解得0k=；（2）因为a与b的夹角是钝角，()1,1a=，()1,bk=−，所以()11110abkk=−+=−，解得1k，又当()111k=−，即1k=−时，ab=

−，此时a与b的夹角为180，故1k−，综上可得()(),11,1k−−−.17.【答案】(1)31.75(2)35(3)10【详解】（1）解：设这m人的平均年龄为x，则22.50.127.50.353

2.50.2537.50.242.50.131.75x=++++=（岁)；（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为2:7:5:4:2，第四组应抽取420427542=++++人，记为A，B，C，甲，第五组抽取220227542=++++人，记为D，乙，对应的样本空间为{(,)AB

=，(A,C)，(A，甲），(A，乙），(,)AD，(,)BC，(B，甲），(B，乙），(,)BD，(C，甲）(C，乙），(,)CD，（甲，乙），（甲，)D，（乙，)}D，共15个样本点．分设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”

，则{(MA=，甲），(A，乙），(B，甲），(B，乙），(C，甲），(C，乙），（甲，乙），（甲，)D，（乙，)}D，共有9个样本点，所以()93()()155nMPMn===；（3）设第四组、第五组的宣传

使者的年龄的平均数分别为4x，5x，方差分别为24s，25s，则436x=，542x=，2452s=，251s=，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为2s；则45424362423866xxz+===，()()

()()22222224455115424363821423810662ssxzsxz=+−++−=+−++−=因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为1018.(1)3B

=;(2)33(,)82.【详解】(1)由三角形的内角和定理得222ACB+=−，此时sinsin2ACabA+=就变为sinsin22BabA−=．由诱导公式得sincos222BB−=

，所以cossin2BabA=．在ABC中，由正弦定理知2sin,2sinaRAbRB==，此时就有sincossinsin2BAAB=，即cossin2BB=，再由二倍角的正弦公式得cos2sincos222

BBB=，解得3B=．(2)因为ABC是锐角三角形，又3B=，所以,6262AC，则1sin2ABCSacB==V22sin13sin33sin24sin4sinCaAcBcCC−===22s

incoscossin333334sin8tan8CCCC−=+．因为,62C，所以3tan,3C+，则1(0,3)tanC，从而33,82ABCS

，故ABC面积的取值范围是33,82．19.1）设𝐵𝐶中点为E，连接𝐴𝐸，易知𝐴𝐷𝐶𝐸为正方形，且𝐴𝐶=√2,𝐴𝐸=1,𝐴𝐵=√2所以𝐵𝐶2=𝐴𝐵2

+𝐴𝐶2，所以𝐴𝐵⊥𝐴𝐶因为𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐶⊂底面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐴⊥𝐴𝐶又𝑃𝐴⊂面𝑃𝐴𝐵,𝐴𝐵⊂面𝑃𝐴𝐵，𝑃𝐴∩𝐴𝐵=𝐴所以𝐴𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵（2）因为𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，在正方形𝐴�

�𝐶𝐸中𝐴𝐸⊥𝐴𝐷，所以𝐴𝐸,𝐴𝐷,𝑃𝐴两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧设𝑃𝐴=𝑎(𝑎>0)则𝐶(1,1,0),𝐷(0,1,0),𝐵(1,−1,0),𝑃(0,0,𝑎)，所以𝑃𝐷̀=(0,1,−�

�),𝐷𝐶̀=(1,0,0)，设平面𝑃𝐶𝐷的法向量为𝑛̀=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0即{𝑦−𝑎𝑧=0𝑥=0，取𝑧=1，则𝑛̀=(0,𝑎,1)由（1）知，平面𝑃𝐴𝐵的法向量为𝐴𝐶̀=(1,

1,0)因为平面𝑃𝐴𝐵与平面𝑃𝐶𝐷的夹角为π3，所以cosπ3=|cos⟨𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛⃗⟩|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗|=|(1,1,0)⋅(0,𝑎,1)|√2⋅√02+12+(−𝑎)2=|𝑎|√2⋅√

1+𝑎2=12，解得𝑎=1，𝑃𝐵̀=(1,−1,−1),𝐷𝐶̀=(1,0,0)设异面直线PB与CD所成角为𝜃，则cos𝜃=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|(1,−1,−1)

⋅(1,0,0)|√3×1=√33，