【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.2 椭圆及其标准方程-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(15)页，165.463 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-08d0782978a6b0cbff6eaad1b3e1b4ef.html

以下为本文档部分文字说明：

专题3.2椭圆及其标准方程-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·浙江·高二期末）已知椭圆𝑥225+𝑦2𝑚2=1的右焦点为𝐹1(4,0)，则正数𝑚的值是（）A．3B．4C．9D．21【

解题思路】由𝑎2=𝑏2+𝑐2直接可得.【解答过程】由题知𝑐=4，𝑎2=25所以𝑚2=25−42=9，因为𝑚>0，所以𝑚=3.故选：A.2．（3分）（2021·北京高二期中）设𝑝:𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示的是椭圆；𝑞:𝑚>0,𝑛>0，则p

是𝑞成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【解答过程】若𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示的是椭圆，则𝑚>0,�

�>0且𝑚≠𝑛，即𝑝⇒𝑞成立；反例：当𝑚=𝑛=1时，𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示的是圆，即𝑞⇒𝑝不成立；即p是𝑞成立的充分不必要条件，故选：A.3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知𝐹1、𝐹2是椭圆�

�:𝑥216+𝑦23=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|（）A．有最大值，为16B．有最小值，为16C．有最大值，为4D．有最小值，为4【解题思路】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|有最大值，为16．【解答过程】由题意知，𝑎=4

，则|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=2×4=8．由基本不等式，知|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|≤(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|2)2=(82)2=16，（当且仅当|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐹2|=4时等号成立），所以|𝑃𝐹1|⋅|�

�𝐹2|有最大值，为16．故选：A．4．（3分）（2021·浙江·模拟预测）已知圆𝑂:𝑥2+𝑦2=4，从圆上任意一点𝑀向𝑥轴作垂线段𝑀𝑁，𝑁为垂足，则线段𝑀𝑁的中点𝑃的轨迹方程为（）A．𝑥24+𝑦2=1B．𝑥2+𝑦24=1C．𝑥216+𝑦24=1D

．𝑥24+𝑦216=1【解题思路】利用相关点法即可求解.【解答过程】设线段𝑀𝑁的中点𝑃(𝑥,𝑦)，𝑀(𝑥0,𝑦0)，所以{𝑥=𝑥0𝑦=𝑦0+02，解得{𝑥0=𝑥𝑦0=2𝑦，又点𝑀在圆𝑂:𝑥

2+𝑦2=4上，则𝑥2+(2𝑦)2=4，即𝑥24+𝑦2=1.故选：A.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为𝐹1(−√5,0)，𝐹2(√5,0)，M是椭圆上一点，若𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|=8，则该椭圆的方

程是（）A．𝑥27+𝑦22=1B．𝑥22+𝑦27=1C．𝑥29+𝑦24=1D．𝑥24+𝑦29=1【解题思路】首先设|𝑀𝐹1|=𝑚，|𝑀𝐹2|=𝑛，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求𝑚+𝑛，

即可求得𝑎,𝑏的值.【解答过程】设|𝑀𝐹1|=𝑚，|𝑀𝐹2|=𝑛，因为𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|=8，|𝐹1𝐹2|=2√5，所以𝑚2+𝑛2=20，𝑚𝑛=8，所以(𝑚+𝑛)2=𝑚2+𝑛2+2𝑚𝑛=36，所以𝑚+𝑛=2𝑎

=6，所以𝑎=3．因为𝑐=√5，所以𝑏=√𝑎2−𝑐2=2．所以椭圆的方程是𝑥29+𝑦24=1．故选：C.6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）𝐹是椭圆𝑥29+𝑦25=1的左焦点，𝑃是椭圆上的动点，𝐴(1,1)为定点，则|𝑃𝐴

|+|𝑃𝐹|的最小值是（）A．9−√2B．3+√2C．6−√2D．6+√2【解题思路】根据题意，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.【解答过程】椭圆𝑥29+𝑦25=1的𝑎=3，𝑏=√5，𝑐=2，如图，设椭

圆的右焦点为𝐹′(2,0)，则|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹′|=2𝑎=6；∴|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|=|𝑃𝐴|+6－|𝑃𝐹′|=6+|𝑃𝐴|－|𝑃𝐹′|；由图形知，当𝑃在直线𝐴𝐹′上时，||𝑃𝐴|－|𝑃𝐹′||=|𝐴𝐹′|=√2，当𝑃不在

直线𝐴𝐹′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||𝑃𝐴|－|𝑃𝐹′||<|𝐴𝐹′|=√2，∴当𝑃在𝐹′𝐴的延长线上时，|𝑃𝐴|－|𝑃𝐹′|取得最小值−√2，∴|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值为6−√2．故选：C．7．（3分）（202

2·全国·高二专题练习）已知椭圆𝑥225+𝑦216=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，点𝑃在椭圆上，若|𝑃𝐹1|=6，则△𝑃𝐹1𝐹2的面积为（）A．8B．8√2C．16D．16√2【解题思路】求出

|𝑃𝐹2|，可知△𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形，取𝑃𝐹2的中点𝑀，可得出𝑀𝐹1⊥𝑃𝐹2，利用勾股定理求得|𝑀𝐹1|，利用三角形的面积公式可求得结果.【解答过程】在椭圆𝑥225+𝑦216=1中，𝑎=5，𝑏=4，则𝑐=√𝑎2−𝑏2=3，所以，|𝐹1𝐹2

|=2𝑐=6，由椭圆的定义可得|𝑃𝐹2|=2𝑎−|𝑃𝐹1|=4，取𝑃𝐹2的中点𝑀，因为|𝑃𝐹1|=|𝐹1𝐹2|，则𝑀𝐹1⊥𝑃𝐹2，由勾股定理可得|𝑀𝐹1|=√|𝑃𝐹1|2−|𝑃𝑀|2=√62−22=4√

2，所以，𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|𝑃𝐹2|⋅|𝑀𝐹1|=12×4×4√2=8√2.故选：B.8．（3分）（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，其左､

右焦点分别为𝐹1，𝐹2，离心率为12，点P为该椭圆上一点，且满足∠𝐹1𝑃𝐹2=π3，若△𝐹1𝑃𝐹2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A．𝑥212+𝑦29=1B．𝑥216+𝑦212=1C．𝑥224+𝑦218=1D．𝑥232+𝑦224=1【解题思路】由离心率的值，

可得𝑎,𝑐的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由∠𝐹1𝑃𝐹2=π3及余弦定理可得|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|的值，进而求出△𝐹1𝑃𝐹2的面积，再由𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+|𝐹1

𝐹2|)⋅𝑟，可得𝑎的值，进而求出椭圆的方程．【解答过程】由离心率𝑒=12，得𝑐𝑎=12，即𝑐=12𝑎．因为△𝐹1𝑃𝐹2的内切圆的面积为π，设内切圆的半径为𝑟，所以π𝑟2=π，解得𝑟=1，由椭圆的定义可知|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎，

在△𝐹1𝑃𝐹2中，∠𝐹1𝑃𝐹2=π3，由余弦定理得|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|⋅cos∠𝐹1𝑃𝐹2=|𝐹1𝐹2|2，即|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=|𝐹1𝐹2|

2，∴(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|)2−3|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=|𝐹1𝐹2|2，∴3|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=4𝑎2−4𝑐2=3𝑎2，可得|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=𝑎2，所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12|𝑃𝐹1|

⋅|𝑃𝐹2|⋅sinπ3=√34𝑎2，而𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+|𝐹1𝐹2|)⋅𝑟=12(2𝑎+2𝑐)⋅𝑟=𝑎+𝑐=32𝑎，所以可得√34𝑎2=32�

�，解得𝑎=2√3，𝑐=√3，由𝑎2=𝑏2+𝑐2，得𝑏=3，所以该椭圆的方程为𝑥212+𝑦29=1．故选：A．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭

圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（）A．𝑥28+𝑦24=1B．𝑥23+𝑦25=1C．𝑥26+𝑦23=1D．𝑥26+𝑦29=1【解题思路】根据对偶椭圆的定义求出𝑎,𝑏，再根据关系逐一判断即可.【解答过程

】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，𝑏=𝑐，则𝑎2=𝑏2+𝑐2=2𝑏2，A，𝑎2=8，𝑏2=4，𝑎2=2𝑏2，是对偶椭圆；B，𝑎2=5，𝑏2=3，不满足𝑎2=2𝑏2，不是对偶椭圆；C，𝑎2=6，𝑏2=3，满足𝑎2

=2𝑏2，是对偶椭圆；D，𝑎2=9，𝑏2=6，不满足𝑎2=2𝑏2，不是对偶椭圆．故选：AC.10．（4分）（2022·湖北·高三开学考试）对于曲线𝐶:𝑥24−𝑘+𝑦2𝑘−1=1，下面四个说法正确的是（）A．曲

线𝐶不可能是椭圆B．“1<𝑘<4”是“曲线𝐶是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线𝐶是焦点在𝑦轴上的椭圆”是“3<𝑘<4”的必要不充分条件D．“曲线𝐶是焦点在𝑥轴上的椭圆”是“1<𝑘<2.5”的充要条件【解题

思路】根据曲线𝐶的形状求出参数𝑘的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【解答过程】对于A选项，若曲线𝐶为椭圆，则{4−𝑘>0𝑘−1>04−𝑘≠𝑘−1，解得1<𝑘<4且𝑘≠2.5，A错；对于B选项，因为{𝑘|1<𝑘<4}{𝑘|1<𝑘<2.5

或2.5<𝑘<4}，所以，“1<𝑘<4”是“曲线𝐶是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线𝐶是焦点在𝑦轴上的椭圆，则{𝑘−1>4−𝑘4−𝑘>0，解得2.5<𝑘<4，又因为{𝑘|2.5<𝑘<4}{�

�|3<𝑘<4}，所以，“曲线𝐶是焦点在𝑦轴上的椭圆”是“3<𝑘<4”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线𝐶是焦点在𝑥轴上的椭圆，则{𝑘−1<4−𝑘𝑘−1>0，解得1<𝑘<2.5，所以，“曲

线𝐶是焦点在𝑥轴上的椭圆”是“1<𝑘<2.5”的充要条件，D对.故选：CD.11．（4分）（2022·江苏·高二）已知𝑃是左右焦点分别为𝐹1，𝐹2的𝑥212+𝑦24=1上的动点，𝑀(0,3)，下列说法正确的有（）A．

|𝑀𝑃|的最大值为5B．|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=4√3C．存在点𝑃，使∠𝐹1𝑃𝐹2=120°D．|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|的最大值为4√2【解题思路】设𝑃(𝑥0,𝑦0)，则𝑥02=12−3𝑦02，进而根据两

点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据𝑃为短轴端点时，∠𝐹1𝑃𝐹2<120°判断C；根据𝐹1，𝐹2，𝑃三点共线时，|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|有最大值4√2判断D.【解答过程】解：对于A选项，设�

�(𝑥0,𝑦0)，则𝑥0212+𝑦024=1，即𝑥02=12−3𝑦02，所以|𝑀𝑃|=√𝑥0⬚2+(𝑦0−3)2=√𝑥0⬚2+𝑦0⬚2−6𝑦0+9=√12−3𝑦0⬚2+𝑦0⬚2−6𝑦0+9=√−2𝑦0⬚2−6�

�0+21，又−2≤𝑦0≤2，所以当𝑦0=−32时，|𝑀𝑃|max=√1022，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=4√3，故B正确对于C选项，当𝑃为短轴端点时，|𝑃𝑂|=2，|𝑂

𝐹2|=2√2，tan∠𝑂𝑃𝐹2=√2<√3，故∠𝑂𝑃𝐹2<60°，进而∠𝐹1𝑃𝐹2<120°，故C错误，对于D选项，|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|≤|𝐹1𝐹2|=4√2，当𝐹1，𝐹2，𝑃三点共线时，|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|有最大值4√2，故D正确.故选：BD.

12．（4分）（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆𝐶：𝑥225+𝑦29=1，𝐹1，𝐹2分别为它的左右焦点，𝐴，𝐵分别为它的左右顶点，点𝑃是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．存在P使得∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋2B

．cos∠𝐹1𝑃𝐹2的最小值为−725C．𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，则△𝐹1𝑃𝐹2的面积为9D．直线𝑃𝐴与直线𝑃𝐵斜率乘积为定值925【解题思路】设椭圆𝐶短轴顶点为𝐷,𝐸根据𝐷𝐹1

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐷𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑<0得∠𝐹1𝑃𝐹2的最大角为钝角即可判断A；记|𝑃𝐹1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑛，则𝑚+𝑛=10，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得𝑚𝑛=12[(𝑚+𝑛)2−(𝑚2+𝑛2)]=18，进而计算

面积判断C；设𝑃(𝑥,𝑦)(𝑥≠±5)，直接求解𝑘𝑃𝐴⋅𝑘𝑃𝐵即可判断D.【解答过程】解：设椭圆𝐶短轴顶点为𝐷,𝐸，由题知椭圆𝐶：𝑥225+𝑦29=1中，𝑎=5,𝑏=3,𝑐=4，所以，𝐹1(−4,0)，�

�2(4,0)，𝐴(−5,0),𝐵(5,0)，𝐷(0,3),𝐸(0,−3)，对于A选项，由于𝐷𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−4,−3),𝐷𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4,−3)，𝐷𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐷𝐹2

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−16+9=−7<0，所以∠𝐹1𝑃𝐹2的最大角为钝角，故存在P使得∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋2，正确；对于B选项，记|𝑃𝐹1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑛，则𝑚+𝑛=10，由余弦定理：cos∠𝐹1𝑃𝐹2=𝑚2+𝑛2−642𝑚𝑛=(𝑚+𝑛

)2−2𝑚𝑛−642𝑚𝑛=36−2𝑚𝑛2𝑚𝑛=18𝑚𝑛−1≥18(𝑚+𝑛2)2−1=−725，当且仅当|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐹2|时取“=”，B正确；对于C选项，由于𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，故{𝑚+𝑛=10𝑚2+𝑛2=64⇒𝑚𝑛=12[

(𝑚+𝑛)2−(𝑚2+𝑛2)]=18，所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12𝑚𝑛=9，C正确；对于D选项，设𝑃(𝑥,𝑦)(𝑥≠±5),𝐴(−5,0),𝐵(5,0)，则𝑥225+𝑦29=1，𝑘�

�𝐴=𝑦𝑥+5,𝑘𝑃𝐵=𝑦𝑥−5，于是𝑘𝑃𝐴⋅𝑘𝑃𝐵=𝑦𝑥+5⋅𝑦𝑥−5=𝑦2𝑥2−25=9(1−𝑥225)𝑥2−25=−925,故错误.故选：ABC.三．填空题（共4小

题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式√𝑥2+(𝑦+3)2+√𝑥2+(𝑦−3)2=4√3，那么点M的轨迹是椭圆．【解题思路】根据两点间距

离公式，即可判断点𝑀轨迹满足椭圆的定义.【解答过程】√𝑥2+(𝑦+3)2+√𝑥2+(𝑦−3)2=4√3可看作M（x，y）到(0，3)，(0，−3)的距离之和为4√3，由于4√3>6,所以点M的轨迹是以(0，3)，(0，−3)为焦点，长轴

长为4√3的椭圆.故答案为：椭圆.14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆𝑥24+𝑦2=1的左焦点𝐹1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，𝐹2是椭圆的右焦点，则△𝐴𝐹2𝐵的周长为8．【解题思路】利用椭圆的定义，即可求解周长.【解答过程】由椭

圆𝑥24+𝑦2=1，可得a＝2．由椭圆的定义可得|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|=|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎=4．所以△𝐴𝐵𝐹2的周长=|𝐴𝐵|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=|𝐴𝐹1|+|�

�𝐹1|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=4𝑎=8．故答案为：8.15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知𝐴(1,√3)，F是椭圆C：𝑥29+𝑦25=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值为4.【解题思路】

根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.【解答过程】设椭圆C的右焦点为𝐹′，依题意，𝐹′(2,0)，由椭圆的定义得：|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹′|=6，而||𝑃𝐴|−|𝑃𝐹′||≤|𝐴𝐹′|=√(2−1)2+(√3)2=2，即−2≤|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹′|≤2，有|𝑃𝐹′

|−2≤|𝑃𝐴|≤2+|𝑃𝐹′|，因此，|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|≥|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹′|−2=4，当且仅当点P是线段𝐹′𝐴的延长与椭圆C的交点时取“=”，所以|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值为4.故答案为：4.16．

（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，𝐹(−2√5,0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足𝑂𝑃=𝑂𝐹，𝑃𝐹=4，则椭圆C的标准方程为𝑥236+𝑦216=1．【解题思路】引入右焦点为

𝐹′，根据平面几何性质得𝑃𝐹⊥𝑃𝐹′，由勾股定理求得|𝑃𝐹′|，由椭圆定义求得𝑎，再求得𝑏即可得椭圆标准方程．【解答过程】设椭圆C的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎>𝑏>0），右焦点为

𝐹′，连接𝑃𝐹′．由已知，得𝑐=2√5．又𝑂𝑃=𝑂𝐹=𝑂𝐹′，所以∠𝐹𝑃𝐹′=90°．在Rt△𝐹𝑃𝐹′中，𝑃𝐹′=√𝐹′𝐹2−𝑃𝐹2=√(4√5)2−42=8．由椭圆

的定义，可知2𝑎=𝑃𝐹+𝑃𝐹′=4+8=12，所以𝑎=6，所以𝑏2=𝑎2−𝑐2=62−(2√5)2=16，故椭圆C的标准方程为𝑥236+𝑦216=1．故答案为：𝑥236+𝑦216=1．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知点

P是椭圆𝑥2100+𝑦236=1上一点，它到椭圆的左焦点𝐹1的距离是它到右焦点𝐹2的距离的3倍，求点P的坐标．【解题思路】由椭圆定义求得|𝑃𝐹1|，|𝑃𝐹2|，利用𝑃分别在以𝐹1、𝐹2为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立

可求得𝑃点坐标．【解答过程】解：由已知𝑎=10,𝑏=6，𝑐=√100−36=8，𝐹1(−8,0)，𝐹2(8,0)，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=20，而|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，所以|𝑃𝐹1|=15，|𝑃𝐹2|=5，因此

点P在分别以𝐹1、𝐹2为圆心，半径为15、5的圆上，因此{(𝑥+8)2+𝑦2=225(𝑥−8)2+𝑦2=25，解得{𝑥=254𝑦=±3√394，所以点P的坐标为(254,±3√394)．18．（6分）（20

22·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点𝑄(2√2,1)，且与椭圆𝑥29+𝑦⬚24=1有公共的焦点；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点𝑃(13,13)，𝑄(0,−12)．【解题思路】（1）法一：设椭圆的

标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，根据与椭圆𝑥29+𝑦⬚24=1有公共的焦点得到c，再将点𝑄(2√2,1)代入求解；同理设椭圆方程为𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1（𝑎>𝑏>0）求解；法二：设椭圆的方程为𝑥29+𝜆+𝑦24+𝜆=1(𝜆>−4)，再将点�

�(2√2,1)代入求解；（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1（𝑎1>𝑏1>0），将点的坐标代入求解；同理．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程𝑥2𝑎22+𝑦2𝑏22=1（𝑎2>𝑏2>0），将点的坐标代入求解；方

法二设椭圆的方程为𝑚𝑥2+𝑦2=1（𝑚>0，𝑛>0，𝑚≠𝑛），将点的坐标代入求解．【解答过程】（1）解：方法一：设所求椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎>𝑏>0）由𝑥29+𝑦24=1，得𝑐2=5，即𝑎2−𝑏2=5．

①又点𝑄(2√2,1)在所求椭圆上，所以8𝑎2+1𝑏2=1，②由①②得𝑎2=10，𝑏2=5，即所求椭圆的标准方程是𝑥210+𝑦25=1．方法二：设所求椭圆的方程为𝑥29+𝜆+𝑦24+𝜆=1(𝜆>−4)．

因为点𝑄(2√2,1)在所求椭圆上，所以89+𝜆+14+𝜆=1，解得𝜆=1，所以所求椭圆的标准方程为𝑥210+𝑦25=1．（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1（𝑎1>𝑏1>0）．依题意

有{(13)2𝑎12+(13)2𝑏12=10+(−12)2𝑏12=1，得{𝑎12=15𝑏12=14．由𝑎1>𝑏1>0知，不符合题意，故舍去．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程𝑥2𝑎22+

𝑦2𝑏22=1（𝑎2>𝑏2>0）．依题意有{(13)2𝑎22+(13)2𝑏22=1(−12)2𝑎22+0=1，得{𝑎22=14𝑏22=15．所以所求椭圆的标准方程为𝑦214+𝑥215=1．方法二

：设椭圆的方程为𝑚𝑥2+𝑦2=1（𝑚>0，𝑛>0，𝑚≠𝑛）．依题意有{19𝑚+19𝑛=114𝑛=1，解得{𝑚=5𝑛=4．所以所求椭圆的方程为5𝑥2+4𝑦2=1，故椭圆的标准方程为𝑦214+𝑥215=1．19．

（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知P是椭圆𝑥225+𝑦29=1上的一点，𝐹1、𝐹2为椭圆的两个焦点．(1)若∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，求△𝑃𝐹1𝐹2的面积；(2)求|𝑃𝐹1|⋅|�

�𝐹2|的最大值．【解题思路】（1）根据椭圆的定义以及𝑎,𝑏,𝑐的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.【解答过程】（1）在椭圆𝑥225+𝑦29=1中，a＝5，b＝3，则𝑐=√25−9=4．则|

𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=10，2c＝8，在Rt△𝐹1𝑃𝐹2中，|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2，即有(|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|)2−2|𝑃𝐹1|⋅|�

�𝐹2|=|𝐹1𝐹2|2，即100−2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=64，所以|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=18，则△𝐹1𝑃𝐹2的面积为12|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=12×18=9．（2）设|𝑃𝐹1|=𝑚，|𝑃𝐹2|=𝑛，则m＋n

＝10，所以10≥2√𝑚𝑛，即𝑚𝑛≤25，当且仅当m＝n＝5时取等号．所以|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|的最大值为25．20．（8分）（2021·吉林·高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知𝐹1(−2,0)，𝐹2(2,0)

是椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)两个焦点，点P在椭圆上，且△𝐹1𝑃𝐹2的周长为10.（1）求椭圆C的方程；（2）若△𝐹1𝑃𝐹2的面积等于2，求点P的坐标【解题思

路】（1）由条件可得𝑐=2，2𝑎+2𝑐=10，即可得出答案.（2）设𝑃(𝑚,𝑛)，由三角形𝐹1𝑃𝐹2的面积可求出𝑛=±1，代入椭圆方程可答案.【解答过程】由已知得𝑐=2，由△𝐹1𝑃𝐹2的周长为10，即|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+|𝐹1𝐹2|=10,可得2𝑎

+2𝑐=10，所以𝑎=3，𝑏=√𝑎2−𝑐2=√5所以此椭圆的方程为𝑥29+𝑦25=1.（2）设𝑃(𝑚,𝑛)，由𝑆△𝐹𝐹𝑃𝐹2=12⋅|𝐹1𝐹2|⋅|𝑛|=2|𝑛|

=2，得𝑛=±1，将𝑛=±1代入椭圆方程得：𝑚29+15=1，即𝑚=±6√55.所以𝑃(±6√55,±1).21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知两点𝐹1(−2,0)、𝐹2(2,0)，曲线C上的动点P满足|𝑃�

�1|+|𝑃𝐹2|=√2|𝐹1𝐹2|．(1)求曲线C的方程；(2)曲线C上是否存在点M使𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解题思路】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点𝑀(𝑥0,𝑦0)，代入

椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.【解答过程】（1）由题意可知，|𝐹1𝐹2|=4，从而|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=√2|𝐹1𝐹2|=4√2>|�

�1𝐹2|，由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，设曲线C的轨迹方程为：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，(𝑎>𝑏>0)，且焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐=4，即𝑐=2，因为2𝑎=4√2，即𝑎

=2√2，所以𝑏=√𝑎2−𝑐2=2，故曲线C的方程为：𝑥28+𝑦24=1.（2）假设曲线C上存在这样的点𝑀(𝑥0,𝑦0)，即𝑥0⬚28+𝑦0⬚24=1①，因为𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，所以𝑀𝐹1→⋅𝑀𝐹2→

=(−2−𝑥0,−𝑦0)⋅(2−𝑥0,−𝑦0)=0，即𝑥0⬚2+𝑦0⬚2=4②，联立①②得，𝑥0=0，𝑦0=±2，从而𝑀坐标为(0,2)或(0,−2).故曲线C上存在点M使𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，且𝑀坐标为(0,2)或

(0,−2).22．（8分）（2021·江西·高二阶段练习）设椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左右焦点分别为𝐹1,𝐹2，𝑃是𝐶上的动点，直线𝑦=𝑥−√3经过椭圆的

一个焦点，△𝑃𝐹1𝐹2的周长为4+2√3.（1）求椭圆的标准方程；（2）𝑀为椭圆上一点，求|𝑀𝐹2|的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.【解题思路】（1）由题中已知条件求出椭圆中的𝑎,𝑏,𝑐即可得到椭圆的标准方程；（2）设𝑀(𝑚,𝑛)，则𝑚24+𝑛2=1，−2≤𝑚

≤2,−1≤𝑛≤1，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到|𝑀𝐹2|2=34𝑚2−2√3𝑚+4，根据二次函数知识知当𝑚=2时求得最小值，当𝑚=−2时求得最大值.【解答过程】（1）因为椭圆𝐶:𝑥2

𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，所以此椭圆的焦点在𝑥轴上，因为直线𝑦=𝑥−√3经过椭圆的一个焦点，所以令𝑦=0，则𝑥=√3，即半焦距𝑐=√3，所以𝑐2=3，因为△𝑃𝐹1𝐹2的周长为

4+2√3，所以|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+|𝐹1𝐹2|=2𝑎+2𝑐=4+2√3，所以𝑎=2，即𝑎2=4，所以𝑏2=𝑎2−𝑐2=1，所以椭圆𝐶的标准方程为𝑥24+𝑦2=1.（2）由

已知得𝐹2(√3,0)，设𝑀(𝑚,𝑛)，则𝑚24+𝑛2=1，−2≤𝑚≤2,−1≤𝑛≤1.所以|𝑀𝐹2|2=(𝑚−√3)2+𝑛2，代入𝑛2=1−𝑚24，得|𝑀𝐹2|2=(𝑚−√3)2+1−𝑚24=34𝑚2−2√

3𝑚+4，对称轴为𝑚=−2√3−2×34=4√33，又由于−2≤𝑚≤2，所以当𝑚=2时，|𝑀𝐹2|2⬚min=3−4√3+4=7−4√3，此时|𝑀𝐹2|min=√7−4√3=2−√3，当𝑚=−2时，|𝑀𝐹2|2⬚max=3+4√3+4=7+4√3，此时|

𝑀𝐹2|max=√7+4√3=2+√3，所以|𝑀𝐹2|的最小值为2−√3，最大值为2+√3.