【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题8.5 列联表与独立性检验（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(20)页，702.821 KB，由小赞的店铺上传

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专题8.5列联表与独立性检验（重难点题型精讲）1．分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2．2×2列联表假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}

和{,}，其2×2列联表为2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.3．等高堆积条形图常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.(1)等高堆积条形图中有两个高度相

同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类变量之间有关系.(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道两个分类变量有关系的概率大小.4．独立性检验(1)假定

通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.则.(2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.(3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.【题型

1列联表的应用】【方法点拨】利用列联表直接计算和，如果两者相差很大，就判断两个分类变量之间有关系的可能性较大.【例1】（2023·全国·高二专题练习）假设有两个分类变量𝑥与𝑦的2×2列联表如下表：𝑦1𝑦2𝑥1𝑎𝑏𝑥2𝑐𝑑对于以下数据，对同一样本

能说明𝑥与𝑦有关系的可能性最大的一组为（）A．𝑎=5，𝑏=4，𝑐=3，𝑑=2B．𝑎=5，𝑏=3，𝑐=4，𝑑=2C．𝑎=2，𝑏=3，𝑐=4，𝑑=5D．𝑎=2，𝑏=3，𝑐=5，𝑑=4【解题思路】计算每个选项中的|𝑎�

�−𝑏𝑐|，比较大小后可得出结论.【解答过程】对于两个分类变量𝑥与𝑦而言，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|的值越大，说明𝑥与𝑦有关系的可能性最大，对于A选项，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|5×2−4×3|=2，对于B选项，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|5×2−3×4|=2，对于C选项，|𝑎𝑑−𝑏�

�|=|2×5−3×4|=2，对于D选项，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|2×4−3×5|=7，显然D中|𝑎𝑑−𝑏𝑐|最大，故选：D.【变式1-1】（2022春·福建厦门·高二阶段练习）在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A

和B没有任何关系，则a的可能值是（）A𝐴̅合计B2008001000𝐵̅180a180+a合计380800+a1180+aA．200B．720C．100D．180【解题思路】把列联表中所给的数据代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知a的可能值.【解答过

程】解：因为两个分类变量A和B没有任何关系，所以𝐾2=(1180+𝑎)(200𝑎−800⋅180)2380⋅(800+𝑎)⋅1000⋅(180+𝑎)<2.702，代入验证可知𝑎=720.故选：B.【变式1-2】（2022·高二单元测试）假设两个分类变量𝑋和𝑌，他们的取

值分别为{𝑥1,𝑥2}和{𝑦1,𝑦2}，其样本频数列联表如下：𝑦1𝑦2总计𝑥1𝑎𝑏𝑎+𝑏𝑥2𝑐𝑑𝑐+𝑑总计𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑎+𝑏+𝑐+𝑑对于以下数据，对同一样本说明𝑋与𝑌有关的可能性最大的一组是（

）A．𝑎=10，𝑏=5，𝑐=8，𝑑=6B．𝑎=9，𝑏=5，𝑐=7，𝑑=8C．𝑎=12，𝑏=6，𝑐=9，𝑑=5D．𝑎=12，𝑏=8，𝑐=6，𝑑=7【解题思路】依据|𝑎𝑑−𝑏𝑐|越大，说明𝑋与𝑌有

关的可能性越大，即可判定.【解答过程】一般地，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|越大，说明𝑋与𝑌有关的可能性越大.选项A中，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|60−40|=20；选项B中，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|72−35|=37；选项C中，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|60−54|=6；选项D中

，|𝑎𝑑−𝑏𝑐|=|84−48|=36．故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）假设有两个分类变量𝑋和𝑌的2×2列联表如下：注：𝐾2的观测值𝑘=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=

𝑛(𝑎𝑎+𝑐−𝑏𝑏+𝑑)(𝑎𝑎+𝑏−𝑐𝑐+𝑑).对于同一样本，以下数据能说明𝑋和𝑌有关系的可能性最大的一组是（）A．𝑎=45,𝑐=15B．𝑎=40,𝑐=20C．𝑎=35,𝑐=25D．𝑎=30,𝑐

=30【解题思路】根据独立性检验的方法和2×2列联表，即可得解.【解答过程】根据独立性检验的方法和2×2列联表可得，当𝑎𝑎+10与𝑐𝑐+30相差越大，则分类变量𝑋和𝑌有关系的可能性越大，即𝑎,𝑐相差越大，𝑎

𝑎+10与𝑐𝑐+30相差越大．由各选项可得A满足条件，故选A．【题型2等高堆积条形图的应用】【方法点拨】可以从等高堆积条形图中直观判断列联表数据的频率特征，这种直观判断的不足之处在于不能直接给出推断“两个分类变量

有关系”犯错误的概率.【例2】（2022春·吉林·高二阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体

中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员

中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【解题思路】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.【解答过程】对于A，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80%选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；对于B，男性和女性中均有60%选

择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；对于C，由于男性和女性中均有60%选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有50×20%=

10人，城镇户籍有50×60%=30人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.故选：D.【变式2-1】（2022春·全国·高二期末）观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量𝜒2的观测值最小的是（）A

．B．C．D．【解题思路】直接由等高条形图中𝑥1,𝑥2所占比例相差越小，随机变量𝜒2的观测值越小判断即可.【解答过程】等高的条形图中𝑥1,𝑥2所占比例相差越小，随机变量𝜒2的观测值越小.故选：B.

【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（）A．B．C．D．【解题思路】由等高条形图的定义和性质依次分析，即得解【解答过程】观察等高条形图发现𝑥1𝑥1+𝑦1与𝑥2�

�2+𝑦2相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．故选：D.【变式2-3】（2023·高二课时练习）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项

中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果【解题思路】根据等高条形图中的数据即可得出选项.【解答过程】根据两个表中的等高条形图知，药物A实验

显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选：B．【题型3独立性检验的应用】【方法点拨】可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种

判断的可靠程度.具体做法：(1)根据实际问题需要的可信程度(或容许犯错误概率的上界)确定临界值；(2)利用公式，由观测数据计算得到的值；(3)对照临界值表，即可得出结论.【例3】（2023·江西上饶·统考一模）新型冠状病毒感染，主要是由新型冠状病毒引起的，典

型症状包括干咳、发热、四肢无力等，部分人群会伴有流鼻涕、拉肚子等症状.病人痊愈的时间个体差异也是比较大的，新型冠状病毒一般2－6周左右能恢复.某兴趣小组为进一步了解新型冠状病毒恢复所需时间，随机抽取了

200名已痊愈的新型冠状病毒患者（其中有男性100名，女性100名）进行调查，得到数据如下表所示：痊愈周数性别1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠

状病毒患者在3周内（含3周）痊愈，则称患者“痊愈快”，否则称患者“痊愈慢”.(1)分别估计男、女新型冠状病毒患者“痊愈快”的概率？(2)完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为患者性别与痊愈快慢有关

？痊愈快慢性别痊愈快痊愈慢总计男性女性总计附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑).𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解题思路】（

1）根据表中数据的统计，结合古典概型的概率公式即可求解，（2）根据数据统计完成二联表，即可计算𝐾2,进行判断.【解答过程】（1）由表中数据可知：男性患者在三周以及以内康复的人有4+50+24=78，女性患者在三周以及以内康复的人有2+40+22=64，故男性

新型冠状病毒患者“痊愈快”的概率为78100=0.78，女性新型冠状病毒患者“痊愈快”的概率为64100=0.64（2）二联表如下表：痊愈快慢性别痊愈快痊愈慢总计男性7822100女性6436100总计14258200故𝐾2=200×(78×36−64×22)2142×58×100×100≈4

.76>3.841故有95%的把握认为患者性别与痊愈快慢有关.【变式3-1】（2023春·河南安阳·高三阶段练习）2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》

（以下简称“双减”），各省、市精心组织实施，强化目标管理，治理校外培训行为.为了调查人们对“双减”的满意程度，抽取了男、女各25人对“双减”的满意度进行调查，统计数据如表所示.满意非常满意合计男性18725女性61925合计242650(1)根据上表，如果随机抽查1人，那么抽到此人对“双减”满意

的概率是多少？抽到此人对“双减”非常满意且是女性的概率是多少？(2)能否有99.9%的把握认为性别和满意度有关？附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑑)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑

.𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；（2）计算𝐾2的值，与临界值表进行比较，可得结论.【解答过程】（1）随机抽查1人，抽到

满意的概率是18+650=1225；抽到非常满意且是女性的概率是1950；（2）根据2×2列联表，可得𝐾2=50×(18×19−6×7)224×26×25×25=15013≈11.538>10.828，∴有99.9%的把握认为性别和满意度有关.【变式3-2】（2023·内蒙古·模拟预测）

国际足联世界杯（FIFAWorldCup），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看

世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷𝑎+20𝑎+20女球迷𝑎+40𝑎总计(1)求𝑎的值，并完成上述列联表；(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把

握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.参考数据：𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.100.05

0.0100.001𝑘02.7063.8416.63510.828【解题思路】（1）根据球迷总人数可构造方程求得𝑎的值，进而补全列联表；（2）由列联表数据可计算得到𝐾2≈4.040>3.841，对比临界值表可得结论.【解答过程】（1）由题意得：(

𝑎+20)+(𝑎+20)+(𝑎+40)+𝑎=200+200，解得：𝑎=80；补全列联表如下：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷100100200女球迷12080200总计220180400（2）由（1）得

：𝐾2=400(100×80−100×120)2200×200×220×180=40099≈4.040>3.841，∴有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.【变式3-3】（2023春·湖南·高三

阶段练习）人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某

机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的25．(1)根据以上数据完成如下2×2列联表：年龄理解情况总计会取代不会取代30岁以下1230岁及以上总计4260(2)依据小概率值𝛼=0

.010的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．𝛼0.100.050.0100.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎

+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．【解题思路】（1）根据题设中的数据即可求解；（2）代入卡方公式求出值与表对比即可求解.【解答过程】（1）完成2×2列联表如下：年龄理解情况总计会取代不会取代30岁以

下18123030岁及以上241630总计421860（2）设𝐻0为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关，由题意，𝜒2=60×(24×12−18×6)242×18×30×30≈2.857<6.635=𝑥0.010，所以根据小概率𝛼=0.010的独立性检验，我们

推断𝐻0成立．即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010．【题型4独立性检验与统计知识的综合应用】【方法点拨】独立性检验与统计知识结合在一起考查是一个很好的结合点，解题的关键是正确从图表中得到相关数据.【例4】（2023·全国·模拟预测）某省级综合医院共有1000名医护员工参

加防疫知识和技能竞赛，其中男性450人，为了解该医院医护员工在防疫知识和技能竞赛中的情况，现按性别采用分层抽样的方法从中抽取100名医护员工的成绩（单位：分）作为样本进行统计，成绩均分布在400~700分之间，根据统计结果绘制的医护员工成绩的频率分布直方图如图所示，将成绩不低于600分的医护

员工称为优秀防疫员工(1)求a的值，并估计该医院医护员工成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若样本中优秀防疫员工有女性10人，完成下列2×2列联表，并根据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，能否认为该医院

医护员工的性别与是否为优秀防疫员工有关联？优秀防疫员工非优秀防疫员工合计男女合计(3)采用分层抽样的方法从样本中成绩在[450,500)，[600,700]的医护员工中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名医护员工中优秀防疫员工的人数为随机变量X，求X的分布列及数

学期望.附：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.𝛼0.100.050.0100.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828【解题思路】（1）首先根据频率和为1

求出𝑎值，再求出成绩平均数，再根据中位数概念求出中位数即可；（2）进行零假设，补全2×2列联表，计算计算𝜒2的值并与临界值比较即可得到结论；（3）求出分层抽样的各层人数，计算概率得到分布列，则得到其期望.【解答过程】（1）第一步：根据频率之和为1求a的值由题意

知50×(0.001×2+0.003+0.006+0.005+𝑎)=1，解得𝑎=0.004.第二步：根据平均数与中位数的定义求解，估计该医院医护员工成绩的平均数，𝑥=425×0.05+475×0.15+525×0.3+575×0.25+625×0.2+67

5×0.05=552.5.因为(0.001+0.003+0.006)×50=0.5，所以估计中位数为550.（2）第一步：写出零假设零假设为𝐻0：性别与是否为优秀防疫员工独立，即性别与是否为优秀防疫员工无关联.第二步：补全2×2列联表由题可知，样本

中男性有450×110=45人，女性有(1000−450)×110=55人，优秀防疫员工有0.005×50×100=25（人），其中女性10人，得出以下2×2列联表：优秀防疫员工非优秀防疫员工合计男15

3045女104555合计2575100第三步：计算𝜒2的值并与临界值比较根据列联表中的数据，得到𝜒2=100×(15×45−10×30)225×75×45×55=10033≈3.03<3.841=𝑥0.05，第四步：得出结论所以根据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，我们没有充分证据推断�

�0不成立，故认为性别与是否为优秀防疫员工无关联.（3）第一步：利用分层抽样的知识求抽取的8人中成绩在[450,500)与[600,700]中的人数由题意及频率分布直方图可得，从成绩在[450,500)的医护员工中抽取3人，从成绩在[600,700]的医护员工中抽取

5人，第二步：写出随机变量X的所有可能取值所以X的所有可能取值为0，1，2，3.第三步：分别求出X取每个值的概率，得分布列𝑃(𝑋=0)=C33C83=156，𝑃(𝑋=1)=C51C32C83=1556，𝑃(𝑋=2)=C52C31C83=1528，

𝑃(𝑋=3)=C53C83=528，所以随机变量X的分布列为P0123X15615561528528第四步：计算数学期望𝐸(𝑋)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158.【变式4-1】（2023

·高二单元测试）相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图

1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以

上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”．(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否

有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计附：𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.100.050.0250.0100.0050.001𝑘02.7063.8415.0246.6357.87910.828𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+

𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【解题

思路】（1）根据条件完善列联表，然后算出𝐾2即可；（2）随机变量X满足二项分布𝑋~𝐵(3,12)，然后根据二项分布进行求概率和期望【解答过程】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身

达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，根据其中年轻人占比56，所以健身达人中年轻人人数为60×56=50，则非年轻人为10人；健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人

，则健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100𝐾2=100×(50×10−30×10)280×20×60×40≈1.042<3.841，

所以没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关．（2）由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为12，则随机变量X满足二项分布𝑋~𝐵(3,12)，𝑋=0,1,2,3，𝑃(𝑋=0)=C30(1−12)3=18，𝑃(

𝑋=1)=C31(12)1⋅(1−12)2=38，𝑃(𝑋=2)=C32(12)2⋅(1−12)1=38，𝑃(𝑋=3)=C33(12)3=18故X的分布列：X0123P18383818则𝑋的数学期望为𝐸(𝑋)=1×38+2×38+3×18=32．【变式4-2】（2023春·河南安

阳·高三阶段练习）某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值𝑥；（同一区间数据以中点值作代表）(

2)该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2

(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.0500.0250.010𝑘03.8415.0246.635【解题思路】（1）由频率分

布直方图总面积为1列方程求a，由定义求均值；（2）作出列联表，求得𝐾2，根据表格比较判断即可.【解答过程】（1）依题意有(1.5+2.5+𝑎+2.0+0.8+0.2)×0.1=1，得𝑎=3.0.𝑥=0.35×

0.15+0.45×0.25+0.55×0.30+0.65×0.20+0.75×0.08+0.85×0.02=0.537；（2）依题意作2×2列联表：降价非降价总计不低于0.6万元181230低于0.6

万元125870总计3070100𝐾2=100×(18×58−12×12)230×70×70×30≈18.367，因为18.367>5.024，所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否

降价有关.【变式4-3】（2023秋·浙江嘉兴·高三期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到

了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合

格的人数为𝑋.求随机变量𝑋的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2

列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.②独立性检验临界

值表𝛼0.100.050.0100.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.【解答过程】（1

）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率=0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8，即80%.（2）由题意可知𝑋=0,1,2,3，由于每次抽取的结果是相互独立的，故𝑋∼𝐵(3,0.8)，𝑃

(𝑋=𝑘)=C3𝑘⋅(0.8)𝑘⋅(1−0.8)3−𝑘=C3𝑘⋅0.8𝑘⋅0.23−𝑘,(𝑘=0,1,2,3)，所以𝑃(𝑋=0)=C30⋅0.80⋅0.23=0.008,𝑃(𝑋

=1)=C31⋅0.81⋅0.22=0.096，𝑃(𝑋=2)=C32⋅0.82⋅0.21=0.384,𝑃(𝑋=3)=C33⋅0.83⋅0.20=0.512，故随机变量𝑋的分布列为𝑋0123𝑃0.0080.0960.384

0.512（3）根据题中统计数据可填写2×2列联表如下，甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计100100200𝜒2=200(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524>6.635，所以有99%的把握

认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.