【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(6)页，264.711 KB，由小赞的店铺上传

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专题1.3空间向量的数量积运算-重难点题型精讲1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤

π.特别地，当〈a，b〉＝π2时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量

与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此

可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉b|b|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(

2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到A′B′———→，向量A′B′———→称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′———→的夹角就是向

量a所在直线与平面β所成的角．【题型1数量积的计算】求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入

求解．【例1】（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则𝐴𝐹→⋅𝐶𝐸→=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式1-1】（2021秋•沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD

的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则𝐺𝐸→•𝐺𝐹→的值为（）A．√2𝑎28B．𝑎28C．√2𝑎24D．𝑎24【变式1-2】（2021秋•南海区校级月考）在棱

长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐷→=𝑏→，𝐴𝐴1→=𝑐→，则𝑎→⋅(𝑏→+𝑐→)的值为（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【变式1-3】（2022春•南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上

运动，则𝑃𝑀→⋅𝑃𝑁→的最大值为（）A．4B．12C．8D．6【题型2向量的夹角及其应用】求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．【例2】（2021秋•定远县期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，设𝐴𝐵→=𝑎→，�

�𝐷→=𝑏→，𝐴𝐴′→=𝑐→，则＜𝐴′𝐵→，𝐵′𝐷′→＞等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【变式2-1】（2021秋•吉安期末）已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若|𝑂𝐵→|＝|𝑂𝐶→|，且cos＜𝑂𝐴→，𝑂𝐵→＞=cos＜𝑂𝐴→，𝑂

𝐶→＞，则sin＜𝑂𝐴→，𝐵𝐶→＞的值为（）A．1B．12C．√32D．√22【变式2-2】（2020秋•洪泽县校级期末）空间四边形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐶=𝜋3，则cos

＜𝑂𝐴→，𝐵𝐶→＞的值是．【变式2-3】（2021秋•玉林期末）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若𝐴𝐵→⋅𝐴𝐸→+𝐴𝐶→⋅𝐴𝐹→=7，则𝐸𝐹→与𝐵𝐶→的夹角的余弦值等于．【题型3利用数量积求向量的模】

求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用＝，计算出，即得所求长度(距离)．【例3】（2020秋•秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1

B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（）A．3B．√3C．6D．√6【变式3-1】（2022春•宝山区校级期中）如图，在大小为45°的二面角A﹣

EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．√3B．√2C．1D．√3−√2【变式3-2】（2021秋•郑州期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D

1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（）A．3B．√3C．6D．√6【变式3-3】如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且＜𝑂2𝑀

→，𝑂1𝑁→＞=120°，则|𝑀𝑁→|等于（）A．√65B．5√2C．√35D．5【题型4向量垂直的应用】【例4】（2021秋•大连月考）已知a，b是异面直线，𝑒1→，𝑒2→分别为取自直线a，b上的单位向量，且𝑎→=2𝑒1→+3𝑒2→，𝑏→=k𝑒1→−4𝑒2→，𝑎→

⊥𝑏→，则实数k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【变式4-1】（2022•浦东新区校级模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．𝐴𝐷1→⋅𝐵1𝐶→B．𝐵𝐷1→⋅𝐴𝐶

→C．𝐴𝐵→⋅𝐴𝐷1→D．𝐵𝐷1→⋅𝐵𝐶→【变式4-2】若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足𝐴𝐵→•𝐴𝐶→=𝐴𝐶→•𝐴𝐷→=𝐴𝐵→•𝐴𝐷→=0，则△BCD是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定【变式4-3】（2021秋•

扶余县校级期中）如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（）A．𝑃𝐶→与𝐵𝐷→B．𝐷𝐴→与𝑃𝐵→C．𝑃𝐷→与𝐴𝐵→D．𝑃𝐴→与𝐶𝐷→