【文档说明】湖南省长沙市明德中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，968.205 KB，由小赞的店铺上传

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明德中学2022年高一年级下学期期中考试数学试卷2022年5月第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{0,2}A=，{2,1,0,1,2}B=−−，则AB=（）A.{0,2}B

.{1,2}C.{0}D.{2,1,0,1,2}−−【答案】A【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】根据集合交集中元素的特征，可得{0,2}AB=，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．2.已知

命题:0px，20x−，则p是（）.A.0x，20x−≤B.0x，20x−≤C.0x，20x−≤D.0x，20x−【答案】A【解析】【分析】利用全称命题与特称命题的否定关系，直接

写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0px…，20x−，则命题p的否定形式是:0px…，20x−„．故选：A．3.如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在

直线与桌面所成的角等于（）A.150B.135C.90D.60【答案】C【解析】【分析】结合线面垂直的判定定理确定正确答案.【详解】依题意可知,,ADBDADCDBDCDD⊥⊥=，所以AD⊥平面，所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于90.故选

：C4.下列函数中是增函数的为（）A.()fxx=−B.()23xfx=C.()2fxx=D.()3fxx=【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，()fxx=−为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，()23xfx=为

R上的减函数，不合题意，舍.对于C，()2fxx=在(),0−为减函数，不合题意，舍.对于D，()3fxx=为R上增函数，符合题意，故选：D.5.若2cos3=，则cos2=（）A.89B.19−C.19D.89−【答案】B的的【解析】

【分析】直接利用二倍角公式计算可得；【详解】解：因为2cos3=，所以2221cos22cos12139=−=−=−；故选：B6.已知(1,2)A，(5,4)B，(,3)Cx，(3,)Dy−，且

ABCD=，则,xy的值分别为A.7,5−−B.7,5−C.7,5−D.7,5【答案】C【解析】【详解】试题分析：()42AB=，,()3,3CDxy=−−−，，解得：，故选C.7.在ABC中，已知120

B=，19AC=，2AB=，则BC=（）A.1B.2C.5D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,ABcACbBCa===，结合余弦定理：2222cosba

cacB=+−可得：21942cos120aac=+−，即：22150aa+−=，解得：3a=（5a=−舍去），故3BC=.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)

已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．8.若242log42logabab+=+，则（）A.2abB.2abC.2abD.2ab【答案】B【解析】【分析】设2()2logxfxx=+，利用作差法结

合()fx的单调性即可得到答案.【详解】设2()2logxfxx=+，则()fx为增函数，因为22422log42log2logabbabb+=+=+所以()(2)fafb−=2222log(2log2)abab+−+=22

222log(2log2)bbbb+−+21log102==−，所以()(2)fafb，所以2ab.2()()fafb−=22222log(2log)abab+−+=222222log(2log)bb

bb+−+=22222logbbb−−，当1b=时，2()()20fafb−=，此时2()()fafb，有2ab当2b=时，2()()10fafb−=−，此时2()()fafb，有2ab，所以C、D错误.故选：B.【点晴】本题主要

考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.

//,abba⊥⊥B.,//aabb⊥⊥C.,//abab⊥⊥D.//,abab⊥⊥【答案】AB【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系、线面垂直的判定定理和性质定理判断．【详解】由

线面垂直的判定定理可得A正确，由线面垂直的性质定理可得B正确，,⊥⊥aab，可能有b，C错误，//,aab^时可能有b，//b，b与相交（可能垂直），D错误，故选：AB．10.已知函数

1π()sin+212fxx=，则下列说法正确的有（）．A.()fx的周期为2πB.()fx在ππ,22−单调递增；C.()fx的一个对称中心是11π,06D.()fx的一条对称轴的方程为7π6x=−．【

答案】BCD【解析】【分析】根据函数()()sin+fxAx=的性质结合周期公式逆推即可求解.【详解】对于A，()fx的周期为2π2π4π12T===，故A不正确；对于B，由ππ22x−，得π1ππ+62123x−，从而当π1ππ+6

2123x−即ππ22x−时，()fx单调递增；故B正确；对于C，11π111ππ()sin+sinπ=062612f==，所以()fx的一个对称中心是11π,06，故C正确；对于D，7π17ππππ()sin+sin=sin16261222f

−=−=−−=−，所以()fx的一条对称轴的方程为7π6x=−，故D正确.故选：BCD.11.已知复数12zi=−（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A.z在复平面上对应点在第四象限B.|z|5=C.12iz−+是纯虚数D.2zzz=【答案】AB【解析】【

分析】根据复数的几何意义，判断A;求得复数的模，判断B;计算12iz−+，根据其结果，判断C;计算2,zzz，根据二者的结果，判断D.【详解】z上在复平面上对应点的坐标为(1,2)−，在第四象限，故A正确；复数12zi=−，则22||1(2)5z=+−=，故B正确；12

i12i12i0z−+=−−+=，是实数，故C错误；2(12i)(12i)5,34izzzzz=−+==−−，故D错误．故选：AB12.已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（）A.若OAOBOC==，则O是△ABC的外心B.若PAPBPBPCPCP

A==，则P是△ABC的垂心C.若0NANBNC++=，则N是△ABC的重心D.若0CBIAACIBBAIC===，则I是△ABC的垂心【答案】ABCD【解析】【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心定义，结合平面向量的运算即可求得答案.【

详解】对A，根据外心的定义，易知A正确；对B，()0PBPAPCPBCAPBCA−==⊥uuruuruuuruuruur，同理可得：,PACBPCAB⊥⊥，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意2N

ANBNDNC+==−uuruuuruuuruuur，则||2||NCND=，同理可得：||2||,||2||NANENBNF==，则N是重心，故C正确；对D，由题意，,,CBIAACIBBAIC⊥⊥⊥，则I是垂心，故D正确故选：ABCD.第Ⅱ卷（非选择题共90分

）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.tan225=___________.【答案】1【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得tan225

tan(18045)tan451=+==.的故答案为：1.14.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.【答案】22【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面

展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】由题意，设母线长为l，∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有22l=，解得22l=，∴该圆雉的母线长为22.故答案为：22.15.已知非零向量a，b满足2ab=，且()abb−⊥

，则a与b的夹角为________【答案】π3【解析】【分析】由向量垂直数量积等于0可得22abbb==，再由平面向量夹角公式结合角的范围即可求解.【详解】因为()abb−⊥，所以()20abbabb−=−=，所以22abbb==，设a与b的夹角为，所以cos

=22122bababb==，因为0π，所以π3=，所以a与b的夹角为π3，故答案为:π3．16.已知函数()221,1,1xxfxxx−=，则不等式()()22333fxxfx++−的x的解集是________．【答案】322xx

−【解析】【分析】由函数的解析式或图象可得函数单调递增，不等式转化为22333xxx++−，进而求解出结果.【详解】画出函数()fx的图象如图所示：所以函数()fx在(),−+上为增函数，由()()22333fxxfx++−得22333xxx++−，即

2260xx−−，解得322x−.故答案为：322xx−.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17.已知复数22(1)i()zmmmm=+−+−

R，其中i为虚数单位．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若m＝2，设ii(,)izababz+=+−R，试求a＋b的值．【答案】（1）2−（2）75【解析】【分析】（1）由实部等于0得到实数m的值；（2）把复数iizz+−整理成iab+的形式，

根据复数相等的条件得到ab、的值进而求出ab+．【小问1详解】由题意可得：220mm+−=，且10m−，2m=−；【小问2详解】若m＝2，则4iz=+，所以2i42i2i(2i)34iii42i2i(2i)(2i)5zabz+++++=====+−−−−+，35a=，45b=，75ab+

=.18.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：（1）平面AB1D1//平面C1BD；（2）求直线D1A与BA1所成角．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）在

正方体1111ABCDABCD−中，分别证明11//BD平面1CBD，1//AD平面1CBD，由面面平行的判定定理可证.（2）异面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解.【小问1详解】证：在正方体1111A

BCDABCD−中，11//DDBB，且11DDBB=，所以四边形11BDDB为平行四边形，则11//BDBD，同理11//ADBC.BD平面1CBD，11BD平面1CBD；所以11//BD平面1CBD，同理1//AD平面1CBD，且1111BDADD=，所以平面11//ABD平面1CBD

.【小问2详解】∵11//ADCB，∴11CBA是直线1DA与1BA所成角，∵1111BAACBC==，∴113CBA=，∴直线1DA与1BA所成角为3．19.已知函数()218=++fxaxbx，()0fx的解集

为()3,2−．（1）求()fx的解析式；（2）当0x时，求()21fxyx−=的最大值．【答案】（1）()23318fxxx=−−+（2）9−【解析】【分析】（1）依题意3−，2为方程2180axbx++

=的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得a、b，即可求出求出函数解析式；（2）由（1）可得133yxx=−+−，利用基本不等式求出函数的最大值；小问1详解】解：因为函数()218=++fxaxbx，()0fx的解集为()3,2−，那么方程2180axbx++=的两个根是3−，2，且a

<0，由韦达定理有321318332baaba−+=−=−=−=−−=所以()23318fxxx=−−+．【小问2详解】解：()221333133fxxxyxxxx−−−−===−+−，由0x，所以1122xxxx+=，当且仅

当1xx=，即1x=时取等号，所以1339xx−+−−，当1x=时取等号，∴当1x=时，max9y=−．20.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥D

A．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA．①求三棱锥Q−ABP的体积；【②求二面角Q−AP−C的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①1

；②66.【解析】【分析】（1）证明ABAC⊥，结合ABDA⊥，证明AB⊥平面ACD，然后证明平面ACD⊥平面ABC；（2）①由（1）及已知条件可确定QE⊥平面ABC，三棱锥Q−ABP的体积可通过锥体体积公式计算；②通过二面角的定义，找到二面角Q−AP−C的平面角∠EHQ，利

用余弦定理解得EH，QH，进而确定二面角大小.【小问1详解】由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC又∵BA⊥AD，且ACAD=A，所以AB⊥平面ACD．又∵AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．【小问2详解】①由已知可得，DC=CM=AB=A

C=3，DA=32，BP=DQ=23DA，所以BP=22．作QE⊥AC，垂足为E，则∥QEDC，QE=13DC=13AB=1，由已知及（1）可知，DC⊥CA，DC⊥BA，CABA=A，∴DC⊥平面ABC，所以

QE⊥平面ABC．因此，三棱锥Q−ABP的体积为111sin332△−==QABPABPVQESQEABBPABP111322sin45132==．②作EH⊥AP交AP于H，连QH，由QE⊥平面ABC，得QE⊥AP，EHQE=E，∴AP⊥平面

QEH，∴AP⊥QH，∠EHQ为二面角Q−AP−C的平面角在△ABP中由余弦定理，求得22o22cos4598232252=+−=+−=APABBPABBP，由DA=BC=32，BP=22，所以PC=2，又∵A

C=3在△ACP中由余弦定理，22295225cos25235+−+−===ACAPPCCAPACAP，25sin1cos5=−=CAPCAP，又∵AE=13AC=1，∴5sin5==EHAECAP，又∵QE=1，∴22305=+=QHEHQE，∴6cos6==

EHQHEQH．21.已知向量33cos,sin,cos,sin2222xxxxab==−，函数()1fxabmab=−++，,34x−，mR．（1）当m=0时，求6f

的值；（2）若()fx的最小值为1−，求实数m的值．【答案】（1）32（2）2m=【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及两角和的余弦定理得到函数()fx的解析式，代入6计算即可.（2）利用向量运算的坐标表示及两角和的余弦定理化简函数解析

式，再利用换元法根据函数最大值求出参数m的值.【小问1详解】33333cossincossincoscossinsincos()cos222=22222222xxxxxxxxxxxab=

−−=+=，，当0m=时，()1cos21fxabx=+=+13cos21cos1166322f=+=+=+=，【小问2详解】,34x−，1cos,12x，又33cos+cossinsin22+22xxax

xb=−，2223333cos+cos+sinsin=22coscossinsin222222223=22cos()=22cos24cos2cos22xxxxxxxxabxxxxx+=−+−

+++==()21cos22cos12cos2cosfxabmabxmxxmx=−++=−+=−令costx=，则112t，222()22=222mmfttmtt=−−−，对称轴为2mt=，当122m，即1m时，()ft在1,12上单调递增

，min1()()1122fxfm−==−=解得32m=（舍去），当1122m，即12m时，()ft在1,22m上单调递减，在,12m上单调递增，min2()212()mfxfm−==−=，解得2m=，当12m，即m>2

时，()ft在1,12上单调递减，min()(1)212fxfm==−=−解得32m=（舍去），综上，若()fx的最小值为−1，则2m=，22.（1）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示ABC的外接圆半径.的①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，B

C和BA是圆O的弦，其中2BC=，45ABC=，求弦AB的长；②在ABC中，若C是钝角，求证：2224abR+；（2）给定三个正实数a、b、R，其中ba，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的ABC不存在、存在一个

或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC存在的情况下，用a、b、R表示c.【答案】（1）①62+，②证明见解析，（2）见解析.【解析】【分析】（1）①由正弦定理知2sinsinsinABbaRCBA===，根据题目中所给的条件可求出AB的长；②

若C是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)abcR+，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,ab的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可.【详解】（1）①解：因为1sin22aAR==，角A为锐角，所以30A=因为45ABC=，所

以105C=由正弦定理得，2sin1054sin7562ABR===+②证明：因为C是钝角，所以cos0C，且cos1C−所以222cos02abcCab+−=，所以2222(2)abcR+，即2224abR+（2）当2aR或2abR==时，ABC不存在当

2aRba=时，90A=，ABC存在且只有一个所以22cab=−当2aRba=时，AB=且都是锐角，sinsin2aABR==时，ABC存在且只有一个所以222sin4acRCRaR==−当2baR时，B总是锐角，A可以是钝角，可以是锐角所以ABC存

在两个当90A时，22224+42aRbbRacR−−=当90A时，2222442aRbbRacR−−−=【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.