【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练31　平面向量基本定理及向量的坐标表示 Word版含解析.docx，共(5)页，102.861 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练31平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b等于()A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)2.若向量

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1),则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)3.(多选)下列各组向量中,不能作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(1,2

),e2=(-2,1)C.e1=(-3,4),e2=(35,-45)D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)4.在▱ABCD中,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,8),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,4),对角线AC与BD相交于点

M,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.(-12,-6)B.(-12,6)C.(12,-6)D.(12,6)5.在△ABC中,点P在BC上,且𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,点Q是AC的中点.若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3),𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5),则

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)6.已知平面直角坐标系中的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围

是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)7.若平面内两个向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,则cos2θ等于()A.12B.1C.-1D.08.已知向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗和𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗在边长为1的正方形网格中的位置如图所示(点A,B,C,D均在格点上).若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则λ+μ等于()A.2B.-2C.3D.-39.已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(4,4

).当P是线段P1P2的一个三等分点时,点P的坐标为()A.(43,2)或(83,3)B.(43,3)C.(2,3)或(43,2)D.(83,3)10.如图,在▱ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=d,则𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=.(用c,d表示)二、综合应用11.在△ABC中,D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,BE交AD于点F,则𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=

()A.-34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.-13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.-23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗12.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=3,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=4,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(λ>0,μ>0),则当λμ

取得最大值时,|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|的值为()A.72B.3C.52D.12513.若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在p=(1

,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)14.已知线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,

1),使|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,则x+y=.15.已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(3,-4),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-3),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是.三、探究创新16.在矩形AB

CD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则λ+μ的最大值为()A.3B.2√2C.√5D.217.如图,将两块斜边相等的直角三角板拼在一起,若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗,则()A.x=1+2√33,y=2√33B.x=2√33,y=1+2√33C.x=2+√3,y=√3D.x=1+√32,y=√32考点规范练31平面向量基本定理及向量的坐标表示1.B因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.所以b=(2,-4

).所以3a+2b=(7,-14).2.B𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1),又𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1),则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗=(1,1),故𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2).3.ACDA,C,D中向量e1与e2共线,不能作为基底;B中e1,e2不共线,故可作为一个基底.4.B因为在▱ABCD中,有𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑀⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=12(-1,12)=(-12,6),故选B.5.B如图,取BP的中点M,由题意知M,P均为边BC的三等分点,连接A

M,则PQ为△AMC的中位线,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=3(2𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=6𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗-3𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(6,30)-(12,9)=(-6,21).6.D因为平面内的任一向量c

都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.7.D因为向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,知2cosθcosθ-1×1=0

,所以2cos2θ-1=0,所以cos2θ=0,故选D.8.A建立平面直角坐标系,如图所示,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-2),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2).因为𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以{2=𝜆+𝜇,-2=2𝜆,解得{𝜆=-1,𝜇=3.所以λ+μ=2.9.A设点P(x,y),则𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y-1

),𝑃𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4-x,4-y),当点P靠近点P1时,𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑃𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则{𝑥=12(4-𝑥),𝑦-1=12(4-𝑦),解得{𝑥=43,𝑦=2,所以点P(43,2).当点P靠近点P2时,𝑃1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃�

�2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则{𝑥=2(4-𝑥),𝑦-1=2(4-𝑦),解得{𝑥=83,𝑦=3,所以点P(83,3).故选A.10.23(2d-c)23(2c-d)设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=12b,𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12a.又{𝑐=𝑏+12𝑎,𝑑=𝑎+12𝑏,所以{𝑎=23(2𝑑-𝑐),𝑏=23(2𝑐-𝑑),即𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=23(2d-c),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23

(2c-d).11.A由题设可得示意图如图所示.设𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R).∵𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗3−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗3-𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2,∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2.由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,得(1-λ)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗3=𝜇(𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2,∴{1-𝜆=𝜇2,𝜆3=𝜇2,解得{𝜆=34,𝜇=12.∴𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.12.C因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,又λ>0,μ>0,所以λ𝜇≤(𝜆+𝜇2)2=14,当且仅当λ=μ=12时,取等号,此时𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即D是线段BC的中点,所以|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=12|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=52.故选C.13.D∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).设a=xm+yn=

(-x+y,x+2y),则{-𝑥+𝑦=2,𝑥+2𝑦=4,解得{𝑥=0,𝑦=2.14.-2或6由已知得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x,-4),2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2(3,1-y)=(6,2-2y).由|𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗|=2|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,可得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=±2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则当𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗时,有{1-𝑥=6,-4=2-2𝑦,解得{𝑥=-5,𝑦=3,此时x+y=-2;当𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗时,有{1-

𝑥=-6,-4=-2+2𝑦,解得{𝑥=7,𝑦=-1,此时x+y=6.综上可知,x+y=-2或6.15.m≠54由题意得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2-m,1-m).若点A,B,C能构成三角形,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗不共线,即-3×(1-

m)≠1×(2-m),解得m≠54.16.A建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设点P(x,y),☉C的半径为r,由|BC||CD|=|BD|r,得r=|𝐵𝐶||𝐶𝐷||𝐵𝐷|=2×1√5=2√55,即圆的方程是(x-

2)2+y2=45.易知𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y-1),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-1),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0).由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,得{𝑥=2𝜇,𝑦-1=-𝜆,所以μ=𝑥2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-

y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-𝑧|√14+1≤2√55,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.17

.D如图,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设B(1,0),则C(0,1),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y),即D(x,y),BC=DE=√2,BD=DE·sin60°=√2×√32=√62,所以x=AB+BDco

s45°=1+√62×√22=1+√32,y=BD·sin45°=√62×√22=√32.