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专练8函数的奇偶性与周期性授课提示：对应学生用书15页[基础强化]一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是()A．y＝x2B．y＝－x3C．y＝－lg|x|D．y＝2x答案：C2．设函

数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．f(x)|g(x)|是奇函数C．|f(x)|g(x)是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案：B3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，

＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝()A．3B．13C．－13D．－3答案：D解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝()A

．－12B．－14C．14D．12答案：A解析：∵f(x)为奇函数且周期为2，∴f－52＝－f52＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.5．[2024·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝3

x，则()A．f(－1)＝f(2)B．f(－1)＝f(4)C．f－32>f53D．f－32＝f(4)答案：C解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1

，f－32＝f12＝3，f53＝f－13＝f13＝33，∴f－32>f53.6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2016)＋f(2017)＝()A．－2B．－1C．0D．1答案

：D解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以8为周期的周期函数，∵f(0)＝0，∴f(2016)＝f(

0)＝0，f(2017)＝f(1)＝1，∴f(2016)＋f(2017)＝0＋1＝1.7．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝xexeax－1是偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2答案：D解析：方法一f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(

－x)，即xexeax－1＝－xe－xe－ax－1，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.方法二f(x)＝xexeax－1＝xe（a－1）x－e－x，f(x)是偶函数

，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.8．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则()A．f(0

)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点答案：ABC解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x

)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是

函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，选ABC.9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)答案：A解析：∵f(x)是周期为3的偶函数，∴f(5)

＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝2a－3a＋1，又f(1)<1，∴2a－3a＋1<1，得－1<a<4.二、填空题10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．答案：1解析：因为f()x＝x3()a·2x－2－x，故f()－x＝－

x3()a·2－x－2x，因为f()x为偶函数，故f()－x＝f()x，即x3()a·2x－2－x＝－x3()a·2－x－2x，整理得到()a－1()2x＋2－x＝0，故a＝1.11．[2023·全国甲卷

(理)]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋π2)为偶函数，则a＝________．答案：2解析：方法一因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin－x＋π2＝(x－

1)2＋ax＋sinx＋π2，得a＝2.方法二因为f(x)为偶函数，所以f－π2＝fπ2，即－π2－12－π2a＝π2－12＋π2a，得a＝2.12．若f()x＝lna＋11－x＋b是奇函数，则a＝________，

b＝________．答案：－12ln2解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．因为f(x)为奇函数，所以f（0）＝0，f（2）＋f（－2）＝0，即ln|a＋1|＋b＝0

①，ln|a－1|＋lna＋13＋2b＝0②.由①可得－b＝ln|a＋1|③.将③代入②可得，（a－1）（a＋13）＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋13)＝(a＋1)2时，解得a＝－12.把a＝－

12代入①，可得b＝ln2，此时f(x)＝ln－12＋11－x＋ln2＝ln1＋x1－x，所以f(－x)＋f(x)＝ln1－x1＋x＋ln1＋x1－x＝l

n1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋13)＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋23a＋13＝0，此时Δ＝49－4×13<0，所以a无解．综上可得，a＝－12，b＝ln2.[能力提升]13．[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x

＋a)ln2x－12x＋1为偶函数，则a＝()A．－1B．0C．12D．1答案：B解析：方法一设g(x)＝ln2x－12x＋1，易知g(x)的定义域为－∞，－12∪12，＋∞，且g(－x)＝ln－2x－1－2x＋1＝ln2x＋12x－1＝－ln2x－12x＋1＝

－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln2x－12x＋1为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.方法二因为f(x)＝(x＋a)ln2x－12x＋1为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln3，f(1)＝(a＋1)ln13＝－(a＋1)ln3，所以(a－1)ln3＝

－(a＋1)ln3，解得a＝0，故选B.14．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则k＝122f(k)＝()A．－21B．－22C．

－23D．－24答案：D解析：若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2

)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图象关于点(－1

，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为

f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以k＝122f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.15．[2024·惠州一中测试]已知函数y＝f

(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1<x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，

c＝f(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a<b<cB．b<a<cC．a<c<bD．c<b<a答案：B解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)

＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7).因为函数f(x

)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c，故选B.16．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f32－2x，g(2＋x)均为偶函数，则(

)A．f(0)＝0B．g－12＝0C．f(－1)＝f(4)D．g(－1)＝g(2)答案：BC解析：因为f(32－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(32－2x)＝f(32＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝32－2x，则x＝34－t2，所以f(t)＝

f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(32，0)对称，即g(32)＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×

(2－32)＝2，所以g(32)＝g(－12)＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，C2)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝32

对称，所以f(x)的周期为4×(2－32)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图象不关于直线x＝12对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝C2，所以当C

＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.