【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练45　双曲线 Word版含解析.docx，共(7)页，91.504 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练45双曲线一、基础巩固1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-𝑦24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:𝑥

2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.𝑥22−𝑦28=1B.𝑥24-y2=1C.𝑥24−𝑦216=1D.x2-𝑦24=13.已知离心率为√52的双曲线C:𝑥2𝑎2−�

�2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若𝑆△𝑂𝑀𝐹2=16,则双曲线的实轴长是()A.32B.16C.84D.44.(2021全国Ⅱ,理5)已知F1,F2是双曲线

C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为()A.√72B.√132C.√7D.√135.已知双曲线x2-𝑦23=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点

P使sin∠𝑃𝐹2𝐹1sin∠𝑃𝐹1𝐹2=e,则𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.3B.2C.-3D.-26.已知F为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的右焦点

,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点.若四边形OFAB为菱形,则双曲线C的离心率e=()A.2B.3C.√2D.√2+17.(2021新高考Ⅱ,13)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则此双曲

线的渐近线方程为.8.如图,F1,F2是双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与圆x2+y2=a2(a>0)相切,切点为T,且交双曲线的右支于点P,若2𝐹1𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,则双曲线C的离心率e=.9.

分别求满足下列条件的方程:(1)焦点在x轴上,长轴长为10,焦距为4的椭圆的标准方程;(2)一个焦点为(-√3,0),渐近线方程为y=√2x的双曲线的标准方程.10.已知双曲线C的离心率为√3,且过点(√3,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为π3的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点

.(1)求双曲线C的标准方程;(2)求△AOB的面积.二、综合应用11.(多选)设F1,F2分别是双曲线C:𝑥2𝑚+𝑛−𝑦2𝑚-𝑛=1的左、右焦点,且|F1F2|=4,则下列结论正确的有()A.m=2B.当n=0时,双曲线C的离心率是

2C.点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=1时,双曲线C的实轴长是虚轴长的2倍12.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,点P在双曲线C的

渐近线上,𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,∠MPN=60°,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±√22xB.y=±√32xC.y=±√2xD.y=±2√33x13.已知双曲线C1:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2-2ax+34a2=

0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A.(1,2√33)B.(2√33,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)14.已知双曲线C的中心在原点,F(-2,0)是一个焦点,过F的直线l与双曲线C交于

A,B两点,且AB的中点为N(-3,-1),则双曲线C的方程为.15.已知以直线y=±√3x为渐近线的双曲线D:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D

右支上任意一点,则|𝑃𝐹1|-|𝑃𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|的取值范围是.16.设双曲线C:x2-𝑦2𝑏2=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值为8,则双曲线C的离心率为,此时,点P的坐标为.17.某高校的人工智能兴

趣小组策划开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过点O的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠沿某一曲线运动,且始终有接收到点A的信号比接收到点B

的信号晚8𝑣0秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离点O为4米.(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)假设机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区

域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”的风险?18.(2022新高考Ⅰ,21)已知点A(2,1)在双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ

的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2,求△PAQ的面积.三、探究创新19.已知一族双曲线En:x2-y2=𝑛1020(n∈N*,且n≤1020),设直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,

记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a1020=.考点规范练45双曲线1.A若双曲线C的方程为x2-𝑦24=1,则渐近线方程为y=±2x;若渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为x2-𝑦24=λ(λ≠0)

.所以“双曲线C的方程为x2-𝑦24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件.故选A.2.D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的

离心率为√5,所以√1+𝑏2𝑎2=√5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-𝑦24=1.故选D.3.B由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=𝑏𝑎x上,由题

意可知|F2M|=𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2=b,所以|OM|=√𝑐2-𝑏2=a.由𝑆△𝑂𝑀𝐹2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,𝑐𝑎=√52,所以a=8,b=4,c=4√5,所以双曲线C的实轴长为16.故选B

.4.A不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=√7,所以c=√72.由双曲线的定义

,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=1.所以离心率e=𝑐𝑎=√72.5.B由题意及正弦定理得sin∠𝑃𝐹2𝐹1sin∠𝑃𝐹1𝐹2=|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=e=2,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4

,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1=|𝑃𝐹2|2+|𝐹1𝐹2|2-|𝑃𝐹1|22|𝑃𝐹2|·|𝐹1𝐹2|=4+16-162×2×4=14,∴𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·

𝐹2𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐹2𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·cos∠PF2F1=2×4×14=2.故选B.6.D依题意,双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的右焦点F为(c,0

),渐近线方程为y=±𝑏𝑎x.因为四边形OFAB为菱形,点A在双曲线C的右支上,且在x轴上方,点B在渐近线上,所以点B在渐近线y=-𝑏𝑎x上,|OB|=|AB|=|OF|=c.如图,设点B(𝑥,-𝑏𝑎𝑥),x<0,则|OB|=√𝑥2+(-𝑏𝑎𝑥)2=c,解

得x=-a,可得点B(-a,b).因为AB∥OF,所以点A的纵坐标为b,代入双曲线C的方程,可得点A(√2a,b).所以|AB|=√2a+a=c,所以e=𝑐𝑎=√2+1.7.y=±√3x由已知得e

=𝑐𝑎=2,即c=2a.又a2+b2=c2=4a2,所以b2=3a2,所以𝑏𝑎=√3.故此双曲线的渐近线方程为y=±√3x.8.√132如图,连接OT,PF2,则OT⊥PF1,过F2作F2Q∥OT,因为2𝐹1

𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,|OF1|=c,|OT|=a,所以|TF1|=|TQ|=|QP|=b,|QF2|=2a,|PF2|=|PF1|-2a=3b-2a.在Rt△PQF2中,(3b-2a)2=(2a)2+b2,整理得

𝑏𝑎=32.所以e=√𝑐2𝑎2=√1+𝑏2𝑎2=√132.所以双曲线C的离心率e=√132.9.解(1)因为椭圆的长轴长为10,所以a=5.由椭圆的焦距为4,可得c=2,则b=√21.又焦点在x轴上,所以

椭圆的标准方程为𝑥225+𝑦221=1.(2)双曲线的一个焦点为(-√3,0),则c=√3.又渐近线方程为y=√2x,所以𝑏𝑎=√2.又a2+b2=c2,所以a2=1,b2=2.所以双曲线的标准方程为x2-𝑦22=1.10.解(1)由题意可得,双

曲线C的焦点在x轴上,且a=√3,𝑐𝑎=√3,b2=c2-a2,解得a2=3,b2=6,所以双曲线C的方程为𝑥23−𝑦26=1.(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y=√3(x-3).设点A

(x1,y1),B(x2,y2),由{𝑦=√3(𝑥-3),2𝑥2-𝑦2=6,整理可得x2-18x+33=0,则有x1+x2=18,x1x2=33.可得y1-y2=√3[(x1-3)-(x2-3)]=√3(x1-x2),所以S△AOB=12|OF2

|·|y1-y2|=12×3×√3√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=3√32×√182-4×33=36.故△AOB的面积为36.11.AC对于A,由题意,可知a2=m+n,b2=m-n,所以c2=a2+b2=m+n+

m-n=2m.因为2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2.故A正确.对于B,当n=0时,双曲线C:𝑥22−𝑦22=1,此时a=b=√2,c=√𝑎2+𝑏2=2,所以离心率e=𝑐𝑎=√2.故B不

正确.对于C,由已知得点F1(-2,0),渐近线方程为√2-𝑛x±√2+𝑛y=0,则点F1到渐近线的距离d=|-2√2-𝑛|2=√2-𝑛,所以d随着n的增大而减小.故C正确.对于D,当n=1时,a=√2+1=√3,b=√2

-1=1,所以双曲线C的实轴长为2√3,虚轴长为2,此时实轴长不是虚轴长的2倍,故D不正确.12.D连接OP(图略),由𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,可得△PF1F2为直角三角形,故|OP|=12|F1F

2|=c.不妨设点P在渐近线y=𝑏𝑎x上,且在第一象限,在△OPN中,tan∠PON=𝑏𝑎,则cos∠PON=𝑎𝑐.又|ON|=a,则|PN|2=|OP|2+|ON|2-2|OP|·|ON|·cos∠PON

,解得|PN|=b.由|OP|2-|ON|2=|PN|2知PN⊥ON,即PN⊥MN.故在Rt△PMN中,tan∠MPN=|𝑀𝑁||𝑃𝑁|=2𝑎𝑏=√3,故𝑏𝑎=2√33.故所求渐近线方程为y=±2√33x.13.A由双曲线C1的

方程可得渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,即bx±ay=0,圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=14a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=12a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得|𝑎𝑏|√𝑎2+𝑏2<1

2a,即c>2b,即c2>4b2.又b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c2<43a2,所以e=𝑐𝑎<2√33.又e>1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为(1,2√33).故选A.14.

𝑥23-y2=1因为F(-2,0),N(-3,-1),所以直线AB的斜率k=1.设双曲线C的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),则a2+b2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-6,y1+y2=

-2,𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=k=1.由𝑥12𝑎2−𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2−𝑦22𝑏2=1,得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏2=0,即-6𝑎2+2𝑏2

=0,所以a2=3b2.所以a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为𝑥23-y2=1.15.(0,12]∵双曲线D:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±√3x,∴𝑏𝑎=√3,可得b=√3a,c=√𝑎2+𝑏

2=2a.∵P为双曲线D右支上一点,∴|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,∴0<|𝑃𝐹1|-|𝑃𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|≤2𝑎2𝑐=𝑎𝑐.∵c=2a,∴�

�𝑐=12,∴|𝑃𝐹1|-|𝑃𝐹2||𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|的取值范围是(0,12].16√5(-√52,1)如图,设F'为双曲线C的左焦点,连接PF',QF',则|QF'|=|QF|,|PF|=|PF'|+2,所以△PQF的周长l=|PQ|+|

PF|+|QF|=|PQ|+|PF'|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF'|≥|QF'|=√𝑐2+𝑏2,所以△PQF的周长l≥2√𝑐2+𝑏2+2.因为△PQF的周长的最小值为8,所以2√𝑐2+𝑏2+2=8,又b2+1=c2,所以b=2,c=√5,所以双曲线C的离心率为𝑐𝑎

=√5.当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QF'上,易知直线QF'的方程为y=2√55x+2,由{𝑦=2√55𝑥+2,𝑥2-𝑦24=1,解得{𝑥=-√52,𝑦=1或{𝑥=√5,𝑦=4(舍去).故点P的坐标为-√52,1.17.

解(1)设机器鼠所在位置为点P,由题意可得|𝑃𝐴|𝑣0−|𝑃𝐵|𝑣0=8𝑣0,即|PA|-|PB|=8<10,可得P的轨迹为双曲线的右支,且2c=10,2a=8,即有c=5,a=4,b=3,则P的轨迹方程为𝑥216−𝑦29=1(x≥

4),时刻t0时,|OP|=4,即点P(4,0),可得机器鼠所在位置的坐标为(4,0).(2)设与直线l平行的直线l1的方程为y=x+m,将其代入轨迹方程𝑥216−𝑦29=1(x≥4),可得7x2+32mx+16m2+144=0,当直线

l1和轨迹相切时,Δ=(32m)2-28(16m2+144)=0,解得m=-√7或m=√7(舍去),则l1的方程为y=x-√7,切点即为双曲线右支上距离l最近的点,此时l与l1的距离为d=|-√7|√2=√142,即机器鼠距离l最小的距离为√142>

1.5,故机器鼠保持目前运动轨迹不变,没有“被抓”的风险.18.解(1)∵点A(2,1)在双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2-1=1(a>1)上,∴4𝑎2−1𝑎2-1=1,解得a2=2.∴双曲线的标准方程为𝑥22-y2=1.易知直线l的斜率存在.设直线l的方

程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),由{𝑥2-2𝑦2=2,𝑦=𝑘𝑥+𝑚,得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.∴Δ>0,x1+x2=4𝑘𝑚1-2𝑘2,

x1x2=-2(𝑚2+1)1-2𝑘2.设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ,则kAP+kAQ=𝑦1-1𝑥1-2+𝑦2-1𝑥2-2=0.∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,∴(kx

1+m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2)=0,整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-

1)=0.∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,∴k=-1,即直线l的斜率为-1.(2)由(1)知,直线l的方程为y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m

2+2,则𝑥12+𝑥22=12m2-4,∴|PQ|=√1+𝑘2·√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√2·√16𝑚2-8𝑚2-8=4√𝑚2-1,点A(2,1)到直线l的距离d=|2+1

-𝑚|√2=|3-𝑚|√2.∴△PAQ的面积S△PAQ=12d·|PQ|=√2|3-m|√𝑚2-1.由tan∠PAQ=2√2,得cos∠PAQ=13,sin∠PAQ=2√23.∴S△PAQ=12|PA||QA|sin∠PAQ=√23|PA||QA|,∴13|PA|·|QA|=|3-m|√𝑚

2-1.在△PAQ中,由余弦定理,得cos∠PAQ=|𝑃𝐴|2+|𝑄𝐴|2-|𝑃𝑄|22|𝑃𝐴||𝑄𝐴|=13.∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(x1-2)2+(y1-1)2

+(x2-2)2+(y2-1)2-(x1-x2)2-(y1-y2)2=2m2-12m+18=23|PA||QA|.∴m2-6m+9=|3-m|√𝑚2-1,∴|m-3|=√𝑚2-1或m-3=0,即m=53或m=3(舍去,若m=3,则点A在直线PQ上).∴S△PAQ=√2×43×

43=16√29.19.10218双曲线En:x2-y2=𝑛1020(n∈N*,且n≤1020)的两条渐近线为y=x,y=-x,它们互相垂直.因为直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,所以点An的坐标为(2,√4-𝑛1020),又点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分

别为Bn,Cn,所以不妨令|AnBn|=2-√4-𝑛1020√2,|AnCn|=2+√4-𝑛1020√2,所以an=12|AnBn||AnCn|=𝑛10204=𝑛4080,所以a1+a2+a3+…+a1020=14080+24080+…+10204080=1+10202×10

204080=10218.